KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 3
Zad. 3.1
Obliczyć przemieszczenie �
EI=10 000kNm2
Rys. 3.1.1
Wykres M dla stanu obciążenia
zewnętrznego:
Rys. 3.1.2
Odc. 1-2
Stan jednostkowego obciążenia
wirtualnego:
Całkowanie graficzne:
A-1
1
A1 = �" 4 �" (-24) = -48
2
28
�1 = �" (-4) = -
33
1-2 Rys. 3.1.3
1 2
A2 = �" 6 �" (-24) = -72 A3 = �" 6 �" 9 = 36
2 3
28 1
�2 = �" (-4) = - �3 = �" (-4) = -2
33 2
MM 11
� = ds = A1�1 + (A2�2 + A3�3 ) = 0.0188m = 1.88cm
+"
EI EI 2EI
L
C16-2005-cw03
16
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 3.2
Obliczyć zaznaczone przemieszczenie � kratownicy. EA=const.
Rys. 3.2.1
Siły w prętach wywołane obciążeniem
zewnętrznym:
Rys. 3.2.2
Siły w prętach wywołane obciążeniem
wirtualnym:
Rys. 3.2.3
Ą#
Zi Zi 12 1 1
� = li =
" ó#(-P 2) �" �" a �" 2 + 2P �" a + P �" (- ) �" a +
EAi EA 22 2
Ł#
ń#
12 1
+ (-2P) �" �" a + 2P 2 �" �" a �" 2 + (-2P) �" (- ) �" aĄ# =
22 2
Ś#
Pa
Ą#2 2 +1ń#
=
Ł#Ś#
2EA
C16-2005-cw03
17
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 3.3
Obliczyć kąt obrotu w przekroju � łuku parabolicznego (uwzględnić tylko zginanie)
I0
I =
cosą
EI0=1000kNm2
Rys. 3.3.1
- stan obciążenia zewnętrznego:
M (x) = -6y [kNm]
Rys. 3.3.2
- jednostkowe obciążenie wirtualne  moment skupiony:
1
M (x) = x
8
Rys. 3.3.3
dx
Zmienna podcałkowa s przebiega wzdłuż łuku. ds =
cosą
88
MM MM dx 1
�B = ds =�" =
+"+" +"M Mdx
I0 cosą EI0 0
EI
L 0
E
cosą
8
21
Stosując całkowanie graficzne mamy
+"MMdx = �"8 �" (-12) �" �" (-1) = 32
32
0
1
tak więc:
�B = �" 32 = 1o50'
1000
C16-2005-cw03
18
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 3.4
Dla łuku kołowego jak na rysunku wyznaczyć kąt obrotu w p. A
EI = const.
Rozwiązanie drogą całkowania analitycznego w
biegunowym układzie współrzędnych.
Rys. 3.4.1
1) funkcja M od obciążenia zewnętrznego:
y = a �" sin�
M (�) = -P �" y = -Pasin�
Rys. 3.4.2
2) Funkcja M od jednostkowego obciążenia wirtualnego:
x = a �" cos�
11
M (�) = 1- (a - x) = 1- (a - a cos�)
2a 2a
1 1 1
= 1- + cos� = (1+ cos�)
2 2 2
Rys. 3.4.3
3) Całkowanie
Rys. 3.4.4
M (�) �" M (�) 1Ą 1 Pa2 Ą
� = ds =
+"+"(-Pa sin�) �" (1+ cos�) �" ad� = - +"sin�(1+ cos�)d� =
EI EI 22EI
L 00
Ą
Pa2 Ą Pa2 1 Pa2
Ą#ń#
=- =- [-(-1) + 0 - (-1) + 0 =
]
+"[sin� + sin� �" cos�]d� =- ó#- cos� + 2 sin2 � Ą#
2EI 2EI 2EI
Ł#Ś#
0 0
Pa2
=-
EI
C16-2005-cw03
19
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 3.5 (*zadanie dodatkowe)
Wyznaczyć przemieszczenie �. EI=8000 kNm2
Rys. 3.5.1
1) Wykres M od obciążenia zewnętrznego:
Rys. 3.5.2
2) Wykres M od jednostkowego obciążenia wirtualnego:
Rys. 3.5.3
3) Obliczenie przemieszczenia:
M �" M 1 1 2 2 1
Ą#
� = ds =
+"
ó#2 �"5 �" (-24) �" �" (-4) + 3 �" 5 �"12 �" �" (-4) + 3�" (-4) �" (-36) +
EI 8000 3 2
Ł#
L
12
+ �" 4 �" (-48) �" �" (-4)ń# = 0.096m = 9.6cm
Ą#
23
Ś#
C16-2005-cw03
20
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 3.6
Wyznaczyć przemieszczenie � układu ramowo-kratowego. Dla części ramowej przyjąć
EI = 2000 kNm2, dla prętów kratowych przyjąć EA = 1500 kN.
