KMB, WILiÅš, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 14
Zad. 14.1
Wyznaczyć graniczną wartość obciążenia P, narysować wykres  M w stanie granicznym.
M = const
pl
Rys. 14.1.1
Stosujemy metodę prób kinematycznych.
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny  aby układ przekształcił się w mechanizm
muszą powstać dwa przeguby plastyczne. W rozpatrywanym schemacie momenty zginające mogą
przyjmować wartości ekstremalne tylko w dwóch punktach (1,2). Możliwy jest zatem jeden
mechanizm zniszczenia.
Rys. 14.1.2
Stan przemieszczeń wirtualnych układu w chwili zniszczenia
Rys. 14.1.3
Zasada prac wirtualnych;
Lw = Lz
Lw - praca sił wewnętrznych (momentów M ) na odpowiednich kątach obrotu w przegubach
pl
plastycznych
Lz - praca obciążeń zewnętrznych na odpowiednich przemieszczeniach
Lw = M Å"¸ + M Å"¸ + M Å"¸ = 3M Å"¸
plplpl pl
l
Lz = P Å"¸ Å"
2
6M
l
pl
Lw = Lz Ò! 3Å" M Å"¸ = P Å"¸ Å" Ò! Pgr =
pl
2 l
C16-2005-cw14
110
KMB, WILiÅš, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Wykres momentów zginających w stanie granicznym:
Rys. 14.1.4
Zad. 14.2
Obliczyć graniczną wartość obciążenia P oraz narysować wykres  M w stanie granicznym.
Rys. 14.2.1
Stosujemy metodę prób kinematycznych.
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny  przekształcenie go w mechanizm
następuje w wyniku powstania dwóch przegubów plastycznych. W rozpatrywanym schemacie
momenty zginające mogą przyjmować wartości ekstremalne tylko w trzech punktach (1,B,2).
Możliwe są zatem trzy mechanizmy zniszczenia.
(I) przeguby plastyczne w p. 1 i B
Rys. 14.2.2
Lw = 2M Å"¸ + 2M Å"¸ + M Å"¸ = 5M Å"¸
pl pl pl pl
5M
l
pl
Lz = 2P Å"¸ Å" = P Å"¸ Å"l Lw = Lz Ò! PI =
2 l
(II) przeguby plastyczne w p. 1 i 2
Rys. 14.2.3
Lw = 2M Å"¸ + 2M Å"¸ + M Å"¸ + M Å"¸ = 6M Å"¸
pl plplpl pl
12M
ll l
pl
Lz = 2P Å"¸ Å" - P Å"¸ Å" = P Å"¸ Å" Lw = Lz Ò! PII =
22 2 l
C16-2005-cw14
111
KMB, WILiÅš, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
(III) przeguby plastyczne w p. B i 2
Rys. 14.2.4
Lw = M Å"¸ + M Å"¸ + M Å"¸ = 3M Å"¸
plplpl pl
6M
l
pl
Lz = P Å"¸ Å" Lw = Lz Ò! PIII =
2 l
5M
pl
Obciążeniem granicznym może być więc Pgr = PI = odpowiadający mu mechanizm
l
zniszczenia (I).
Należy sprawdzić, czy dany mechanizm jest statycznie dopuszczalny  w żadnym przekroju nie
może być przekroczona odpowiednia wartość momentu granicznego.
Rys. 14.2.5
M2 =-0,5M +1, 25M = 0,75M
pl pl pl
Ponieważ M2 = 0,75M < M
pl pl
Zatem założony mechanizm zniszczenia jest statycznie dopuszczalny.
Wykres momentów zginających w stanie granicznym:
Rys. 14.2.6
Zad. 14.3
Obliczyć graniczną wartość obciążenia P oraz sporządzić wykres  M w stanie granicznym.
Rys. 14.3.1
C16-2005-cw14
112
KMB, WILiÅš, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny  przekształcenie go w mechanizm następuje w
wyniku powstania dwóch przegubów plastycznych. W rozpatrywanym schemacie momenty
zginające mogą przyjmować wartości ekstremalne w czterech punktach (A,1,2,3). Możliwych jest
więc 6 mechanizmów zniszczenia.
(I) przeguby plastyczne w p. A i 1
Rys. 14.3.2
Lw = M Å"¸ + M Å"¸ = 2M Å"¸
pl pl pl
P
Lz = Å"¸ Å" 2a = P Å"¸ Å" a
2
2M
pl
Lw = Lz Ò! PI =
a
(II) przeguby plastyczne w p. A i 2
Rys. 14.3.3
¸
Lw = M Å"¸ + 2M Å"¸ + 2M Å" = 4M Å"¸
plplpl pl
2
P 15
Lz = Å"¸ Å" 2a + P Å"¸ Å" a + P Å" Å"¸ Å" a = P Å"¸ Å" a
22 2
M
pl
Lw = Lz Ò! PII =1,6
a
(III) przeguby plastyczne w p. A i 3
Rys. 14.3.4
Lw = M Å"¸ + 2M Å"¸ + 2M Å" 2¸ = 7M Å"¸
plplpl pl
P
Lz = Å"¸ Å" 2a + P Å"¸ Å" a + P Å" 2Å"¸ Å" a = 4P Å"¸ Å" a
2
M
pl
Lw = Lz Ò! PIII = 1,75
a
C16-2005-cw14
113
KMB, WILiÅš, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
(IV) przeguby plastyczne w p. 1 i 2
Rys. 14.3.5
¸
Lw = M Å"¸ + 2M Å"¸ + 2M Å" = 4M Å" a
plplpl pl
2
1 3
Lz = P Å"¸ Å" a + P Å" ¸ Å" a = P Å"¸ Å" a
2 2
M
pl
Lw = Lz Ò! PIV = 2,667
a
(V) przeguby plastyczne w p. 1 i 3
Rys. 14.3.6
Lw = M Å"¸ + 2M Å"¸ + 2M Å" 2¸ = 7M Å"¸
plplpl pl
Lz = P Å"¸ Å" a + P Å"¸ Å" 2a = 3P Å"¸ Å" a
M
pl
Lw = Lz Ò! PV = 2,333
a
(VI) przeguby plastyczne w p. 2 i 3 do samodzielnego wykonania,
M
pl
PVI = 6
a
M
pl
Obciążeniem granicznym może być więc Pgr = PII =1,6 ,
a
odpowiadajÄ…cy mu mechanizm zniszczenia - (II).
C16-2005-cw14
114
KMB, WILiÅš, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Należy sprawdzić, czy dany mechanizm jest statycznie dopuszczalny  w żadnym przekroju nie
może być przekroczona odpowiednia wartość momentu granicznego.
Rys. 14.3.7
Pgr
M1 = Å" 2a - M = 0,6M
pl pl
2
2a
M3 = M + Pgr Å" =1,8M
pl pl
4
M1 < M
pl
Ponieważ
M3 < 2M
pl
zatem założony mechanizm zniszczenia jest statycznie dopuszczalny.
Wykres momentów zginających w stanie granicznym:
Rys. 14.3.8
C16-2005-cw14
115