WYDZIAA
FIZYKI TECHNICZNEJ I MODELOWANIA
KOMPUTEROWEGO
POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ
LABORATORIUM ELEKTRONIKI ĆWICZENIE 9
OBWODY RC:
9.1. REAKTANCJA POJEMNOÅšCIOWA
9.2. IMPEDANCJA POA

CZENIA SZEREGOWEGO RC
POJ
CIA I MODELE potrzebne do zrozumienia i
prawidłowego wykonania ćwiczenia:
1. Amplituda i faza przebiegu sinusoidalnego.
2. Przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegami
sinusoidalnymi.
3.Wektorowa reprezentacja fali sinusoidalnej: fazor (wskaz)
4. Wartość chwilowa prądu i napięcia.
5. Wartość pik-pik napięcia i prądu, wartość skuteczna
napięcia i prądu.
6. Metoda symboliczna: prawo Ohma dla prądów i napięć
sinusoidalnych.
7. Impedancja zastępcza obwodu, składowa rzeczywista i
urojona.
8. Reaktancja pojemnościowa.
9. Jak użyć oscyloskopu do pomiaru napięcia, prądu i
przesunięcia fazowego.
Literatura:
1. Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna, WN-T, W-a
1967
2. Lagasse J., Teoria obwodów elektrycznych, WN-T, W-a
1982
3. Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna, WNpT, W-a
1982
4. Niemcewicz L., Radiotechnika, wzory, definicje,
obliczenia, WkiA
, W-a 1971
5. Floyd T.L., Electronics Fundamentals: cicuits devices
and Applications, Mervil Publishing Company 1987
1. Wprowadzenie
1.1.Sinusoidalny przebieg napięcia i prądu.
Jedną z najważniejszych form sygnałów elektrycznych (prądowych i
napięciowych ) jest forma sinusoidalna. Określona jest ona jednoznacznie
przez amplitudÄ™ A , fazÄ™ poczÄ…tkowÄ… Õ, oraz czÄ™stotliwość f w hercach, lub
czÄ™stość koÅ‚owÄ… É = 2Ä„ f , oraz okres T = (2Ä„)/É w sekundach.
W obwodzie złożonym z elementów biernych R, L, C zasilanym z
generatora (z
ródła) wytwarzającego napięcie ( lub prąd ) sinusoidalne,
wszystkie prądy i napięcia są również przebiegami sinusoidalnymi.
Odpowiedz
takiego obwodu, rozumiana jako prąd lub napięcie na dowolnym
jego elemencie, różnić się będzie od przebiegu wymuszającego jedynie
amplitudą (różną od amplitudy wymuszenia), i fazą  prądy i napięcia mogą
nadążać z opóz
nieniem za lub wyprzedzać przebieg wymuszający).
Na rysunku nr.1 przedstawiono schematycznie główne cechy przebiegu
sinusoidalnego tak jak można je obserwować na ekranie oscyloskopu.
1.2.Przedstawienie fali sinusoidalnej jako wektora.
Korzystając ze związku funkcji sinus z ruchem punktu po okręgu z ustaloną
prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É , można przedstawić sinusoidalny przebieg napiÄ™cia i
prądu jako wektor o długości równej amplitudzie napięcia ( lub prądu)
wirujÄ…cy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É.
ZwiÄ…zek ten przedstawiono na rys.2a. Wektor taki nazywamy wskazem lub
fazorem. Na rysunku 2b przedstawiono związek wartości chwilowej napięcia
V(t); ( t = Ä…/É ) przebiegu sinusoidalnego z jego przedstawieniem w postaci
fazora ( wskazu ). Odległość od czubka wektora (wskazu ) do osi poziomej
liczona w pionie, jest miarą aktualnej wartości chwilowej napięcia (np. V(45)
= V(t 45) ; t45 = 45/É = (Ä„/4)/É )
Tak więc przebiegi sinusoidalne napięcia ( i prądu ) możemy przedstawiać w
postaci wskazów jak na rysunku 2c oraz 2d.
