KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 6
Zad. 6.1
Obliczyć siły w prętach kratownicy powstałe na skutek równomiernego ogrzania zaznaczonych
prętów o wielkość to względem temperatury montażu.
Rys. 6.1.1
Pola przekrojów prętów poziomych i pionowych równe są A , prętów ukośnych - równe A 2 .
Dane : to = 30o C ąt = 2�"10-4 [deg-1] EA = 7000 kN a = 3 [m]
Układ podstawowy metody sił (na rysunku podana numeracja prętów):
Rys. 6.1.2
Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem X1 = 1
Rys. 6.1.3
C16-2005-cw06
44
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Przemieszczenia w układzie podstawowym (obliczenia w tabelce):
Rys. 5.1.4
Przemieszczenie pionowe w punkcie C wywołane równomiernym ogrzaniem:
5
�10 = �"ąti �"toili = 2�"10-4 �"180 = 0,036 [m]
"S
1i
i=1
Przemieszczenie pionowe w punkcie C wywołane obciążeniem X1 = 1
5
S1i2 21 m
Ą# ń#
�11 =�"li = = 0,003
"
ó#kN Ą#
EAi EA
Ł# Ś#
i=1
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0 otrzymujemy X1 =-12 [kN] .
Rozwiązanie:
Rys. 6.1.5
Inny sposób: Si = S0i + S1i �" X1
W przypadku oddziaływania pozastatycznego (temperatury) zachodzi Soi = 0 , więc
Si = S1i �" X1 = -12S1i [kN]
C16-2005-cw06
45
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 6.2
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych w belce ciągłej.
Rys. 6.2.1
Układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił
Rys. 6.2.2
Momenty zginające w układzie podstawowym w poszczególnych stanach:
- stan obciążenia zewnętrznego
Rys. 6.2.3
- stany X1 = 1 oraz X2 = 1 :
Rys. 6.2.4
Równania zgodności przemieszczeń - układ równań (1):
C16-2005-cw06
46
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
- zmiana kąta obrotu w p.1 : �10 + �11 �" X1 + �12 �" X2 = 0
- zmiana kąta obrotu w p.2 : �20 + �21 �" X1 + �22 �" X2 = 0
Wyznaczenie współczynników układu równań:
MoM1 1 1 1 2 9 1 1 1 31,75
Ą#ń#
�10 = ds = �"6�"9�" + �"3�" �" + �" �"8�"16 =
+"
ó#Ś#
EI EI 2 2 3 2 4Ą# 2EI 2 EI
Ł#
L
MoM2 1 1 1 1 1 1 24
�20 = ds = �" �"8�"16�" + �" �"4�"12�" �"1 =
+"
EI 2EI 2 2 EI 2 3 EI
L
MM1 10 MM2 2 MM2 8
1 1 2
�11 = ds = ; �12 = �21 = ds = ; �22 = ds =
+"+" +"
EI 3EI EI EI EI 3EI
LL L
Z układu równań (1) otrzymujemy : X1 = -8,1316 [kNm] X2 = -6,9671[kNm]
Rozwiązanie:
Rys. 6.2.5
Wykresy - do samodzielnego wykonania.
C16-2005-cw06
47
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 6.3
Sporządzić wykres momentów zginających powstałych w układzie pod wpływem przemieszczenia
podpory B. Dane: a, ", EI
Rys. 6.3.1
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił przedstawiono na rys. 6.3.2 -
nadliczbową jest moment zginający w p.1
Rys. 6.3.2
Momenty zginające w układzie podstawowym wywołane działaniem nadliczbowej X1 = 1
Rys. 6.3.3
Przemieszczenia uogólnione w układzie podstawowym:
- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana przemieszczeniem podpory
1 "
ś#
�10 =- R1i =-" �"�# - =
""
i ś# ź#
3a 3a
�# #
i
- zmiana kąta obrotu w p.1 wywołana działaniem nadliczbowej X1 = 1
MM1 1 1 2 1 2 8a
�#
1
�11 = ds = �"5a �"1�" �"1+ �"3a �"1�" �"1ś# =
ś#ź#
+"
EI EI 2 3 2 3 3EI
�# #
L
EI �" "
Z równania zgodności przemieszczeń obliczamy X1 =-
8a2
C16-2005-cw06
48
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rozwiązanie: M = M0 + M1X1
M0 - momenty wywołane oddziaływaniem zewnętrznym  zerowe
M1 - momenty wywołane obciążeniem X1 = 1
Rys. 6.3.4
Zad. 6.4
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych powstałych w układzie ramowym na skutek wmontowania
pręta A-1 dłuższego o "l = 3cm . Przyjąć EI = 1400 kNm2 = const
Rys. 6.4.1
Stopień statycznej niewyznaczalności (n=2).
