KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 13
WYJŚCIOWE SIA
Y PRZYW
ZA
OWE
w elemencie belkowym wg. teorii II rzędu (wpływ siły normalnej na sztywność giętną)
Rys. 13.1
Pl2
ą, � ,� , � ,ą`, � ` - funkcje argumentu  = , są one stablicowane
EI
Gdy  0 (P 0)
zachodzi: ą 4, � 2,� 6, � 12, ą` 3, � ` 3
- wartości sił przywęzłowych wg teorii I rzędu
Zad. 13.1
Obliczyć wartości obciążenia krytycznego Pkr oraz odpowiadające długości wyboczeniowe
elementów ściskanych. EI = const
Rys. 13.1.1
Rozwiązanie metodą przemieszczeń.
Momenty przywęzłowe wywołane jednostkowymi kątami obrotu �1 i �2 :
Rys. 13.1.2
C16-2005-cw13
103
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Z założenia symetrycznej postaci wyboczenia wynika warunek �2 = -�1
- wystarczy zapisać jedno równanie równowagi, np. dla węzła  1
EI Pl2
M1A = ą`()�1 , gdzie  =
lEI
4EI 2EI 2EI
M12 = �1 + �2 = �1
ll l
Równanie równowagi:
ŁM1 = M1A + M12 = 0
EI
[ą`() + 2 �1 = 0
]
l
Niezerowe rozwiązanie (�1 `" 0) dla ą`() = -2
Przybliżone rozwiązanie  z zastosowaniem tablicy funkcji ą '
 = 3,5 �! ą`() = -1, 4682
 = 3,6 �! ą`() = -2,0587
Interpolacja liniowa:
2 -1, 4682 2,0587 -1, 4682
=
x 0,1
x = 0,09 �!  = 3,59
Rys. 13.1.3
Obciążenie krytyczne
EI EI
Pkr = 2 =12,89
l2 l2
Długość wyboczeniowa (efektywna na wyboczenie) elementu ściskanego  długość pręta prostego,
którego siła krytyczna wg wzoru Eulera równa jest sile w chwili wyboczenia danego elementu ramy
2
Ą EI EI EI Ą l
Pkr = �! lw = Ą = Ą l =
lw2 Pkr Pkrl2 
Dla danych z zadania otrzymujemy
Ą l
lw = lw = = 0,875l
A-1 2-B
3,59
Zad. 13.2
Obliczyć krytyczną wartość obciążenia Pkr oraz odpowiadającą długość wyboczeniową elementu
ściskanego. Założyć symetryczną postać wyboczenia EI = const
C16-2005-cw13
104
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rys. 13.2.1
Przy założeniu symetrii mamy �2 = -�1 oraz zerową wartość przesuwu elementu 1- 2 .
W rozwiązaniu metodą przemieszczeń wystarczy zapisać jedno równanie równowagi, np. ŁM1 = 0 .
Rys. 13.2.2
3EI 5EI
M1A = �1 = �1
0,6l l
EI EI EI Pl2
M12 = ą()�1 + � ()�2 =
[ą() - � () �1,  =
]
ll l EI
Równanie równowagi:
ŁM1 = M1A + M12 = 0
EI
5 +ą() - � () �1 = 0
[]
l
Niezerowe rozwiązanie jedynie w przypadku, gdy � () -ą() = 5
Wykorzystujemy tablice funkcji ą i �
Rys. 13.2.3
Z interpolacji liniowej uzyskujemy x = 0,06 , a wiec  = 4,76 .
C16-2005-cw13
105
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rys. 13.2.4
Krytyczna wartość obciążenia:
EI EI
Pkr = 2 = 22,66
l2 l2
Długość wyboczeniowa elementu 1-2:
Ą l Ą l
lw = = = 0,66l
 4,76
Zad. 13.3
Wyznaczyć krytyczną wartość obciążenia Pkr oraz długości wyboczeniowe elementów ściskanych.
EI = const
Rys. 13.3.1
Rozwiązanie metodą przemieszczeń, ng = 1, niewiadomą jest �B = � .
Parametry  każdego z elementów:
Pl2 1 Pl2
A - B 1 = = = 
4EI 2 EI
Pl2
B - C 2 = = 2
EI
Momenty przywęzłowe:
EI
MBA = ą`()�
l
EI
MBC = ą`(2)�
l
Równanie równowagi:
ŁMB = M + M = 0
BA BC
EI
[ą`() -ą`(2) � = 0
]
l
Niezerowe rozwiązanie jedynie w przypadku, gdy ą`() +ą`(2) = 0
Rys. 13.3.2
Z interpolacji liniowej uzyskujemy  = 1,81.
C16-2005-cw13
106
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rys. 13.3.3
Obciążenie krytyczne:
EI EI
Pkr = 42 = 13,104
l2 l2
Długości wyboczeniowe elementów:
Ąl Ąl Ąl Ąl
A - B lw1 = = =1,736l B - C lw2 = = = 0,868l
 1,81 2 3,62
Zad. 13.4
Obliczyć krytyczną wartość obciążenia Pkr oraz odpowiadającą długość wyboczeniową elementu
ściskanego.
Rys. 13.4.1
Rozwiązanie metodą przemieszczeń, ng = 2(�, ") .
Rys. 13.4.2
C16-2005-cw13
107
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Momenty przywęzłowe:
EI EI
M1A = ą()� - � ()"
ll
3EI 5EI
M1B = � = �
0,6l l
Pl2
 =
EI
Równania równowagi:
EI EI
ŁM1 = M1A + M1B = 0 �!
[ą() + 5 � - � ()" = 0
]
ll2
EI EI
ŁT1A = 0 �! - � ()� + � ()" = 0
l2 l3
EI EI
Ą#
[ą() + 5 - � ()ń#
]
ó#
ll2 Ą# ż#� �# ż#0�#
�"�# Ź# =
ó#Ą#
�#0Ź#
EI EI
ó#Ą# �#"�# �# �#
- � () � ()
ó#Ś#
Ł# l2 l3 Ą#
K()
Aby istniało niezerowe rozwiązanie musi zachodzić warunek det K() = 0
(EI)2
2
[ą() + 5 � () -� () = 0
]
{}
l4
2
f () = + 5 � () -� () = 0
[ą()
]
Rys. 13.4.3
Z interpolacji liniowej uzyskujemy  = 2,65 .
Obciążenie krytyczne:
EI EI
Pkr = 2 = 7,023
l2 l2
Długość wyboczeniowa elementu ściskanego:
Ą l
lw = = 1,186�"l

C16-2005-cw13
108
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
C16-2005-cw13
109