+A
u(t) = Au sin(Ét + Õu ) ; i(t) = Ai sin(Ét + Õi )
Argument:Ä…= Ét , Ä…= Ét + Õ
180
0 360
Õ - faza poczÄ…tkowa
- A
t  czas , É= 2Ä„ f , f  czÄ™stotliwość [ Hz ]
A  amplituda prądu lub napięcia
-przejście przez 0, zmiana polaryzacji na +
-przejście przez 0,zmiana polaryzacji na-
Pik dodatni lub ujemny
y = Asin(Ä… - Õ )
A
B
0
90 0
Õ
A wyprzedza B o 90 stopni
y = Asin(Ä… + Õ )
i(t)
u(t)
0 0
90
Õ
Prąd wyprzedza napięcie o 90 stopni
Rys.1. Fala sinusoidalna prądu i napięcia  cechy charakterystyczne.
ó
a)
135o
45o
180o
0o
315o
225o
0o 45o 90o 135o 180o 225o 270o 315o 360o
ZwiÄ…zek fali sinusoidalnej z ruchem obrotowym wskazu
b)
Vp
Vp
V(Ä…)
Ä…
Ä… = 45o
Związek wykresu wskazowego oraz wartości chwilowej napięcia
sinusoidalnego V(Ä…=45o).
c) d)
B
Amplituda napięcia (prądu)
Wartość chwilowa
A
napięcia (prądu)
Õ
30o
- 45o
2V
90o
1.67mA
B
60o
0o
30o
i(t)=1.67sin(3t  45o)
A
u(t)=2sin(4t + 60o)
Rys.2.c) przykłady wskazów napięcia i prądu, d) wykres wskazowy
2 przebiegów o różnych amplitudach, przesuniętych w fazie o 30o.
Wzajemną relację 2 przebiegów sinusoidalnych można przedstawić kreśląc 2
wektory jak to pokazano na rys.2d. Korzystając z takiego sposobu możemy
łatwo sumować napięcia i prądy jako wektory oraz wyznaczać ich moduły i
fazy. I tak np. znając wskaz prądu przepływającego przez opornik R, i wiedząc,
że napięcie na oporniku jest w fazie z prądem, możemy wydłużyć wskaz prądu
R razy i otrzymamy wskaz napięcia na tym oporniku.
1.3.Wartość pik  pik , wartość skuteczna napięcia i prądu przemiennego.
Na ekranie oscyloskopu możemy zmierzyć napięcie pik  pik przebiegu
sinusoidalnego równe podwojonej jego amplitudzie:
vpp = 2Au ; ipp = 2Ai , Au  amplituda napięcia [ V ], Ai  amplituda
prÄ…du [ A ].
Multimetry (woltomierze i amperomierze prÄ…du przemiennego) mierzÄ… i
pokazują wartości skuteczne napięć i prądów w ograniczonym zakresie
częstotliwości. Zakres ten podaje producent w instrukcji obsługi.
Wartość skuteczna napięcia przemiennego Vs , to taka wartość napięcia stałego,
które przyłożone do opornika wydzieli w nim taką samą ilość ciepła jak
przebieg sinusoidalny. Podobnie określamy natężenie skuteczne prądu. Relacje
pomiędzy wartością skuteczną a amplitudą są następujące:
Us = (0.5)1/2 Au E" 0.707Au ; Is = (0.5)1/2 Ai E" 0.707 Ai
1.4. Pomiar przesunięcia fazowego pomiędzy dwoma przebiegami napięcia lub
prądu przy użyciu oscyloskopu.
Porównywane przebiegi podłączyć odpowiednio do wejścia kanału 1 i 2
oscyloskopu. Regulując wzmocnieniem obu kanałów oraz częstotliwością
podstawy czasu doprowadzić do zatrzymania i widoczności obu przebiegów w
obszarze ekranu.
1.4.1. Dobieramy wzmocnienie kanału 1 oraz podstawę czasu tak aby na ekranie
zmieściła się dokładnie połowa okresu przebiegu A (rys.3.)
