KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 4
Zad. 4.1
Obliczyć przemieszczenie � belki z podporą sprężystą. EI =1000 kNm2 .
Rys. 4.1.1
ks - sztywność podpory sprężystej  siła, jaka powstaje w sprężynie po przemieszczeniu jej o
wielkość � =1[m]
1
Odwrotność sztywności: �s = - podatność podpory  przemieszczenie sprężyny pod
ks
jednostkową siłą.
Przemieszczenie � obliczymy ze wzoru wynikającego z zasady prac wirtualnych:
MM
� = ds +�B �" RB (4.1)
+"
EI
l
Stan obciążenia zewnętrznego:
Rys. 3.5.2
Przemieszczenie podpory sprężystej od obciążenia zewnętrznego:
11
�B = �s �" RB = �" RB = �"10 = 0,1[m]
ks 100
C16-2005-cw04
28
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Stan jednostkowego obciążenia wirtualnego:
Rys. 4.1.3
Reakcja podpory sprężystej od jednostkowego obciążenia wirtualnego:
1
RB = [-]
2
Obliczenie przemieszczenia
Wpływ zginania belki:
MM 1 1 2 8
�1 = ds = �" 2�" �" 2�" 20�" �"1 = = 2,667[cm]
+"
EI 1000 2 3 300
l
Wpływ przemieszczenia podpory sprężystej:
1
�2 = �B �" RB = 0,1�" = 0,05m = 5,0[cm]
2
� = �1 +�2 = 7,667[cm]
Ogólny wzór dla układów ramowych z podporami sprężystymi:
n
MM 1
� = ds + Ri �" Ri (4.2)
"
+"
EI ki
i=1
l
gdzie:
n - liczba podpór sprężystych
ki, i =1, n - sztywność danej podpory
Ri, i =1, n - reakcja w danej podporze od obciążenia rzeczywistego
Ri, i = 1, n - reakcja w danej podporze od jednostkowego obciążenia wirtualnego
Inny wariant:
n
MM
� = ds + Ri �" Ri = �1 + �2
"�
i
+"
EI
i=1
l
gdzie:
1
�i = - podatność danej podpory
ki
C16-2005-cw04
29
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 4.2 (*zadanie dodatkowe)
Obliczyć przemieszczenie � . Przyjąć EI = 2000 kNm2 .
Rys. 4.2.1
Przemieszczenie � obliczymy ze wzoru wynikającego z zasady prac wirtualnych:
2
MM 1
� = ds + Ri �" Ri (4.3)
"
+"
EI ki
i=1
l
Stan obciążenia zewnętrznego (reakcje jak dla podpór stałych)
Rys. 4.2.2
Stan jednostkowego obciążenia wirtualnego
Rys. 4.2.3
C16-2005-cw04
30
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Obliczenie przemieszczenia
Wpływ zginania:
MM 1
�1 = ds = �" �" 2�" = 0,02[m]
(-20
) (-1
)
+"
EI 2000
l
Wpływ przemieszczenia podpór sprężystych:
11 1
�2 = RA �" RA + M �" M = �" 20�" 2 = 0,05m
k1 k2 A A 800
� = �1 +�2 = 0,07 m = 7,0cm
Zad. 4.3
Obliczyć kat obrotu w punkcie B układu jak na Rys. 4.1.1 wywołany przyrostem temperatury
"t = 30oC w zaznaczonych elementach.
Rys. 4.3.1
Szukany kąt obrotu obliczymy ze wzoru
ąt �""t
�B = (4.4)
+"M h ds
l
Momenty zginające wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:
Rys. 4.3.2
C16-2005-cw04
31
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Obliczenie kąta obrotu:
ąt �""t 10-5 �"30 1 1 1+ 0,3
Ą#
�B = �"4�" + �"3�"0,3+ �"5ń# = 4,35�"10-3 [rad] = 14'57"
+"M h ds = (-0,4)
ó#Ą#
0, 2 2 2 2
Ł#Ś#
l
Zad. 4.4
Obliczyć przemieszczenie � wywołane równomiernym ogrzaniem wszystkich elementów układu.
Dane są wielkości a,ąt , t0 .
Rys. 4.4.1
Przemieszczenie obliczymy ze wzoru
� = N �"ąt �" "t �" ds (4.5)
+"
l
Siły normalne wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:
Rys. 4.4.2
Obliczenie przemieszczenia:
�#ś#
22 2
� = -ąt �"t0 ś# �" a 2 + �" 2a + �" aź# = -3a �"ąt �"t0
ś#ź#
23 3
�# #
C16-2005-cw04
32
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 4.5
Obliczyć przemieszczenie � wywołane równomiernym ogrzaniem zewnętrznych prętów
kratownicy o wielkość t0 = 20oC względem temperatury montażu.
Rys. 4.5.1
Przemieszczenie wywołane równomiernym ogrzaniem obliczamy ze wzoru
� = N �"ąt �"t0 �"ds (4.6)
+"
l
W przypadku kratownic wzór przedstawiamy w postaci
n
� = �"ąt �"t0 �"li (4.7)
"S
i
i i
i=1
gdzie:
n - liczba prętów
ąt , t0 , li - wielkości związane z danym prętem
i i
Si - siła w danym pręcie od obciążenia wirtualnego
Siły w prętach wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:
Rys. 4.5.2
Obliczenie przemieszczenia:
n
Ą#ń#
12 2
� = �"ąt �"t0 �"li = 1, 2�"10-5 �" 20
(-1
) -ś#
"S ó#2�" + 2�" 2�"�# + 2�" 2�" + 3 �" 2 2Ą# = 1,6�"10-4[m] = 0,016 [cm]
i ś# ź#
i i
33
�# #
i=1
Ł#Ś#
C16-2005-cw04
33
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 4.6
Obliczyć zmianę kąta obrotu w przegubie (C) wywołaną zadanymi wymuszeniami kinematycznymi
Rys. 4.6.1
Zmianę kata obrotu "� obliczymy ze wzoru
3
"� = - �" Ri (4.8)
""
i
i=1
Zadane przemieszczenia podpór:
"1 = �A = 0,05 [rad]
"2 = uB = -0,04 [m]
"3 = vB = -0,03[m]
Reakcje podporowe wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:
R1 = M = 1,5 [-]
A
1
Ą# ń#
R2 = HB = 0, 25
ó# Ą#
m
Ł# Ś#
R3 = VB = 0
Rys. 4.6.2
Obliczenie zmiany kąta obrotu "� :
3
"� = - �" Ri = - Ą#1,5�"0,05 + 0,25�"
(-0,04 ń# = -0,065[rad] = -3o43'
)Ś#
""
i
Ł#
i=1
C16-2005-cw04
34
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 4.7
Obliczyć przemieszczenie � powstałe w wyniku zaznaczonych błędów montażowych
Rys. 4.6.1
Przemieszczenie � obliczymy ze wzoru
� = "li �" Ni + "�i �" Mi (4.9)
()
"
Imperfekcje geometryczne:
"l1-2 = 0,03[m]
"�2 = 0,01[rad]
Stan jednostkowego obciążenia wirtualnego i odpowiadające mu wielkości statyczne (sprzężone
z zadanymi imperfekcjami)
Rys. 4.6.2
Obliczenie przemieszczenia:
� ="l1-2 �" N1-2 +"�2 �" M2 = 0,03�"0,5 + 0,01�"(-2) =-0,005[m] =-0,5 [cm]
C16-2005-cw04
35