1 /14

Problem decyzyjny

• Firma AGA produkuje dwa szampony A i B. Litr A sprzedaje po 9zł a litr B sprzedaje 
po 5zł. Celem firmy jest osiągnięcie jak największej wartości produkcji.

f(x

1

, x

2

) = 9x

1

 + 5x

2

   ->   max

     (funkcja celu)    

        

Gdzie 

x1 – produkcja szamponu A w litrach, 

x2 – produkcja szamponu B w litrach

• Szampony produkowane są z trzech składników: Z1, Z2 i Z3. Wyprodukowanie 1 litra

szamponu A wymaga zużycia 20 dag składnika Z1, 40 dag składnika Z2 i 30 dag

składnika Z3. Natomiast w przypadku szamponu B zużycie składników Z1, Z2 i Z3

wynosi odpowiednio 30, 10 i 20 dag. Na najbliższy miesiąc zasoby tych składników 
wynoszą

odpowiednio 60, 30 i 40 kg.

0,2x

1

 +  0,3x

2

  <=  60

    

0,4x

1

 +  0,1x

2

  <=  30

    

warunki ograniczające (zbiór decyzji 

dopuszczalnych)

0,3x

1

 +  0,2x

2

  <=  40

(x

1

, x

2

) – decyzja (zmienne 

decyzyjne)

 

 

2 /14

Problem decyzyjny

f(x

1

, x

2

) = 9x

1

 + 5x

2

   ->   max

    

        

•Czy decyzja (x

1

, x

2

) = (60, 90) jest decyzją 

dopuszczalną?

NIE, bo

0,2*60 + 0,3*90 = 39 < 60 (warunek spełniony)

0,4*60 + 0,1*90 = 33 > 30 

(warunek niespełniony)

0,3*60 + 0,2*90 = 36 < 40 (warunek spełniony)

0,2x

1

 +  0,3x

2

  <=  60

    

0,4x

1

 +  0,1x

2

  <=  30

    

0,3x

1

 +  0,2x

2

  <=  40

Przykład 1

•Czy przy tak sformułowanym problemie, jak 
powyżej, decyzja 

(x

1

, x

2

) = (50, 20)  jest 

decyzją dopuszczalną?

TAK, bo

0,2*50 + 0,3*20 = 16 < 60 (warunek 
spełniony)

0,4*50 + 0,1*20 = 22 < 30 (warunek 
spełniony)

0,3*50 + 0,2*20 = 19 < 40 (warunek 
spełniony)

 

 

3 /14

Problem decyzyjny

f(x

1

, x

2

) = 9x

1

 + 5x

2

   ->   max

    

        

1.  0,2x

1

 +  0,3x

2

  <=  60

    

2.  0,4x

1

 +  0,1x

2

  <=  30

    

3.  0,3x

1

 +  0,2x

2

  <=  40

Decyzja optymalna - najlepsza decyzja dopuszczalna

20
0

x

1

x

2

30
0

75

30
0

1

2

13
3

3

f(x

1

,x

2

)

Warstwica funkcji f(x

1

, x

2

) dla wybranej wartości z 

np. dla z=450    f (x

1

, x

2

): 9x

1

 + 5x

2

 = 450 (prosta przecinająca oś 0x

1

 w pkt. 

50, 0x

2

 w pkt. 90

Kierunek najszybszego 
wzrostu wartości funkcji, 
czyli wektor pochodnych 
cząstkowych

   f = [9  5]

lub (nachylenie 

prostej: 

           –

9/5)

 

 

4 /14

Problem decyzyjny

f(x

1

, x

2

) = 9x

1

 + 5x

2

   ->   max

    

        

1.  0,2x

1

 +  0,3x

2

  <=  60

    

2.  0,4x

1

 +  0,1x

2

  <=  30

    

3.  0,3x

1

 +  0,2x

2

  <=  40

Decyzja optymalna - najlepsza decyzja dopuszczalna

Decyzja optymalna 
(40,140)

20
0

x

1

x

2

30
0

75

30
0

1

2

13
3

3

0,4x

1

 +  0,1x

2

  =  

30

    

0,3x

1

 +  0,2x

2

  =  

40

 

 

5 /14

Problem decyzyjny

f(x

1

, x

2

) = 9x

1

 + 5x

2

   ->   max

    

        

1.  0,2x

1

 +  0,3x

2

  <=  60

    

2.  0,4x

1

 +  0,1x

2

  <=  30

    

3.  0,3x

1

 +  0,2x

2

  <=  40

Przykład 2

• Czy punkt A jest decyzją dopuszczalną?  