Układ podstawowy metody sił:
Rys. 6.4.2
Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej X1 = 1
Rys. 6.4.3
C16-2005-cw06
49
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej X2 = 1
Rys. 6.4.4
Kąt obrotu w p. A w poszczególnych stanach:
- oddziaływanie zewnętrzne (imperfekcja): �10 = "l �" NA-1(1) = 0
MM1 1 1 2 1
1
- stan X1 = 1: �11 = ds = �" �"1�"3�" �"1 =
+"
EI EI 2 3 EI
L
MM2 1 1 1 1
1
- X2 = 1 : �12 = ds = �" �"1�"3�" �"1 =
+"
EI EI 2 3 2EI
L
Zmiany katów obrotu p. 1 w poszczególnych stanach
1
- oddziaływanie zewnętrzne (imperfekcja) �20 ="l �" NA-1(2) = 0,03�" = 0,01 m
3
M2M1 1
- X1 = 1: �21 = ds =
+"
EI 2EI
L
M2M2 1 1 2 2
- X2 = 1 : �22 = ds = �" 2�" �"3�"1�" �"1 =
+"
EI EI 2 3 EI
L
Równania zgodności przemieszczeń:
(1) �10 + �11 �" X1 + �12 �" X2 = 0 �! 2X1 + X2 = 0
(2) �20 + �21 �" X1 + �22 �" X2 = 0 �! X1 + 4X2 = -28
Stąd X1 = 4 kNm, X2 = -8 kNm
Rozwiązanie:
układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowych (brak zewnętrznego obciążenia czynnego)
Rys.6.4.5
C16-2005-cw06
50
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 6.5 (*zadanie dodatkowe)
Obliczyć siły w prętach podpierających sztywną tarczę.
Rys. 6.5.1
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił:
Rys. 6.5.2
Rozwiązania w układzie podstawowym:
- siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem zewnętrznym
Rys. 6.5.3
- siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem X1 = 1
Rys. 6.5.4
C16-2005-cw06
51
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Obliczenie przemieszczeń w układzie podstawowym przy pomocy tabelki:
Rys. 6.5.5
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:
4
SoiS1i Pl
�10 = li = -
"
EAi EA
i=1
- wywołane nadliczbową X1 = 1:
4
S1iS1i 6l
�11 = li =
"
EAi EA
i=1
P
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0 otrzymujemy X1 =
6
Rys. 6.5.6
Rozwiązanie otrzymujemy z superpozycji: Si = S0i + S1i �" X1
P
S1 =
6
P 5
S2 = P 2 - �" 2 = P 2
6 6
P 7
S3 =-P - �"1 =- P
6 6
P
S4 = 2
6
C16-2005-cw06
52
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 6.6
Sporządzić wykresy M i Ms w dz
wigarze załamanym w planie. Przyjąć GIs = 6EI .
Rys. 6.6.1
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił:
Rys. 6.6.2
Rozwiązanie w układzie podstawowym
Układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego:
Rys. 6.6.3
Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej X1 = 1:
Rys. 6.6.4
C16-2005-cw06
53
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:
Ą#2 ń#
�# ś#
M0M1 M0M1 1 ql2 5 1 ql2 2 1 ql2
�10 = ds + ds = �" �" �"l �" �"(-2l) + �"l �"ś# - �" 2lĄ# + �" �"l �" =
(-2l
)
ó#3 ź#�"
+"+"
EI GIs EI 2 8 2 2 3 GIs 2
�# #
LL Ł#Ś#
gl4 5 1 ql4 11 ql4
�# ś#
=- + - =- �"
ś#12 ź#
EI 3 6EI 12 EI
�# #
- wywołane nadliczbową X1 = 1:
MM1 MM1 1 1 2 1 2 1
Ą#2�"
1 1
�11 = ds + ds = �" �"l �"l �" l + 2�" �" 2l �"l �" �" 2lń# + �" 2l �"l �" 2l =
+"+" ó#Ą#
EI GIs EI 2 3 2 3 GIs
Ł#Ś#
LL
l3 2 8 4l3 4l3
�# ś#
= + + =
ś# ź#
EI 3 3 6EI EI
�# #
11
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0 otrzymujemy X1 = ql .
48
Reakcje podporowe uzyskujemy z superpozycji:
11
RA = ql
48
ql 11 13
RB = - ql = ql
2 48 48
11 13
RC = ql - ql = ql
24 24
ql 11 1
RD =- + ql =- ql
2 24 24
Rozwiązanie:
Rys. 6.6.5
C16-2005-cw06
54
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 6.7
Sporządzić wykresy M dla rusztu belkowego. EI = const .
Rys. 6.7.1
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił: rozdzielenie obu części układu, siła wzajemnego oddziaływania
(reakcja) jest nadliczbową X1
Rys. 6.7.2
Rozwiązanie w układzie podstawowym:
- układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego
Rys. 6.7.3
C16-2005-cw06
55
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
- układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej X1 = 1
Rys. 6.7.4
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:
�# ś#
M0M1 1 1 ql2 3 ql4
�10 = ds = �" �"l �"ś# - �" �"l = -
ź#
+"
EI EI 3 2 4 8EI
L �# #
- wywołane nadliczbową X1 = 1:
MM1 1 1 2 1 l 2 l l3
Ą#ń#
1
�11 = ds = �" �"l �"l �" �"l + 2�" �"l �" �" �" =
+" ó#2 3 2 2 3 2Ą# 2EI
EI EI
Ł#Ś#
L
ql
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0 otrzymujemy X1 = .
4
Rozwiązanie:
Rys. 6.7.5
C16-2005-cw06
56