„Program Rozwojowy Potencjału Dydaktycznego Politechniki Świętokrzyskiej w Kielcach: kształcenie na miarę sukcesu”,
Program Operacyjny Kapitał Ludzki (Umowa UDA-POKL.04.01.01-00-175/08-00)
Zadanie 9 – Opracowanie materiałów dydaktycznych multimedialnych i warsztaty
„Techniki multimedialne, blended i e-learningowe w dydaktyce”:
WPROWADZENIE DO ELEKTROTECHNIKI CZ. II
Autorzy:
dr hab.inż. Maciej Włodarczyk
dr inż. Katarzyna Ciosk
METODY OBLICZANIA OBWODÓW
ROZGAŁĘZIONYCH LINIOWYCH W STANIE
USTALONYM
Zawartość
1. Włączanie dodatkowych idealnych źródeł
2. Twierdzenie o wzajemności
3. Twierdzenie o kompensacji
4. Zasada superpozycji
5. Twierdzenia o zastępczych źródłach energii
6. Przekształcenia obwodów rozgałęzionych
Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł napięcia nazywane również
twierdzeniem o przenoszeniu idealnego źródła napięcia
.
W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie zmianie, jeżeli do
wszystkich gałęzi należących do tego samego węzła włączyć po jednym
idealnym źródle napięcia o tej samej wartości skutecznej, częstotliwości, fazie
początkowej i tym samym zwrocie w stosunku do rozpatrywanego węzła.
Takie włączenie źródeł powoduje, że występują one w oczkowych napięciach
źródłowych dwukrotnie – za każdym razem z innym znakiem nie zmieniając przy tym
wypadkowej wartości napięć źródłowych oczkowych. Powyższa własność pozwala na
przeniesienie idealnego źródła napięcia z jednej gałęzi do wszystkich pozostałych
gałęzi należących do tego samego węzła.
6.WŁĄCZANIE DODATKOWYCH IDEALNYCH
ŹRÓDEŁ
Rys.6.1. Ilustracja przeniesienie idealnego źródła napięcia z jednej gałęzi do
wszystkich pozostałych
gałęzi należących do tego samego węzła.
Prądy gałęziowe, a zatem i napięcia na gałęziach, zależą od wypadkowych prądów
źródłowych zasilających poszczególne węzły (widać to szczególnie dobrze na
przykładzie metody węzłowej). Wynika stąd, że włączenie do węzła dodatkowych
gałęzi z idealnymi źródłami prądowymi o takich samych parametrach ale o
przeciwnych zwrotach względem tego węzła nie powoduje zmiany rozpływu prądów w
gałęziach należących do tego węzła – wypadkowy prąd zasilający węzeł nie ulegnie
zmianie.
W obwodzie rozgałęzionym rozkład napięć nie ulegnie zmianie, jeżeli
równolegle do każdej gałęzi wybranego oczka włączyć po jednym idealnym
źródle prądu o tej samej wartości skutecznej, częstotliwości, fazie początkowej
i tym samym zwrocie w stosunku do przyjętego obiegu oczka.
Własność ta pozwala na usuwanie idealnego źródła prądu z danej gałęzi obwodu
wprowadzając dodatkowe gałęzie z idealnymi źródłami prądu.
WŁĄCZANIE DODATKOWYCH IDEALNYCH
ŹRÓDEŁ
Twierdzenie o włączaniu dodatkowych idealnych źródeł prądu nazywane jest również
twierdzeniem o przenoszeniu idealnego źródła prądu
.
Rys.6.1. Ilustracja przeniesienie idealnego źródła prądu z jednej gałęzi do wszystkich
pozostałych gałęzi
należących do tego samego węzła.
W obwodach, w których występuje tylko jedno źródło energii (napięciowe lub
prądowe) może być zastosowane tzw. twierdzenie o wzajemności. Twierdzenie to
można sformułować w dwóch odmianach: oczkowej (dotyczącej źródła napięcia) i
węzłowej (dotyczącej źródła prądu).
7. TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI
Twierdzenie o wzajemności oczkowej
Jeżeli w obwodzie liniowym rozgałęzionym, jedyne źródło napięcia znajdujące
się w gałęzi k–tej wywołuje w gałęzi l–tej tego obwodu prąd I, to po
przeniesieniu tego źródła do gałęzi l–tej, w gałęzi k–tej popłynie również prąd
I.
Rys.7.1. Ilustracja twierdzenia o wzajemności
oczkowej.
Twierdzenie o wzajemności węzłowej
Jeżeli w obwodzie liniowym rozgałęzionym, jedyne źródło prądu znajdujące się
między węzłami k i l wywołuje między węzłami m i n napięcie U, to po
przeniesieniu gałęzi z tym źródłem między węzły m i n, napięcie
między węzłami k i l będzie również równe U.
Powyższe własności wynikają z symetrii macierzy impedancji i admitancji własnych i
wzajemnych.
Przy stosowaniu twierdzeń o wzajemności należy zwrócić uwagę na zachowanie
zwrotów źródeł oraz odpowiednich napięć i prądów – tak, jak przedstawiają to rysunek
3.11a i rysunek 3.11b. Twierdzenia te są ważne również w obwodach ze sprzężeniami
magnetycznymi oraz przy dowolnym charakterze zmienności źródeł (ale z zerowymi
warunkami początkowymi).
TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI
Rys.7.2. Ilustracja twierdzenia o wzajemności
węzłowej.
Twierdzenie o kompensacji
Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli dowolną impedancję Z
zastąpi się idealnym źródłem napięcia E równym co do wartości, częstotliwości
i fazy spadkowi napięcia na danej impedancji o zwrocie przeciwnym do zwrotu
prądu I płynącego przez tę impedancję.
V
A
– V
B
= U = IZ.
U
AB
= V
A
– V
B
= E – E + IZ =
IZ
V
D
– V
B
= –U + IZ = 0 bo E =
U + IZ
V
A
– V
B
= E = U = IZ
8. TWIERDZENIE O KOMPENSACJI
Danym napięciem źródłowym E można skompensować napięcie na impedancji Z tylko
przy jednej wartości prądu I takim, że E = IZ. Aby istniała możliwość kompensacji dla
dowolnego prądu trzeba dysponować idealnym źródłem napięcia o wartości zależnej
od prądu I, a więc sterowanym źródłem napięcia.
Rys.8.1. Ilustracja twierdzenia o kompensacji.
W obwodach liniowych ze źródłami o dowolnym charakterze zmienności napięć i
prądów obowiązuje zasada superpozycji, którą można wyrazić następująco:
Zasada superpozycji
Odpowiedź
układu
liniowego
pobudzanego
jednocześnie
kilkoma
wymuszeniami równa jest sumie algebraicznej odpowiedzi obwodu na
poszczególne wymuszenia działające oddzielnie.
Odpowiedzią obwodu na wymuszenie (napięcie lub prąd źródłowy) są napięcia na jego
elementach i prądy płynące przez te elementy. Stosując zasadę superpozycji kolejno
oblicza się odpowiedzi na poszczególne wymuszenia przyrównując pozostałe do zera.
Przyrównanie do zera napięć źródłowych jest równoważne usunięciu źródeł i zwarciu
zacisków, do których były dołączone. Natomiast przyrównanie do zera prądów
źródłowych jest równoważne usunięciu ich z obwodu wraz z gałęziami. Związane jest
to z tym, że impedancja idealnych źródeł napięciowych jest równa zeru, a prądowych –
nieskończoności.
Zasadę superpozycji stosuje się również wtedy, gdy w liniowym obwodzie działają
źródła o różnych częstotliwościach.