Rys.3. Pomiar
przesunięcia
fazowego za
pomocÄ…
oscyloskopu.
18o/1działka
Õ
0.5 okresu = 180o
KÄ…t przesuniÄ™cia fazowego Õ = 3dz. * 18o = 54o
1.4.2. Szerokość ekranu (w działkach ) odpowiada wtedy 180o miary kątowej.
Obliczamy z proporcji ile stopni przypada na jedną działkę w poziomie.
1.4.3. wyznaczamy ilość dziaÅ‚ek odpowiadajÄ…cÄ… Õ ( liczba dziaÅ‚ek
odpowiadająca odstępowi pomiędzy punktami czerwonym i niebieskim)
1.4.4. obliczamy kąt przesunięcia fazowego (jak na rysunku).
1.5. Pomiar napięcia i natężenia prądu za pomocą oscyloskopu.
Pokrętła wzmocnienia  regulacja ciągła, przekręcić przeciwnie do ruchu
wskazówek zegara do oporu (położenie kalibrowane). Napięcie w woltach na
działkę podane jest na przełącznikach skokowych. Liczbę działek
odpowiadającą napięciu pik  pik (lub amplitudzie) pomnożyć przez liczbę
woltów przypadającą na jedną działkę.
Natężenie prądu przemiennego mierzymy jako napięcie na oporniku
pomiarowym 10 &! (lub 100&!) połączonym szeregowo z elementem, przez który
przepływa mierzony prąd. Impedancja tego elementu powinna być przynajmniej
100 razy większa od oporu 10 &!. Ponieważ wiązka elektronów w kineskopie
oscyloskopu nie posiada praktycznie bezwładności, prądy i napięcia można
mierzyć w całym paśmie częstotliwości pracy oscyloskopu.
2. Prawo Ohma i prawa Kirchoffa dla przebiegów sinusoidalnych.
2.1 Prąd i napięcie na oporniku przy wymuszeniu sinusoidalnym.
Gdy przyłożymy zmienne w czasie napięcia do obwodu złożonego z
oporników, to prawa te są spełnione podobnie jak dla napięć i prądów stałych.
Wzajemną relację pomiędzy napięciem sinusoidalnym o znanej amplitudzie i
częstotliwości a prądem przezeń wywołanym w oporniku o wartości oporu R
można łatwo zaobserwować np. w układzie przedstawionym na rys.4.
iR
Generator
mA
fg
H"
ug uR
mA
ug(t) R ug = uR , R = ( ug/iR )
i(t) R `" f ( É ), É = 2Ä„fg
Rys.4. Pomiar prądu i napięcia na oporniku R; R nie zależy od
częstotliwości (dla opornika idealnego).
Jeszcze proÅ›ciej, przyjmujÄ…c, że sygnaÅ‚ z generatora ma postać ug= Ausin(Ét) , a
prÄ…d ( co wiadomo z doÅ›wiadczenia) iR= Aisin(Ét), możemy obliczyć, że:
(t)
(t) sin(Ét)
u
g
u A A
R u u
= = = = R
(t) (t) sin(Ét)
i i A A
R R i i
Oznacza to, że jeżeli opornik nadąża z rozpraszaniem ciepła, czyli nie zmienia
swojej temperatury, to można przyjąć, że dla nie bardzo dużych częstotliwości
R = const.
Opór stawiany przez opornik prądowi przemiennemu nazywamy ogólniej
Impedancją Z . Impedancja opornika ZR jest równa jego oporowi omowemu R.
ZR = R . Prąd iR (t) zmienia się dokładnie synchronicznie z napięciem ug(t).
Mówimy, że oba przebiegi pozostają w tej samej fazie, lub, że przesunięcie
fazowe pomiędzy nimi wynosi zero. Ilustrację graficzną tego faktu w
terminologii wykresu wskazowego przedstawiono na rysunku 5.
uR
uR
iR
iR UR = R iR
Õ = 0
90o
ZR = R
0o
Impedancja opornika jest rzeczywista, nie posiada
składowej pionowej czyli urojonej w terminologii liczb
zespolonych.
