KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 8
Zad. 8.1
Wyznaczyć siły wewnętrzne powstałe na skutek wmontowania pręta A-1 dłuższego o "l = 3[cm] .
EI = 1400 [kNm2]
Rys. 8.1.1
Stopień geometrycznej niewyznaczalności układu
ng =1(�)
Schemat geometrycznie wyznaczalny:
Rys. 8.1.2
Momenty wyjściowe:
3�" EI 3�"1400
0
M1B =- �" "l =- �"0,03 =-14 [kNm]
32 32
Momenty przywęzłowe powstałe na skutek kąta obrotu � =1:
Rys. 8.1.3
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
4
M1A = EI�
3
M1B =-14 + EI�
2
M = EI�
A1
3
C16-2005-cw08
64
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Równanie równowagi : ŁM1 = M1A + M1B = 0
76
Stąd: -14 + EI� = 0 �! � =
3 EI
Wartości momentów przywęzłowych:
4
M1A = �"6 = 8[kNm]
3
M1B =-14 + 6 =-8 [kNm]
2
M = �"6 = 4 [kNm]
A1
3
Rozwiązanie:
Rys. 8.1.4
C16-2005-cw08
65
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 8.2
Wyznaczyć siły wewnętrzne powstałe na skutek równomiernego ogrzania jednego z elementów.
1
EI =10000 [kNm2], ąt =10-5 Ą# o ń#
ó# Ą#
C
Ł# Ś#
Rys. 8.2.1
Stopień geometrycznej niewyznaczalności układu
ng = 1(�)
Wydłużenie termiczne elementu 1-B:
"lt = ąt �"t0 �"l =10-5 �" 20�"3 = 6�"10-4 [m]
Schemat geometrycznie wyznaczalny:
Rys. 8.2.2
Momenty wyjściowe:
3�" EI 3�"10000
M10A =- �""lt =- �"6�"10-4 =-2 [kNm]
32 32
6E �"2I 6�" 20000
0 0
M1C = MC1 = �" "lt = �"6�"10-4 = 4,5[kNm]
42 16
C16-2005-cw08
66
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Momenty przywęzłowe:
3EI
M1A =-2 + � =-2 + EI�
3
3E �" 2I
M1B = � = 2EI�
3
4E �" 2I
M1C = 4,5 + � = 4,5 + 2EI�
4
2E �" 2I
MC1 = 4,5 + � = 4,5 + EI�
4
Równanie równowagi : ŁM1 = M1A + M1B + M1C = 0
1
Stąd: 2,5 + 5EI� = 0 �! � = -
2EI
Wartości momentów przywęzłowych:
M1A =-2 - 0,5 =-2,5 [kNm]
M1B =-1[kNm]
M1C = 4,5 -1 = 3,5 [kNm]
MC1 = 4,5 - 0,5 = 4 [kNm]
Rozwiązanie:
Rys. 8.2.3
C16-2005-cw08
67
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 8.3
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M.(pręty A-1 i 1-C mają jednakowy przekrój)
Rys. 8.3.1
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
ng = 1(�)
Brak momentów wyjściowych  nie ma obciążenia przęsłowego.
Wpływ kąta obrotu � =1:
Rys. 8.3.2
Momenty przywęzłowe pochodzące od kata obrotu � =1:
1
M1A = EI� M1B = 3EI� M1C = EI� MC1 = EI�
2
Równanie równowagi :
Rys. 8.3.3
ŁM1 = -M1A - M1B - M1C + M = 0
lub M1A + M1B + M1C = M
Stąd:
7
5EI� - 35 = 0 � =
EI
C16-2005-cw08
68
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Inna interpretacja:
Dodatkowy element 1-3 obciążony momentem skupionym M , powstaje moment wyjściowy
M13 =-M
Rys. 8.3.4
Wartości momentów przywęzłowych:
M1A = 7[kNm]
M1B = 21[kNm]
M1C = 7[kNm]
MC1 = 3,5 [kNm]
Rys. 8.3.5
Rozwiązanie M, T:
Rys. 8.3.6
C16-2005-cw08
69
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Siły normalne w elementach A-1 i 1-C:
Przyjmujemy że siła N1A jest rozciągająca, zaś siła N1C ściskająca.
Rys. 8.3.7
Równanie równowagi: " Py = 0 �! N1A + N1C = 7 (1)
N1A �"3 N1C �" 4
Warunek zgodności przemieszczeń: "l1A = "l1C �! = 3N1A = 4N1C (2)
EA EA
Z (1) i (2) mamy:
N1A = 4 kN
[ ]
N1C = 3[kN]
N1B = 2,625 - 2,333 = 0, 2917 [kN]
Rys. 8.3.8
C16-2005-cw08
70
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 8.4
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych
Rys. 8.4.1
Układ jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalny, przesuwny.
ng = 2(�,")
Schemat geometrycznie wyznaczalny z obciążeniem zewnętrznym:
Rys. 8.4.2
Momenty wyjściowe:
3�" 42
0
M =- =-4[kNm]
A1
12
0
M1A = 4[kNm]
Momenty zginające wywołane jednostkowymi wymuszeniami � = 1 i "= 1
Rys. 8.4.3
W obliczeniach przyjmujemy EI=1.