9. ZASADA SUPERPOZYCJI
Twierdzenia o zastępczych źródłach energii znajdują zastosowanie wtedy, gdy w
rozgałęzionym obwodzie liniowym należy wyznaczyć prąd lub jego funkcje (np. moc,
napięcie) tylko w wybranej gałęzi. Twierdzenia te pozwalają zastąpić złożony obwód
elektryczny o dowolnej strukturze i liczbie źródeł, dwójnikiem aktywnym z jednym
źródłem i jedną impedancją. Istnieją dwa twierdzenia o zastępczym źródle napięcia –
twierdzenie Thevenina i o zastępczym źródle prądu – twierdzenie Nortona.
Twierdzenie o zastępczym źródle napięcia (Thevenina)
Dowolny aktywny obwód liniowy można od strony wybranych zacisków AB
zastąpić obwodem równoważnym, złożonym z szeregowo połączonego jednego
idealnego źródła napięcia, równego napięciu między zaciskami AB w stanie
jałowym oraz jednej impedancji równej impedancji zastępczej obwodu
pasywnego, widzianego od strony zacisków AB.
10. TWIERDZENIA O ZASTĘPCZYCH ŹRÓDŁACH
ENERGII
Rys.10.1. Ilustracja twierdzenia Thevenina; a) obwód wyjściowy, b) obwód
równoważny.
a)
b)
Dowód twierdzenia Thevenina
Prąd I nie zmieni się, gdy do gałęzi z impedancją Z włączone zostaną dwa źródła
napięcia przeciwnie skierowane o wartości U
0
= E
Z
(E
Z
jest napięciem między
zaciskami AB w stanie jałowym) – rysunek a.
Stosując do tego obwodu zasadę superpozycji, do dwóch stanów: dla wszystkich
wymuszeń z układu aktywnego i jednego ze źródeł U
0
(rys. b) oraz dla jednego
wymuszenia U
0
(rys. c) mamy
Nietrudno zauważyć, że prąd I' będzie równy zeru, gdyż włączenie do gałęzi idealnego
źródła napięcia równego napięciu na zaciskach AB w stanie jałowym powoduje, że na
impedancji Z napięcie jest równe zeru. Prąd I jest równy
gdzie Z
Z
jest impedancją zastępczą układu pasywnego widzianego od strony zacisków
AB.
I I I
'
''
I
E
Z
Z
Z
Z
1
'
TWIERDZENIE O ZASTĘPCZYCH ŹRÓDŁACH
ENERGII
a) b) c)
Rys.10.2 Dowód twierdzenia Thevenina; a) obwód z włączonymi dodatkowymi
źródłami, b) i c) obwody po zastosowaniu zasady superpozycji.
Twierdzenie o zastępczym źródle prądu (Nortona)
Dowolny aktywny obwód liniowy można od strony wybranych zacisków AB
zastąpić obwodem równoważnym, złożonym z równolegle połączonego jednego
idealnego źródła prądu, o prądzie źródłowym równym prądowi w gałęzi AB,
przy zwarciu zacisków AB oraz jednej admitancji równej admitancji zastępczej
obwodu pasywnego, widzianego od strony zacisków AB.
Stosując twierdzenie Nortona otrzymuje się układ zastępczy przedstawiony na
rysunku a. Rysunek b ilustruje w jaki sposób oblicza się wartość zastępczego źródła
prądu.
Twierdzenie to wynika z równoważności rzeczywistego źródła napięcia i prądu.
J
E
Z
Y E
Z
Z
Z
Z Z
TWIERDZENIE O ZASTĘPCZYCH ŹRÓDŁACH
ENERGII
Rys.10.3. Ilustracja twierdzenia Nortona; a) obwód zastępczy, b) sposób
obliczania prądu J
Z
.
a)
b)
Obliczyć prąd I w obwodzie przedstawionym na rysunku 10.4 stosując twierdzenie: a)
Thevenina, b) Nortona, przy danych: , , R = 100 , X
L
=
100 , X
C
= 200 . Wszystkie źródła mają taką samą pulsację.
