Ćwiczenie 9
Pasmo tarczowe
Rozważymy tarczę nieskończoną, o szerokości 2b i grubości g
model tarczy ciągłej
Zakładamy, że obciążenia na obu brzegach są okresowe
i symetryczne względem osi x2.
Nie jest to ograniczenie metody  istnieje bowiem rozkład:
f (x) + f (-x) f (x) - f (-x)
f (x) = +
,
22
gdzie:
f (x) dowolna funkcja
f (x) + f (-x)
składnik symetryczny (funkcja parzysta)
2
f (x) - f (-x)
składnik antysymetryczny (funkcja nieparzysta)
2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 9 " KMBiM WILiŚ PG 1
x2
%�
p(x1)
b
x1
b
p(x1)
l l
Dla obciążenia, które opisane jest funkcją parzystą, możemy
zapisać szeregi cosinusowe:
" "
1
%� %�%�n
p x1 = a0 +
( ) ( )
"a cosąnx1 , p x1 = 1 a0 + "a cosąnx1 ; ąn = nĄ
n
2 2 l
n=1 n=1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 9 " KMBiM WILiŚ PG 2
Ze względu na globalny warunek równowagi (rzuty na oś pionową)
otrzymamy:
l l
1 1
%�%�
a0 = �" p(x1) dx1 = �" p(x1) dx1 = a0
+" +"
l l
-l -l
Do wyznaczenia funkcji naprężeń zastosujemy zasadę superpozycji:
"4F1 = 0 oraz "4F2 = 0 zatem: "4 F1 + F2 = "4F = 0
( )
(operator "4 g� jest liniowy!)
( )
F1
Pierwszą składową funkcji naprężeń (przy obc. brzegowych
2
1
�" a0 ) wyznaczymy, zakładając: F1 = C �" x1 , gdzie: C = const
2
"2F1
�22 = = 2C
2
"x1
1
Warunek brzegowy: �22 x2 = ąb = �" a0
( )
2
a0 a0
2
stąd: C = oraz: F1 = �" x1
4 4
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 9 " KMBiM WILiŚ PG 3
F2
Przy wyznaczaniu funkcji , ze względu na przyjętą metodę
szeregów Fouriera, zakładamy rozdzielenie zmiennych:
"
F2 x1, x2 = fn x2 �" cosąnx1
( ) ( )
"
n=1
Podstawiając do równania biharmonicznego "4F2 = 0 , otrzymamy:
"4 �łF2 x1, x2 łł = 0
( )�ł
�ł
"
42
( ) ( ) ( )łł
"�ł fn x2 �"ąn - 2 �" fn2 2 x2 �"ąn + fn2 2 2 2 x2 �ł �" cosąnx1 = 0
�ł
n=1
Rozwinięcie w szereg funkcji zerowej daje wszystkie współczynniki
równe zero!
Zatem, porównując współczynniki szeregów po obu stronach:
42
fn x2 �"ąn - 2 �" fn2 2 x2 �"ąn + fn2 2 2 2 x2 = 0
( ) ( ) ( )
Jest to więc zwyczajne równanie różniczkowe o stałych
współczynnikach!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 9 " KMBiM WILiŚ PG 4
2
Przewidujemy: fn x2 = er�"x
( )
42
2 22
Zatem: er�"x �"ąn - 2�" er�"x �"ąn + er�"x = 0
( )2 2 ( )2 2 2 2
4 2
2 22
er�"x �"ąn - 2 �" r2 �" er�"x �"ąn + r4 �" er�"x = 0
4 2
ąn - 2 �" r2 �"ąn + r4 = 0
2
2
2
ąn - r2 = 0 �ł - r + r łł = 0
(ąn
)(ąn
)�ł
( )
�ł
2
(ąn - r �" + r = 0
) (ąn 2
)
Stąd: r1,2 = +ąn oraz r3,4 = -ąn pierwiastki podwójne
Z warunku liniowej niezależności otrzymujemy:
n nn n
fn x2 = C1 �" eą �"x2 + C2 �" x2 �" eą �"x2 + C3 �" e-ą �"x2 + C4 �" x2 �" e-ą �"x2
( )
Podstawić można następujące zależności:
1 1
ch ą x = �" eą�"x + e-ą�"x oraz sh ą x = �" eą�"x - e-ą�"x
( ) ( )
2 2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 9 " KMBiM WILiŚ PG 5
A
ącząc poprzednie wzory, otrzymamy:
fn x2 =
( )
1
= An �"chąnx2 +ąnx2 �" Bn �" shąnx2 + Cn �" shąnx2 +ąnx2 �" Dn �"chąnx2