Rys. 3.6.1
1) Rozwiązanie od obciążenia zadanego:
Rys. 3.6.2
2) Rozwiązanie od jednostkowego obciążenia wirtualnego:
Rys. 3.6.3
3) Obliczenie przemieszczenia:
1 1 2 1 1
M �" M Zi �" Zi Ą#2
� = ds + li = �" �" 2 �"12 �" �" 2 + �" 2 �"12 �" �" 2ń# +
"
+"
ó#Ą#
EI EAi EI 23 23
Ł#Ś#
L
11 1 1
Ą#(-12) �" (-1) �" 2 + �" (-6) �" 2 �" 2ń#
+ = �" 40 + �"12 = 0.028m = 2.8cm
ó#Ą#
EA 2 2000 1500
Ł#Ś#
C16-2005-cw03
21
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 3.7 (*zadanie dodatkowe)
Obliczyć przemieszczenie � sztywnej tarczy podpartej trzema prętami kratowymi.
Wpływ na przemieszczenie mają jedynie siły w prętach
kratowych  tarcza jest nieodkształcalna.
1) Siły w prętach kratowych od obciążenia zadanego:
Rys. 3.7.1
Rys. 3.7.2
2) Siły w prętach od jednostkowego
obciążenia wirtualnego.
3) Obliczenie przemieszczenia  jak dla kratownicy
3
Zi �" Zi P 2 �" 2 (-P) �" (-2)
� = li = 0 + �" l 2 + l =
"
EAi EA
EA 2
i=1
4Pl
=
EA
Rys. 3.7.3
Zad. 3.8
Obliczyć przemieszczenie � dz
wigara załamanego w planie. PrzyjąćGIs = 3EI .
Rys. 3.8.1
C16-2005-cw03
22
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Przemieszczenie � obliczymy ze wzoru Maxwella-Mohra (zasada prac wirtualnych dla układów
odkształcalnych), z uwzględnieniem wpływu zginania i skręcania.
MM Ms Ms
� = ds + ds = �M + �s (15.1)
+"+"
EI GIs
ll
Wartości reakcji podporowych od obciążenia zewnętrznego:
"M = 0 �! RC = ql
AB
"M = 0 �! RA = 1 ql
BC
3
"M = 0 �! RB = - 1 ql
CD
3
Rys. 3.8.2
Wykresy M i Ms od obciążenia zewnętrznego:
Rys. 3.8.3
Wartości reakcji podporowych od jednostkowego obciążenia wirtualnego
"M = 0 �! RC = 1
AB
"M = 0 �! RA = 2
BC
3
"M = 0 �! RB = - 2
CD
3
C16-2005-cw03
23
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rys. 3.8.4
Wykresy M i Ms od jednostkowego obciążenia wirtualnego:
Rys. 3.8.5
Obliczenie przemieszczenia:
Ą#ń#
M M 1 1 ql2 l 2 l 1 ql2 2 2l 2 ql2 5 55 ql4
�M = ds = �" �" �" �" + �" �"l �" �" + �"l �" �" �"lĄ# =
ó#
+"
EI EI 2 6 2 3 3 2 3 3 3 3 2 8 216 EI
Ł#Ś#
l
Ms Ms 1 ql2 ql4 ql4
�s = ds = �" �"l �"l = =
+"
GIs GIs 22GIs 6EI
l
91 ql4
� = �M +�s =
216 EI
C16-2005-cw03
24
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 3.9 (*zadanie dodatkowe)
Obliczyć przemieszczenie � dz
wigara załamanego w planie. PrzyjąćGIs = 4EI .