Rozwiązanie
a) Zastosowanie twierdzenia Thevenina
Po oznaczeniu zacisków A i B tak, jak na rysunku 10.4a oblicza się napięcie
zastępczego źródła, które jest równe napięciu między zaciskami A i B w stanie
jałowym (po odłączeniu gałęzi z X
C
) – rysunek 10.4b. Po zastąpieniu źródła prądu
równoważnym źródłem napięcia o wartości Ej = RJ napięcie E
Z
jest równe
gdzie
E
e V
j
100
0
J
e
A
j45
o
1
E
E I
jX
Z
C
0
I
E JR
R jX
jX
L
C
0
Podstawiając dane otrzymuje się
I
e
j
j
e
A
j45
j22
o
o
0
49
100 100
100 100 200
054
,
,
E
e
e
e
Z
j22
j90
j
o
o
o
100 054
200
173
49
3523
,
,
,
PRZYKŁAD 10
c
)
a)
b)
d
)
e)
f)
Rys.10.4. Zastosowanie twierdzeń o zastępczych źródłach; a) schemat obwodu
wyjściowego, b)obliczenie E
Z
w stanie jałowym, c) obliczenie imedancji (admitancji)
obwodu pasywnego, d) obliczenie prądu J
Z
w stanie zwarcia, e) schemat z zastępczym
źródłem napięcia, f) schemat z zastępczym źródłem prądu
PRZYKŁAD 10
Mając parametry zastępczego źródła napięcia, łatwo jest już obliczyć wartość prądu I
na podstawie schematu z rysunku 10.4e.
Y
jX
R jX
Z
Y
Z
C
L
Z
Z
1
1
1
,
Y
j
j
S
Z
Z
Z
1
200
1
100 100
0005
200
,
,
I
E
Z
jX
I
e
j
e
Z
Z
C
j
j
o
o
,
,
,
,
173
200 200
0608
35 23
80 23
Na podstawie rysunku 10.4c oblicza się impedancję zastępczą obwodu pasywnego,
powstałego po zwarciu źródeł napięcia i rozwarciu źródeł prądu, widzianą z zacisków
A i B.
PRZYKŁAD 10
Stosując twierdzenie Nortona oblicza się prąd źródłowy płynący po zwarciu zacisków
A i B (rys. 10.4d). Po zastosowaniu zasady superpozycji można napisać, że prąd
ten jest równy
Podstawiając dane otrzymuje się
Korzystając z uprzednio obliczonej admitancji zastępczej układu pasywnego można
wyznaczyć napięcie U na podstawie schematu zastępczego przedstawionego na
rysunku 10.4f.
Podstawiając dane otrzymuje się
a obliczając prąd
Porównując wyniki uzyskane w punkcie a) i b) można stwierdzić, że są one prawie
równe; kilkuminutowe różnice w argumencie wynikają z zaokrągleń przy obliczaniu
liczb zespolonych.
J
E
jX
JR
R jX
Z
C
L
J
j
e
j
e
A
Z
j45
j
o
o
100
200
100
100 100
086
3553
,
,
U
J
Y
Y
Z
Z
U
e
j
e
V
j
j9
o
o
086
0005 0005
1216
3553
5
,
,
,
,
,
,
I UY
I
e
A
j
o
0608
805
,
,
b) Zastosowanie twierdzenia Nortona
PRZYKŁAD 10
Przekształcenia obwodu można dokonywać pod warunkiem, że uzyskany po
przekształceniu
obwód jest równoważny obwodowi wyjściowemu.
zasada równoważności obwodów.
Niech będą dane dwa układy n – końcówkowe (zaciskowe):
- układ A (rys. 11.1), którego prądy i napięcia zaciskowe określają wektory
- układ B , którego prądy i napięcia zaciskowe określają wektory
Układ A i B nazywa się równoważnym, jeżeli opis matematyczny obydwu
układów jest taki sam.