[ ]
2
ąn
^�
mnożnik wygodny do póz
niejszego różniczkowania
Otrzymujemy więc ostatecznie: F x1, x2 = F1 + F2
( )
a0 2
F1 x1, x2 = �" x1
( )
4
"
F2 x1, x2 = fn x2 �" cosąnx1
( ) ( )
"
n=1
a0 2
zatem: F x1, x2 = �" x1 +
( )
4
"
+2
[ ]
"ą1 An �"chąnx2 +ąnx2 �" Bn �" shąnx2 + Cn �" shąnx2 +ąnx2 �" Dn �"chąnx2 �"cosąnx1
n=1
n
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 9 " KMBiM WILiŚ PG 6
Stałe An, Bn,Cn, Dn wyznacza się z odpowiednich warunków
brzegowych dla �22 i �12,
gdzie:
"2F a0
�22 = = +
2
"x1 2
"
- An �"chąnx2 +ąnx2 �" Bn �" shąnx2 + Cn �" shąnx2 +ąnx2 �" Dn �"chąnx2 �"cosąnx1
[ ]
"
n=1
oraz:
"2F
�12 = -=
"x1"x2
"
= ... łł �"sinąnx1
( )�ł
"�ł
�ł
n=1
... = An + Bn �" shąnx2 +ąnx2 �" Bn �"chąnx2 + Cn + Dn �"chąnx2 +ąnx2 �" Dn �" shąnx2
( ) ( ) ( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 9 " KMBiM WILiŚ PG 7
x2
%�
p(x1)
b
x1
b
p(x1)
l l
Warunki brzegowe:
%�
ńł1) �22 = + p x1 ńł3) �22 = + p x1
( ) oraz dla: x2 = -b ( )
dla: x2 = b �ł
�ł
= 0 = 0
ół2) �12 ół4) �12
gdzie:
" "
1
%� %�%�n
p x1 = a0 +
( ) ( )
"a cosąnx1 , p x1 = 1 a0 + "a cosąnx1 ; ąn = nĄ
n
2 2 l
n=1 n=1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 9 " KMBiM WILiŚ PG 8
Rozwiązując układ czterech równań algebraicznych liniowych,
o czterech niewiadomych, otrzymujemy:
shąnb +ąnb �"chąnb
%�
An = -( )
an + an �"
sh 2ąnb + 2ąnb
shąnb
%�
Bn = an + an �"
( )
sh 2ąnb + 2ąnb
chąnb +ąnb �" shąnb
%�
Cn = -( - an �"
an
)
sh 2ąnb - 2ąnb
chąnb
%�
Dn = an - an �"
( )
sh 2ąnb - 2ąnb
Zatem funkcja F x1, x2 jest całkowicie określona!
( )
Jej zróżniczkowanie prowadzi do uzyskania naprężeń �11,�22,�12
w dowolnym punkcie danego pasma tarczowego!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 9 " KMBiM WILiŚ PG 9
Najbardziej istotne, podobnie jak w belkach, są naprężenia �11:
"
"2F
�11 = = ... łł �" cosąnx1
( )�ł
"�ł
2
"x2 n=1 �ł
gdzie: ... = An �"chąnx2 + 2Bn �" chąnx2 +ąnx2 �" Bn �" shąnx2 +
( )
+Cn �" shąnx2 + 2Dn �" shąnx2 + ąnx2 �" Dn �" chąnx2
Zatem:
"
�11 = ... łł �" cosąnx1
( )�ł
"�ł
�ł
n=1
gdzie:
... = An + 2Bn �"chąnx2 +ąnx2 �" Bn �"shąnx2 + Cn + 2Dn �"shąnx2 +ąnx2 �" Dn �"chąnx2
( ) ( ) ( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 9 " KMBiM WILiŚ PG 10
Szeregi te są na ogół wolnozbieżne (szczególnie dla x2 = ąb ).
Drogą przekształceń można z nich otrzymać szeregi o lepszej
zbieżności:
�11 x2 = b =
( )
"" "
%�n %� %�
= an + an �"cn �" cosąnx1 + an - an �" dn �"cosąnx1
( ) ( )
"a �" cosąnx1 -" "
n=1 n=1 n=1
oraz:
�11 x2 = -b =
( )
"" "
%�%�
= an + an �" cn �" cosąnx1 - ( - an �" dn �" cosąnx1
an
( ) )
"a �" cosąnx1 -" "
n
n=1 n=1 n=1
2ąnb 2ąnb
gdzie: cn = oraz: dn = �! nowe stałe!
sh 2ąnb + 2ąnb sh 2ąnb - 2ąnb
Poza tym, z założenia:
" "
%�n %�%�
( ) ( )
"a cosąnx1 = p x1 - 1 a0, "a cosąnx1 = p x1 - 1 a0; ąn = nĄ
n
2 2 l
n=1 n=1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 9 " KMBiM WILiŚ PG 11