Momenty przywęzłowe:
3
M =-4 + 0,5� - "
A1
8
3
M1A = 4 +� - "
8
M1B = �
Równania równowagi :
3
(1) ŁM1 = M1A + M1B = 0 �! 2� - " + 4 = 0 �! 16� - 3" = -32 (1)
8
(2) Równowaga sił w elemencie 1-B w kierunku przesuwu
C16-2005-cw08
71
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rys. 8.4.4
M + M1A
A1
T1A =+ T10 , T10 = 6
A A
4
3 3
T1A = � - " + 6
8 16
3 3
ŁPx = 0 �! T1A + 2 = 0 �! � - " + 8 = 0
8 16
6� - 3" = -128 (2)
Równanie (2) można otrzymać tworząc układ przegubowy (mechanizm) i zadając w nim
przemieszczenie wirtualne "=1
Rys. 8.4.5
Równanie równowagi wyciętego elementu 1  B:
"P = 0 �! T1A �"1+ 2�"1 = 0 (T1A - od strony węzła)
x
M1A + M
A1
Po podstawieniu T1A =+ 6 otrzymujemy (2)
4
1
Do tego samego rezultatu można dojść wprowadzając kąt obrotu pręta A-1: �A-1 = i zapisując
4
równanie pracy wirtualnej:
1
�A-1 �"(M1A + M ) + 2�"1+ 3�" �"1�" 4 = 0 �! (2)
A1
2
Z (1) i (2) �! � = 9,6 " = 61,8667
Wartości momentów przywęzłowych:
M =-4 + 4,8 - 23, 2 =-22, 4 [kNm]
A1
M1A = 4 + 9,6 - 23,2 = -9,6 [kNm]
M1B =-9,6 [kNm]
Rys. 8.4.6
C16-2005-cw08
72
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rozwiązanie:
Rys. 8.4.7
Zad. 8.5
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M
Rys. 8.5.1
Układ jest trzykrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
ng = 3(�1,�2, ")
Rys. 8.5.2
Momenty wyjściowe:
12�" 4
0
M =- =-6[kNm]
A1
8
0
M1A = 6[kNm]
Momenty przywęzłowe wywołane stanami: �1 = 1, �2 =1, " = 1:
Rys. 8.5.3
C16-2005-cw08
73
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Momenty przywęzłowe:
M =-6 + 0,4�1 - 0,3"
A1
M1A = 6 + 0,8�1 - 0,3"
M12 = 2�1 +�2 + 0,75"
M21 = �1 + 2�2 + 0,75"
3
M2B = 0,75�2 - "
16
Równania równowagi :
(1) ŁM1 = M1A + M12 = 0 �! 2,8�1 +�2 + 0,45" = -6 (1)
9
(2) ŁM2 = M21 + M2B = M = 24 �! �1 + 2,75�2 + " = 24 (2)
16
(3) Tworzymy układ przegubowy i zadajemy przemieszczenie wirtualne "= 1
Rys. 8.5.4
M1A + M
A1
T1A =+ 4,8 = 0, 24�1 - 0,12" + 4,8
5
M12 + M21
T12 == �1 +�2 + 0,5"
3
M2B 3 3
T2B = = �2 - "
4 16 64
5 3
Równanie pracy wirtualnej: T1A �" -T12 �" + T2B �"1 = 0
4 4
(zwrot sił  od strony węzłów, w przypadku braku obciążenia węzłowego można podstawić siły T
od strony elementów)
Po podstawieniu otrzymujemy:
9 183
0, 45�1 + �2 + " = 6 (3)
16 320
Inny wariant: obliczamy kąty obrotu poszczególnych prętów układu przegubowego (mechanizmu)
Rys. 8.5.4
C16-2005-cw08
74
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Równanie pracy wirtualnej:
111
(M + M1A) - (M21 + M12) + M2B +12�"0,5 = 0
A1
444
1
(M + M1A - M21 - M12 + M2B ) + 6 = 0
A1
4
9 183
0, 45�1 + �2 + " = 6 (3)
16 320
Po rozwiązaniu układu równań (1), (2), (3) otrzymujemy:
�1 =-6,64506, �2 = 9,92489, "= 5,95861
Momenty przywęzłowe:
M =-10, 4456 [kNm]
A1
M1A =-1,1036 [kNm]
M12 = 1,1036 [kNm]
M21 =17,6736 [kNm]
M2B = 6,3264 [kNm]
Rozwiązanie:
Rys. 8.3.6
C16-2005-cw08
75