Oznacza to, że jeżeli obwód A jest opisany równaniem f(u, i) = 0, to obwód
B jest opisany
równaniem f(v, j) = 0, gdzie f jest tą samą funkcją.
i
u
i i i
i
u u u
u
n
t
n
t
1 2 3
1
1
2
3
1
, , ,...,
,
, , ,...,
j
v
j j j
j
v v v
v
n
t
n
t
1 2 3
1
1
2
3
1
, , ,...,
,
, , ,...,
11. PRZEKSZTAŁCENIA OBWODÓW
ROZGAŁĘZIONYCH
Rys.11.1.Układy n - zaciskowe.
W wielu wypadkach układy odbiorników złożone z wielu elementów można
rozpatrywać jako jeden lub kilka elementów o zastępczej impedancji lub admitancji.
Przy czym musi być spełniona zasada równoważności przekształcanej części obwodu i
niezmienności prądów i napięć w tych częściach układu, które nie zostały objęte tymi
przekształceniami.
Niech będzie dane połączenie szeregowe n elementów o znanej impedancji w postaci
zespolonej. Cechą charakterystyczną połączeń szeregowych jest to, że prąd I
wszystkich połączonych elementów jest taki sam a napięcie na zaciskach tego układu
jest równe sumie napięć na wszystkich elementach (II prawo Kirchhoffa).
Impedancja zastępcza układu szeregowo połączonych elementów jest równa
sumie impedancji poszczególnych elementów.
Odwrotność admitancji zastępczej układu szeregowo połączonych elementów
jest równa sumie odwrotności admitancji poszczególnych elementów.
UKŁADY ZASTĘPCZE – POŁĄCZENIE
SZEREGOWE
Z
Z
Z
k
k
n
1
1
1
1
Y
Y
Z
k
k
n
Niech będzie dane połączenie równoległe n elementów o znanej admitancji w postaci
zespolonej. Cechą charakterystyczną połączeń równoległych jest to, że napięcie na
wszystkich połączonych elementach jest takie samo, a prąd jest równy sumie prądów
wszystkich elementów (I prawo Kirchhoffa).
Admitancja zastępcza układu równolegle połączonych elementów jest równa
sumie admitancji poszczególnych elementów.
Odwrotność impedancji zastępczej układu równolegle połączonych elementów
jest równa sumie odwrotności impedancji poszczególnych elementów
Y
Y
Z
k
k
n
1
1
1
1
Z
Z
Z
k
k
n
UKŁADY ZASTĘPCZE – POŁĄCZENIE
RÓWNOLEGŁE
Obowiązuje zasada, że moc pozorna pobierana przez n odbiorników połączonych
szeregowo (równolegle) jest taka sama, jak moc pozorna pobierana przez odbiornik o
impedancji (admitancji) zastępczej.
Zakładając, że dane są impedancje połączone w trójkąt: Z12, Z23, Z31 i rozwiązując
układ względem niewiadomych: Z1, Z2, Z3 otrzyma się wzory pozwalające na
wyznaczenie impedancji układu zastępczego połączonego w gwiazdę.
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
12
23
31
12
23
31
1
2
23
12
31
12
23
31
2
3
31
12
23
12
23
31
1
3
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z
1
12 31
12
23
31
2
12 23
12
23
31
3
23 31
12
23
31
Aby układy te były równoważne, to impedancje między dwoma dowolnie wybranymi
węzłami (przy odłączonym trzecim węźle) w obydwóch układach powinny być
jednakowe. Obliczając, zatem impedancje między węzłami 1 i 2, 2 i 3 oraz 3 i 1 dla
układu połączonego w trójkąt oraz w gwiazdę i porównując je ze sobą można otrzymać
następujący układ trzech równań:
UKŁADY ZASTĘPCZE –POŁĄCZENIE W GWIAZDĘ I
TRÓJKĄT
Często przy obliczaniu obwodów nie tylko trójfazowych zachodzi potrzeba
przekształcenia części obwodu zawierającej impedancje połączone w trójkąt na
połączenie w gwiazdę.