NIE

• Które warunki są spełnione w punkcie A?  

Tylko 1

• Czy punkt B jest decyzją dopuszczalną?  

TAK

• Czy w punkcie B korzystamy 

ze wszystkich składników 

do produkcji szamponu?

TAK, bo produkujemy szampon B (x2)

do którego potrzebne są wszystkie

Trzy składniki

20
0

x

1

x

2

30
0

75

30
0

1

2

13
3

3

A

B

 

 

6 /14

Problem decyzyjny

f(x

1

, x

2

) = 9x

1

 + 5x

2

   ->   max

    

        

1.  0,2x

1

 +  0,3x

2

  <=  60

    

2.  0,4x

1

 +  0,1x

2

  <=  30

    

3.  0,3x

1

 +  0,2x

2

  <=  40

20
0

x

1

x

2

30
0

75

30
0

1

2

13
3

3

Warunki 2 i 3 są napięte, warunek 1 jest luźny

Brakuje składników 2 i 3 do wyprodukowania 
większej ilości szamponów, natomiast zapasy 
składnika 1 są nie w pełni wykorzystane

 

 

7 /14

Problem decyzyjny

f(x

1

, x

2

) = 9x

1

 + 5x

2

   ->   max

    

        

1.  0,2x

1

 +  0,3x

2

  <=  60

    

2.  0,4x

1

 +  0,1x

2

  <=  30

    

3.  0,3x

1

 +  0,2x

2

  <=  40

x

2

• Które warunki są napięte, a które luźne w punkcie A? 

1 jest napięty a 

2 i 3 brakuje (żaden nie jest luźny)

• Które warunki są napięte, a które luźne w punkcie B? 

Wszystkie trzy 

luźne

• Które warunki są napięte, a które luźne w punkcie C?  

2 napięty, a 1 i 

3 luźne

Przykład 3

20
0

x

1

30
0

75

30
0

1

2

13
3

3

A

B

C

 

 

8 /14

Problem decyzyjny

• Jaka decyzja jest optymalna jeśli cena szamponu B 
wynosi 2,25zł?

Przykład 4

f(x

1

, x

2

) = 9x

1

 + 

2,25

x

2

   ->  

 max

  

1.  0,2x

1

 +  0,3x

2

  <=  

60

    

2.  0,4x

1

 +  0,1x

2

  <=  

30

3.  0,3x

1

 +  0,2x

2

  <=  

40

Nachylenie prostej –9/2,25 = 
-4

 

Zatem warstwica jest równoległa 
do prostej wyznaczającej drugi 
warunek 

Rozwiązaniem jest zbiór alternatywnych decyzji 
optymalnych

 – odcinek o końcach (75,0) i (40,140). Rozwiązań 

optymalnych jest 

nieskończenie wiele

.

x

2

20
0

x

1

30
0

75

30
0

1

2

13
3

3

 

 

9 /14

Problem decyzyjny

• Jaka decyzja jest optymalna jeśli nałożymy dodatkowy 
warunek: firma musi wyprodukować co najmniej 200 litrów 
szamponu A?

Przykład 5

f(x

1

, x

2

) = 9x

1

 + 5x

2

   ->   max

    

        

1.  0,2x

1

 +  0,3x

2

  <=  60

    

2.  0,4x

1

 +  0,1x

2

  <=  30

    

3.  0,3x

1

 +  0,2x

2

  <=  40

4.  x

1

 >= 200

x

2

20
0

x

1

30
0

75

30
0

1

2

13
3

3

4

Nie istnieje decyzja optymalna, ponieważ jest to zadanie 
sprzeczne (zbiór decyzji dopuszczalnych jest pusty).

 

 

10 /14

Problem decyzyjny

Funkcja celu nieograniczona: 

2x

1

 + 3x

2

 -> max

x

1

 – x

2

 <=3

-2x

1

 + x

2

 <=1

x

2

x

1

1

2

 

 

11 /14

Zadanie programowania liniowego

f(x

1

, x

2 

, x

3 

... x

n 

) = c

1

x

1

 + c

2

x

2 

+ ... + c

n

x

n

 ->   max/min

    

        

Przy warunkach
a

11

x

1

 +  a

12

x

2 

+ ... + a

1n

x

n

 <=  b

1

  

a

21

x

1

 +  a

22

x

2 

+ ... + a

2n

x

n

 <=  b

2

...

a

m1

x

1

 +  a

m2

x

2 

+ ... + a

mn

x

n

 <=  b

m

 

Współczynniki funkcji celu

Zadanie PL z n zmiennymi decyzyjnymi:

    

        

Wyraz wolny warunku