Rys.5. Prądy i napięcia przemienne na oporniku , impedancja
rzeczywista.
3. Związek napięcia i prądu przepływającego przez kondensator przy
wymuszeniu sinusoidalnym
Celem naszym jest doświadczalne zbadanie i ustalenie, jaki jest związek
pomiędzy napięciem i prądem kondensatora o pojemności C , C = (Q/V) oraz ile
wynosi impedancja takiego kondensatora dla prądów przemiennych ( ZC ).
SzukanÄ… impedancjÄ™ oznaczymy jako XC.
Ug(t) = AU sin(Ét); É = 2Ä„f
iC(t)
iC(t) = Ai sin(Ét + Õ )
C
ug(t) uC(t)
(t)
XC
(t)
u
g
u
C
= = = = ?
Z X
C C
(t) (t)
i i
C C
ZC
ug(t) = uC(t)
Rys.6. Wielkości szukane: definicje i schemat zastępczy.
Aby wyznaczyć XC musimy zmierzyć AU, Ai ,Õ oraz É. Ponieważ duże
pojemności potrzebują więcej czasu aby się naładować i rozładować niż małe,
musimy zbadać jak XC zależy od częstotliwości.
Zadania do wykonania:
1.Zmontować układ pomiarowy według schematu przedstawionego na rysunku
nr.7. Użyć kondensatora wskazanego przez prowadzącego.
2. Zmieniając częstotliwość wymuszenia ( napięcia ug ) równomiernie ale w
skali logarytmicznej, mierzoną częstościomierzem , w przedziale od 40Hz do
ok. 1 MHz , zmierzyć uC(f) oraz iC(f) dla zbliżonych wartości AU.
Zaobserwować i zmierzyć przesuniÄ™cie fazowe Õ pomiÄ™dzy przebiegami
napięcia i prądu kondensatora dla różnych częstotliwości.
3. SporzÄ…dzić wykres zależnoÅ›ci Õ = Õ (logÉ).
Generator
UgS [V]
f [Hz]
Amplituda uC [V]
ug(t)
Kanał1 oscyloskopu
uC
C
f [Hz]
u10 10&!
Kanał2 oscyloskopu
Częstościomierz
iC(t)
iC = (u10 / 10)[A] ; XC = (AU(É) / Ai(É)) [ &! ]
Amplituda u10 [V]
Rys.7. Schemat układu do pomiaru impedancji kondensatora XC.
4. SporzÄ…dzić wykres zależnoÅ›ci logXC od logÉ.
Przyjąć, że zmienna zależna y = logXC , a zmienna niezależna x =logÉ (rys.8).
logXC
Rys.8. Zależność impedancji
logXC(É1)
kondensatora od
częstotliwości.
logXC(É2)
logÉ
102 103 104 105 Hz
É1 É2
5. Obliczyć nachylenie prostej na wykresie. Można użyć formuły:
a =(É1 - É2)-1[ logXC(É1)  logXC(É2) ]
6. Wyznaczamy zależność XC od częstotliwości:
równanie prostej ma postać ( y = ax + b): logXC(É) = -1logÉ + logb ,
oznaczamy: b = D- 1 i otrzymujemy : logXC(É) = log(É)- 1+ log(D)- 1, czyli:
XC = ( É D)- 1
7. Szukamy wymiaru wielkoÅ›ci D: D = (É XC)- 1, [D] = As/V = C/V = Farad
Czyli: wielkość D , bÄ™dÄ…ca niezmiennikiem procedury pomiaru XC w funkcji É
ma wymiar pojemności . Jest to pojemność użytego kondensatora .
D = C = ......F.
8. Zmierzyć wartość pojemności użytego kondensatora multimetrem i porównać
oba wyniki.
9. ImpedancjÄ™ kondensatora ZC = XC = (É C)- 1 nazywamy reaktancjÄ…
pojemnościową.