1
1
1
2
2
2
3
3
3
Z
Z
Z
1
1
2
2
3
3
Z
Z
Z
Zakładając, że dane są impedancje połączone w gwiazdę: Z1, Z2, Z3 i rozwiązując
układ względem niewiadomych: Z12, Z23, Z31 otrzyma się wzory pozwalające na
wyznaczenie impedancji układu zastępczego połączonego w trójkąt.
Łatwo zauważyć, że dla Z12 = Z23 = Z31 = Zt otrzyma się
Zg = Z1 = Z2 = Z3 = Zt/3
oraz dla Z1 = Z2 = Z3 = Zg otrzyma się
Z12 = Z23 = Z31 = Zt = 3Zg
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
12
1
2
1 2
3
23
2
3
2 3
1
31
3
1
3 1
2
UKŁADY ZASTĘPCZE –POŁĄCZENIE W GWIAZDĘ I
TRÓJKĄT
Dla układów połączeń źródeł, podobnie jak dla elementów pasywnych, można tworzyć
układy zastępcze. Układ n szeregowo połączonych rzeczywistych źródeł
napięcia o tej samej pulsacji można zastąpić zastępczym rzeczywistym źródłem
napięcia, którego napięcie E
z
jest równe sumie algebraicznej (tzn. z
uwzględnieniem znaku – jeżeli źródło ma zwrot zgodny z E
z
, to występuje ze znakiem
(+), a jeżeli przeciwny, to występuje ze znakiem (–))
a impedancja wewnętrzna równa jest
E
E
z
k
k
n
1
Z
Z
z
k
k
n
1
UKŁADY ZASTĘPCZE ELEMENTÓW
AKTYWNYCH
Rys.11.1. Łączenie szeregowe rzeczywistych
źródeł napięcia;
a) układ wyjściowy, b) układ zastępczy.
E
E
E
E
Z
Z
Z
Z
z
z
1
2
3
1
2
3
,
parametry zastępczego
źródła przedstawionego na
rysunku 11.1
a)
b)
Dla obwodu złożonego z równolegle połączonych rzeczywistych źródeł prądu (rys.
11.2a) prąd źródła zastępczego ( rys. 11.2b) jest równy
a admitancja
Możliwe jest także przekształcenie aktywnego układu połączonego w gwiazdę na układ
połączony w trójkąt, natomiast przekształcenie aktywnego układu połączonego w
trójkąt na układ połączony w gwiazdę jest niejednoznaczne.
n
i
i
z
J
J
1
Y
Y
z
i
i
n
1
UKŁADY ZASTĘPCZE ELEMENTÓW
AKTYWNYCH
Rys.11.2. Łączenie równoległe rzeczywistych
źródeł prądu;
a) układ wyjściowy, b) układ zastępczy.
a)
b)
Obliczyć prądy gałęziowe w obwodzie przedstawionym na rysunku 3P6a metodą
przekształcania obwodu. Dane: , Z1 = 100 , Z2 = 50 , Z3 = j100 ,
Z4 = Z5 = –j50 .
Rozwiązanie
W celu obliczenia impedancji zastępczej obwodu, zastąpiono jego część – ABC
(połączoną w trójkąt) układem równoważnym połączonym w gwiazdę (rys. 3P6b). Na
podstawie wzorów (3.87) zastępcze impedancje są równe
V
e
E
o
j90
100
=
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z
A
B
C
1 2
1
2
3
2 3
1
2
3
1 3
1
2
3
,
,
PRZYKŁAD 11
Rys.11.3. Obliczanie prądu metodą przekształcenia obwodu; a) układ wyjściowy, b)
układ równoważny.
