USTALANIE NIEZBĘDNEJ
LICZBY OBSERWACJI
PRZYPADEK
1.
Najprostszy
przypadek
określenia
niezbędnej
liczby obserwacji dla wyznaczenia
poszukiwanej wartości na założonym
poziomie ufności (1-α) występuje
wówczas, gdy znane jest odchylenie
standardowe σ dla zastosowanej
metody pomiaru. Wówczas długość
dopuszczalnej odchyłki d od wartości
średniej (dopuszczalny błąd wartości
średniej) obliczymy z zależności
skąd
(1)
-
współczynnik, który po pomnożeniu go przez
wyznacza
granicę nieprzekroczenia dopuszczalnego błędu
d przy zadanym
poziomie ufności (1-α),
- odchylenie standardowe.
PRZYKŁAD do przypadku 1
Założenie:
znane jest odchylenie
standardowe pojedynczego pomiaru czasu
wykonywania danej czynności roboczej
wynoszące σ = ±30 s.
Pytanie:
Ile należy wykonać pomiarów aby
oszacować czas wykonywanej czynności z
dokładnością d = ±20 s przy poziomie
ufności (1-α) = 0,95.
Zgodnie z zależnością
otrzymujemy:
PRZYPADEK
2.
Nie
jest
znane
odchylenie standardowe σ dla przyjętej
metody pomiaru. Z tego względu
należy
je
określić
ze
wstępnie
przeprowadzonej
próbnej
serii
pomiarów,
np.
o
liczności
n
o
(oznaczymy je ). Współczynnik ,
wyznaczający granicę nieprzekroczenia
błędu dopuszczalnego przy zadanym
poziomie ufności (1-α), określa się na
podstawie tablic, np. Studenta.
Dopuszczalny błąd wyniku wyznacza
zależność
skąd:
(2)
Jeżeli znalezione z tej zależności n > n
o
to należy dodatkowo
zaobserwować (n – n
o
) danych.
DOTĄD ZROBIŁEM 17.03.2014
PRZYKŁAD do przypadku 2
Założenie:
nie jest znane odchylenie
standardowe
σ
wykonywania
pojedynczego pomiaru czasu danej
czynności roboczej.
Pytanie:
Ile należy wykonać pomiarów
aby
oszacować
średni
czas
wykonywania badanej czynności z
błędem nie większym niż 3s przy
poziomie ufności wynoszącym (1-α) =
0,95.
Z treści zadania wynika, że
mamy do czynienia z
jednostronnym
obszarem
krytycznym, gdyż błąd mniejszy od
3s wolno nam popełnić, a jedynie
nie wolno popełnić błędu większego
od 3s.
Zgodnie
z
procedurą
określoną
zależnością (2)
należy w pierwszej kolejności określić
odchylenie
standardowe
S
pojedynczego
pomiaru
ustalonym
sprzętem. W tym celu posiadanym
chronometrem
wykonano
próbny
pomiar, z którego wyniki w
sekundach zawiera poniższa macierz:
x
i
≡ │ 210; 212; 212; 216;
210 │
Odchylenie standardowe oblicza się z
zależności
lub
Wybieramy
Odchylenie standardowe jest
definiowane jako pierwiastek z
wariancji, zatem poszukiwane S
2
jest
wariancją zmiennej losowej, którą
jest wynik pomiaru. Jej obliczenie
daje wynik.
odchylenia od średniej, ich
kwadraty i sumy:
X-x ≡ │ +2; 0; 0;
-4; +2 │ = 0
(X-x)
2
≡ │ 4; 0; 0;
16; 4 │ = 24
wartość średnia: X = 212
gdyż wzór ten odnosi się do „małej
próby”.
skąd wariancja (kwadrat odchylenia
standardowego) pojedynczej
obserwacji S
2
= 6
Z kolei, z tablicy do
wyznaczania obszaru krytycznego
dla testów statystycznych opartych
na
rozkładzie
t-Studenta,
przy
uwzględnieniu obszaru krytycznego
jednostronnego i czterech stopni
swobody, wypisujemy t
α
= 2,13185
kwantyl
rozkładu
0.9
0.95
0.975
0.98
0.99
0.995
0.999
0.9995
obszar
krytyczny
jednostro
nny,
0.1
0.05
0.025
0.02
0.01
0.005
0.001
0.0005
obszar
krytyczny
dwustron
ny
0.2
0.1
0.05
0.04
0.02
0.01
0.002
0.001
n=1
3.07768 6.31375 12.7062 15.8945 31.8205 63.6568 318.306 636.627
2
1.88562 2.91999 4.30265 4.84873 6.96456 9.92484 22.3272 31.5990
3
1.63774 2.35336 3.18245 3.48191 4.54070 5.84091 10.2145 12.9240
4
1.53321 2.13185 2.77644 2.99853 3.74695 4.60409 7.17318 8.61031
5
1.47588 2.01505 2.57058 2.75651 3.36493 4.03214 5.89344 6.86884
6
1.43976 1.94318 2.44691 2.61224 3.14267 3.70743 5.20763 5.95880
7
1.41492 1.89458 2.36462 2.51675 2.99795 3.49948 4.78528 5.40787
8
1.39682 1.85955 2.30600 2.44898 2.89646 3.35539 4.50079 5.04130
9
1.38303 1.83311 2.26216 2.39844 2.82144 3.24984 4.29681 4.78092
10
1.37218 1.81246 2.22814 2.35931 2.76377 3.16927 4.14370 4.58691
Tablica t
α
do wyznaczania obszaru krytycznego dla
testów statystycznych opartych na rozkładzie t-Studenta
o danej liczbie n stopni swobody.
skąd wariancja (kwadrat odchylenia
standardowego) pojedynczej
obserwacji S
2
= 6
Z kolei, z tablicy do
wyznaczania obszaru krytycznego
dla testów statystycznych opartych
na
rozkładzie
t-Studenta,
przy
uwzględnieniu obszaru krytycznego
jednostronnego i czterech stopni
swobody, wypisujemy t
α
= 2,13185
Podstawiając te dane do
zależności (2)
, otrzymujemy n = 3
+ 1 = 4.
Odpowiedź: wystarczą cztery
obserwacje (pomiary).
Dziękuję
Tablica do wyznaczania obszaru krytycznego dla testów statystycznych opartych na rozkładzie t-Studenta o danej liczbie n stopni swobody.
kwantyl
rozkładu
0.9
0.95
0.975
0.98
0.99
0.995
0.999
0.9995
n=1
3.07768 6.31375 12.7062 15.8945 31.8205 63.6568 318.306 636.627
2
1.88562 2.91999 4.30265 4.84873 6.96456 9.92484 22.3272 31.5990
3
1.63774 2.35336 3.18245 3.48191 4.54070 5.84091 10.2145 12.9240
4
1.53321 2.13185 2.77644 2.99853 3.74695 4.60409 7.17318 8.61031
5
1.47588 2.01505 2.57058 2.75651 3.36493 4.03214 5.89344 6.86884
6
1.43976 1.94318 2.44691 2.61224 3.14267 3.70743 5.20763 5.95880
7
1.41492 1.89458 2.36462 2.51675 2.99795 3.49948 4.78528 5.40787
8
1.39682 1.85955 2.30600 2.44898 2.89646 3.35539 4.50079 5.04130
9
1.38303 1.83311 2.26216 2.39844 2.82144 3.24984 4.29681 4.78092
10
1.37218 1.81246 2.22814 2.35931 2.76377 3.16927 4.14370 4.58691
Document Outline