10. Ponieważ napięcie na kondensatorze opóz
nia siÄ™ w fazie za prÄ…dem o 90o to
wykres wskazowy reaktancji pojemnościowej jest następujący:
90o
+i
iC
0o
- i
- 90o
XC ZC = XC = (i ÉC)- 1
uC
270o
W reprezentacji liczb zespolonych reaktancja pojemnościowa jest wielkością
urojonÄ… skierowanÄ… w kierunku  i .
11. Przyjąć skalę reaktancji w &! i narysować wykresy wskazowe zmierzonych
wartości reaktancji pojemnościowej dla 4 wybranych wartości częstotliwości:
-iXC(É4)
-iXC(É1) -iXC(É3)
-iXC(É2)
1k&!
É1< É2 < É3 < É4
3. Związek prądu i napięć w szeregowym połączeniu RC : zależność od
częstotliwości.
Zadania do wykonania:
1. Zmierzyć R oraz C wskazanych przez prowadzącego multimetrem i zapisać
wyniki.
2.Zmontować układ pomiarowy według schematu przedstawionego na rysunku
nr.9. Jako R i C użyć elementów z punktu1.
R
uR
C
uC
ug
f
ugS
f
iC
ug= Ausin(Ét)
f
iC=Aisin(Ét+Õ)
mA
f [Hz]
RC
uR(f) KanaÅ‚1 oscyloskopu KanaÅ‚2 oscyloskopu uC(É)
Rys.9. Schematy: montażowy i ideowy układu do pomiaru prądu i napięć
w szeregowym układzie RC.
3. Po sprawdzeniu poprawności połączeń włączyć generator, oscylograf oraz
miliamperomierz (z częstościomierzem) do sieci.
4. Pokrętłem amplitudy sygnału wyjściowego ustawić amplitudę ug na kilka
woltów (mierzone na woltomierzu generatora). Zmieniając częstotliwość
zaobserwować napięcia uR , uC , iC oraz przesunięcie fazowe pomiędzy uR=iCR
oraz ocenić wpływ zmiany częstotliwości na te wielkości.
5. Ustawić częstotliwość sygnału wymuszającego generatora na około 40Hz.
Zmierzyć ug, uR, uC oraz iC.
6. Powtórzyć pomiary z punktu 5 dla około 12 częstotliwości, z przedziału 40Hz
do około 10kHz, rozłożonych równomiernie ale skali logarytmicznej.
7. Na podstawie zebranych wyników obliczyć:
a) zależność Õ = arctg(uC / uR) od czÄ™stoÅ›ci koÅ‚owej É
1
2
b) zależność : = + od częstości kołowej.
Z R
RC
2 2
É C
7.1. Wykonać wykresy moduÅ‚u impedancji RC od logÉ, oraz Õ =Õ(logÉ).
8. Sprawdzić czy spełniona jest relacja ug2 = uR2 + uC2 dla przynajmniej 4
wybranych częstotliwości.
9. Przyjąć skale: natężenia prądu, napięcia i narysować wykresy wskazowe iC,
uR, uC dla 2 wybranych częstotliwości:
5mA
2 V
uR= iCR
iC
uC ug
É1=...Hz É2=...Hz
10. Przyjąć skalę oporu w omach i wykonać wykres wskazowy modułu
impedancji |ZRC| połączenia szeregowego RC dla 3 wybranych częstotliwości
według następującego wzoru:
C
R
R
[&!]
+i
oÅ› rzeczywista
- i
Õ1
XC(É1)
Õ2
Impedancja zespolona:
Õ3
Z1
Z(É) = R  iXC = R  i (ÉC)  1
R  część rzeczywista impedancji
Z2
XC(É2)
zespolonej połączenia szeregowego RC
Z3
-i XC  część urojona (przesunięta w
fazie o  90o względem R) impedancji
zespolonej połączenia szeregowego RC.
XC(É3)
i = ( - 1) ½ , jednostka urojona
[
&!
] o
Å›
urojona