Podstawiając dane otrzymano
Następnie oblicza się impedancje zastępcze połączeń szeregowych Z
C
i Z
4
oraz Z
B
i
Z
5
Teraz już można wyznaczyć impedancję zastępczą całego obwodu pasywnego
Z
j
j
A
50 50
100 100
231 154
( ,
, )
Z
j
j
j
B
100 50
100 100
154 231
( ,
, )
Z
j
j
j
C
100 50
100 100
308 462
( ,
, )
Z
Z
Z
Z
j
j
j
e
C
j
o
6
4
6
7
308 462 50
308 38
31
,
,
,
( ,
, )
o
j
B
e
j
j
j
Z
Z
Z
Z
3
,
60
7
5
7
31
27
4
,
15
50
1
,
23
4
,
15
,
Z
Z Z
Z
Z
Z
j
e
j
o
8
6 7
6
7
8
336
14 4 9 6 17 3
,
( ,
, )
,
,
Z
Z
Z
Z
j
e
z
A
z
j
o
8
337
375 25
449
,
( ,
)
,
,
Wobec tego, prąd I jest równy
I
E
Z
I
j
j
e
A
z
j
o
,
,
,
,
100
375 25
222
123 7
PRZYKŁAD 11
Napięcie na impedancji Z8 jest równe
skąd prądy I4 i I5 (rys. 3P6c)
Znając te prądy, prąd I3 łatwo jest wyznaczyć np. stosując drugie prawo Kirchhoffa
(rys. 3P6a)
Pozostałe prądy można obliczyć na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa (rys. 3P6a)
U
IZ
U
e
V
j
o
8
8
8
90
384
,
,
I
U
Z
I
e
e
e
A
j
j
j
o
o
o
4
8
6
4
90
7
1731
384
31
124
,
,
,
,
I
U
Z
I
e
e
e
A
j
j
j
o
o
o
5
8
7
4
90
60 3
150 4
384
31
124
,
,
,
,
,
I Z
I Z
I Z
I
Z
I Z
I Z
4 4
3 3
5 5
3
3
4 4
5 5
0
1
,
I
j
e
j213
o
3
7
046 03
055
( ,
, )
,
,
I
I
I
I
j
e
A
j
o
1
3
4
1
123 7
062 092 11
,
,
,
,
,
I
I
I
I
j
e
A
j
o
2
5
3
2
123 7
062 092 11
,
,
,
,
,
PRZYKŁAD 11
Literatura
S. Osowski, K.Siwek, M. Śmiałek, Teoria obwodów, Oficyna
Wydawnicza PW,
Warszawa 2006.
S. Bolkowski, Teoria obwodów elektrycznych, Wydawnictwa
Naukowo
Techniczne, Warszawa 1995.
E. Gierczak, M. Włodarczyk, J. Tokarzewski, Podstawy
elektrotechniki
teoretycznej, Skrypt Pol. Świętokrzyskiej, Kielce 2000
K. Mikołajuk, Podstawy analizy obwodów
energoelektronicznych,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998.
M. Tadeusiewicz, Teoria obwodów cz. 1 i 2, Wydawnictwa
Politechniki
Łódzkiej, 2002.
J. Osiowski ,Zarys rachunku operatorowego. Wydawnictwa
Naukowo
Techniczne, Warszawa 1981.
J. Osiowski, J. Szabatin, Podstawy teorii obwodów, t. I, II, III,
WNT, Warszawa,
1995
Elektrotechnika teoretyczna - laboratorium. Skrypt Pol.
Świętokrzyskiej.
Kielce 1982
J.W. Nilsson, S.A. Riedel, Electric circuits, Prentice-hall
International, Inc,
New Jersey ,2000
„Program Rozwojowy Potencjału Dydaktycznego Politechniki Świętokrzyskiej w Kielcach: kształcenie na miarę sukcesu”,
Program Operacyjny Kapitał Ludzki (Umowa UDA-POKL.04.01.01-00-175/08-00)
Zadanie 9 – Opracowanie materiałów dydaktycznych multimedialnych i warsztaty
„Techniki multimedialne, blended i e-learningowe w dydaktyce”:
Materiały opracowała:
dr inż. Katarzyna Ciosk
Document Outline