KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 9
Repetytorium
Zad. 9.1
Dla dz
wigara załamanego w planie wyznaczyć kąt obrotu węzła (1) przyjmując GIs = 4EI .
Rys. 9.1.1
Wykresy M i Ms od obciążenia zewnętrznego
Rys. 9.1.2
Wykresy M i Ms od jednostkowego obciążenia wirtualnego
Rys. 9.1.3
Obliczenie kąta obrotu: � = �M +�s
MM 1 1 Pl 2 1 Pl2
�M = ds = �" 2�" �" �"l �" �" =
+"
EI EI 2 2 3 2 6EI
l
MsMs 1 Pl2 Pl2
�s = ds = �" P �"l �"l �"1 = =
+"
GIs GIs GIs 4EI
l
Pl2 1 1 5 Pl2
�# ś#
� =+ =
ś# ź#
EI 4 6 12 EI
�# #
C16-2005-cw09
76
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 9.2
Obliczyć wartość siły S we wskazanym pręcie kratownicy przy ogrzaniu zaznaczonych prętów
o wielkość to . Dane: ąt , EA, l .
Rys. 9.2.1
Stopień statycznej niewyznaczalności układu
n = r + p - 2w = 3 + 8 - 2�"5 = 1
Przyjmujemy układ podstawowy metody sił wg rysunku
Rys. 9.2.2
Siły w prętach układu podstawowego wywołane stanem X1 = 1
Rys. 9.2.3
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym
8
�# ś#
2
�10 = �"ąt �"t0 �"li = ąt �"t0 �"2�"ś# -
ź#�"l = -ąt �"t0 �"l �" 2
"S
1i
i
ś# ź#
2
i=1
�# #
- wywołane nadliczbową X1 = 1
8
S1iS1i 1 1 2l
�#ś#
�11 = li = 4�" �"l + 2�"1�"l 2 = 1+ 2
( )
" ś#ź#
EAi EA 2 EA
�# #
i=1
Z równania zgodności przemieszczeń: �1 = �10 + �11X1 = 0
�# ś#
�10 ątt0l 2 2
otrzymujemy S = X1 = - = = ątt0EAś#1- ź#
�11 2l 1+ 2 ś# ź#
2
�# #
( )
EA
C16-2005-cw09
77
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 9.3
Stosując metodę sił sporządzić wykresy sił wewnętrznych.
Rys. 9.3.1
Stopień statycznej niewyznaczalności układu n = 1
Przyjmujemy układ podstawowy metody sił wg rysunku
Rys. 9.3.2
Stan X1 = 1
Rys. 9.3.3
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:
�10 =-1�"�
- wywołane nadliczbową X1 = 1:
MM1 1 1 2 l
1
�11 = ds = �" �"l �"1�" �"1 =
+"
EI EI 2 3 3EI
L
Równanie zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0
�10 3EI
otrzymujemy X1 =- = �
�11 l
Rozwiązanie:
Rys. 9.3.4
C16-2005-cw09
78
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 9.4
Rozwiązać układ metodą sił i metodą przemieszczeń.
Rys. 9.4.1
METODA SIA

Stopień statycznej niewyznaczalności układu n = 1
Przyjmujemy układ podstawowy metody sił wg rysunku
Rys. 9.4.2
Zakładamy, że obciążenie zewnętrzne (moment skupiony) działa po lewej stronie przegubu.
Stan obciążenia zewnętrznego
Rys. 9.4.3
Stan X1 = 1
Rys. 9.4.4
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:
M0M1 1 1 2 14
�10 = ds = �" �"14�"6�" �"1 =
+"
EI 2EI 2 3 EI
L
- wywołane nadliczbową X1 = 1:
MM1 1 1 2 1 1 2 7
1
�11 = ds = �" �"6�"1�" �"1+ �" �" 4�"1�" �"1 =
+"
EI 2EI 2 3 EI 2 3 3EI
L
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0
�10
otrzymujemy X1 =- =-6[kNm]
�11
C16-2005-cw09
79
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rozwiązanie:
Rys. 9.4.5
METODA PRZEMIESZCZEC

Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
Momenty wyjściowe są zerowe (brak obciążeń przęsłowych)
Momenty przywęzłowe pochodzące od kąta obrotu � =1:
Rys. 9.4.6
Sumaryczne momenty przywęzłowe: M1A = EI�; M1B = 0,75EI�
Równanie równowagi :
Rys. 9.4.7
ŁM1 = M1A + M1B +14 = 0
8
Stąd: 1,75EI� +14 = 0 �! � = -
EI
Wartości momentów przywęzłowych:
M1A =-8[kNm]
M1B =-6[kNm]
Rozwiązanie:
Rys. 9.4.8
C16-2005-cw09
80
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 9.5
Rozwiązać układ stosując metodę przemieszczeń.
2 -1
Ą# ń#
EI = 40000
Ł#kNm Ś#; "tA-B = td - tg = 20oC h = 0, 2m; ąt = 10-5 Ą# ń#
Ł#deg Ś#
Rys. 9.5.1
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
Schemat geometrycznie wyznaczalny z obciążeniem zewnętrznym:
Rys. 9.5.2
Moment wyjściowy:
3 ąt"t 10-5 �" 20
0
M = EI = 6000�" = 60 [kNm]
BA
2 h 0, 2
Momenty przywęzłowe wywołane jednostkowym wymuszeniem � =1:
Rys. 9.5.3
Sumaryczne momenty przywęzłowe: MBA = 60 + 0,6�" EI�; MBC = EI�
Równanie równowagi : ŁMB = MBA + MBC = 0
37,5
Stąd: 60 +1,6EI� = 0 �! � = -
EI
Wartości momentów przywęzłowych:
MBA = 60 - 22,5 = 37,5 [kNm]
MBC =-37,5 [kNm]
Rozwiązanie:
Rys. 9.5.4
C16-2005-cw09
81