Rys. 3.9.1
Przemieszczenie � obliczymy ze wzoru Maxwella-Mohra (zasada prac wirtualnych dla układów
odkształcalnych) z uwzględnieniem wpływu zginania i skręcania.
MM Ms Ms
� = ds + ds = �M + �s (15.2)
+"+"
EI GIs
ll
Wykresy M i Ms od obciążenia zewnętrznego:
Rys. 3.9.2
Wykresy M i Ms od jednostkowego obciążenia wirtualnego
Rys. 3.9.3
Obliczenie przemieszczenia:
Ą#1 ql2 3 ń#
M M 1 �# ś# �# ś# 2 17 ql4
ql2 1 1
�M = ds = �"ś# - �" �" + - �" �" + �"l �" -ql2 �" �" =
(-l
) (-l
) (-l
)
( )
ó#3 2 4 2 Ą#
ź#�"l ś# ź#�"l 2 2 3 24 EI
+"
EI EI
�# # �# #
l Ł#Ś#
Ms Ms 1 ql4 ql4 23 ql4
�s = ds = �" -ql2 �"l �" = = � = �M + �s =
(-l
)GIs 4EI
( )
+"
GIs GIs 24 EI
l
C16-2005-cw03
25
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 3.10
Obliczyć przemieszczenie � rusztu belkowego.
Rys. 3.10.1
Przemieszczenie � obliczymy ze wzoru Maxwella-Mohra (zasada prac wirtualnych dla układów
odkształcalnych), uwzględniając jedynie wpływ zginania.
MM
� = ds (15.3)
+"
EI
l
Wykres M od obciążenia zewnętrznego:
Rys. 3.10.2
Wykres M od jednostkowego obciążenia wirtualnego
Rys. 3.10.3
Obliczenie przemieszczenia
Ą#1 ql2 3 1 ql2 2 ń#
M M 1 �# ś# �# ś# 1 3 2 19 ql4
� = ds = �"l �"ś# - (-l
) (-l�"l �" �"lĄ# =
)
ó#3 2 4 �" + 2 �"l �"ś# - ź#�" �" + 2�" �" �" ql2
ź#�"
+"
EI EI 2 3 2 4 3 24 EI
�# # �# #
l Ł#Ś#
C16-2005-cw03
26
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 3.11 (*zadanie dodatkowe)
Wyznaczyć kąt obrotu � rusztu belkowego.
Rys. 3.11.1
Kąt obrotu � obliczymy ze wzoru Maxwella-Mohra (zasada prac wirtualnych dla układów
odkształcalnych), uwzględniając jedynie wpływ zginania.
MM
� = ds (15.4)
+"
EI
l
Wykres M od obciążenia zewnętrznego:
Rys. 3.11.2
Wykres M od jednostkowego obciążenia wirtualnego:
Rys. 3.11.3
Obliczenie kąta obrotu
M M 1 1 2 1 2 3 Pl2
Ą#
� = ds = �"l �" �"1+ �"l �" �" �"1+ �"l �"
(-Pl
)1 (-Pl
) (-2Pl �" �"1ń# = -
)
+"
ó#22
EI EI 3 2 2 EI
3
Ł#Ą#
Ś#
l
C16-2005-cw03
27