Ćwiczenie 12
Przykłady analizy płyt  c.d.
PA
YTA PROSTOK
TNA, SWOBODNIE PODPARTA,
DOWOLNIE OBCI
ŻONA
Rzut z góry:
a
x1
q x1, x2
( )
E,½ ,h
b
x2
Przyjmujemy rozwiązanie powyższego zagadnienia za pomocą
szeregu Fouriera.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 12 " KMBiM WILiŚ PG 1
Założymy szereg sinusowy, gdyż możemy zawsze uważać q x1, x2
( )
za funkcję nieparzystą dwóch zmiennych, zgodnie z wyobrażalnym
schematem:
a a a
b
+ - +
b - + -
b
+ - +
" "
q x1, x2 =
( )
""a sin mĄ x1 sin nĄ x2 ,
mn
ab
m=1 n=1
a b
4 mĄ x1 nĄ x2
gdzie: amn =
1
+"+"q(x , x2 )sin a sin b dx1dx2 ,
ab
0 0
przy czym: mn  liczby całkowite: 1,2,3...
,
Powyższy wzór wynika z ortogonalnoÅ›ci funkcji sin gð i dowodzi
( )
się go analogicznie jak w przypadku szeregów pojedynczych!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 12 " KMBiM WILiŚ PG 2
Przykładowo:
Niech: q x1, x2 = q0 = const
( )
Wówczas:
a b
4 mĄ x1 nĄ x2
amn =
1
+"+"q(x , x2 )sin a sin b dx1dx2
ab
0 0
4 Å" q0 a b mÄ„ x1 nÄ„ x2
amn =
+"+"sin a sin b dx1dx2
ab
0 0
ab
4 Å" q0 ab nÄ„ x2
mĄ x1
öÅ‚ öÅ‚
amn = Å"ëÅ‚ - Å"cos Å"ëÅ‚ - cos
ìÅ‚mÄ„ ÷Å‚ ìÅ‚nÄ„ ÷Å‚
ab a b
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
00
4 Å" q0 2a 2b 16 Å" q0
Zatem: amn = Å" Å" = , jeżeli m i n sÄ… nieparzyste,
2
ab mĄ nĄ mnĄ
lub: amn = 0, gdy m lub n jest parzyste!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 12 " KMBiM WILiŚ PG 3
W ogólnym przypadku obciążenia zakładamy rozwiązanie:
" "
w x1, x2 =
( )
""w sin mĄ x1 sin nĄ x2
mn
ab
m=1 n=1
Funkcja ta spełnia warunki brzegowe swobodnego podparcia!
Podstawienie do równania:
q0 x1, x2
( )
"4w x1, x2 =
( )
D
2
îÅ‚ëÅ‚ mÄ„ öÅ‚2 ëÅ‚ nÄ„ öÅ‚2 Å‚Å‚
daje zwiÄ…zek: D Å" Å" wmn = amn
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ + ìÅ‚ ÷Å‚ śł
ïÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ a Å‚Å‚ íÅ‚ b Å‚Å‚ śł
" "
1 amn mĄ x1 nĄ x2
czyli: w x1, x2 = Å" sin sin
( )
""îÅ‚ëÅ‚ m öÅ‚2 ëÅ‚ n öÅ‚2 Å‚Å‚ b
4 2
DÄ„ a
m=1 n=1
+
ïłśł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ a Å‚Å‚ íÅ‚ b Å‚Å‚ śł
przy czym: mn  liczby całkowite: 1,2,3...
,
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 12 " KMBiM WILiŚ PG 4
Przypadek szczególny: q x1, x2 = q0 = const
( )
16 Å" q0 " " amn mÄ„ x1 nÄ„ x2
w x1, x2 = Å" sin sin ,
( )
""
6 2
DÄ„ ab
m=1 n=1
îÅ‚ëÅ‚ m öÅ‚2 ëÅ‚ n öÅ‚2 Å‚Å‚
mn Å"+
ïłśł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ a Å‚Å‚ íÅ‚ b Å‚Å‚ śł
gdzie: mn  liczby całkowite nieparzyste: 1,3,5...
,
m+n
-1
a
ëÅ‚öÅ‚
x1 =
2
16Å" q0 " " (-1
)
2
Maks. ugiÄ™cie: max w ìÅ‚÷Å‚ Å"
=
""
6 2
ìÅ‚÷Å‚
b DÄ„
m=1 n=1
îÅ‚ëÅ‚ m öÅ‚2 ëÅ‚ n öÅ‚2 Å‚Å‚
x2 =
íÅ‚ 2 Å‚Å‚
mn Å"+
ïłśł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ a Å‚Å‚ íÅ‚ b Å‚Å‚ śł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 12 " KMBiM WILiŚ PG 5
Szereg ten jest szybkozbieżny, często wystarczy tylko pierwszy jego
wyraz (tj. dla m = 1, n = 1), przykładowo:
1) Jeżeli a = b oraz m = n = 1:
4Å" q0 Å" a4 q0 Å" a4
max w = = 0,00416Å"
6
DÄ„ D
q0 Å" a4
po uwzglÄ™dnieniu wiÄ™kszej liczby wyrazów max w = 0,00406Å"
D
(wynik ścisły)
q0 Å" a4
2) Jeżeli b = 3a , to: max w = 0,0122Å" (wynik Å›cisÅ‚y)
D
q0 Å" a4
3) Jeżeli b " (pasmo), to: max w = 0,0130Å" (wynik Å›cisÅ‚y)
D
b
Wniosek: dla > 3 obliczenia praktyczne płyty można zastąpić
a
obliczeniem pasma płytowego (dla obciążeń zbliżonych do
równomiernie rozłożonych)!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 12 " KMBiM WILiŚ PG 6
PA
YTA KWADRATOWA
 WYZNACZANIE MOMENTÓW W PA
YCIE
Rzut z góry:
a
x1
a
E,½ ,h
q x1, x2 = q = const
( )
x2
1
PrzyjÄ™to dla pÅ‚yty żelbetowej: ½ H"
5
16Å" q0 " " a4
w x1, x2 = Å"
Dla a = b : ( )
""mn Å" m2 + n2 sin mÄ„ x1 sin nÄ„ax2
6 2
DÄ„ a
m=1 n=1
( )
Dodatkowo, z symetrii: M11 x1, x2 = M22 x1, x2 ; w,11 = w,22
( ) ( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 12 " KMBiM WILiŚ PG 7
Moment zginajÄ…cy:
M11 = -D Å" w,11 +½ Å" w,22 = -D Å" w,11 Å" 1+½
( )
( )
16 Å" q0a2 " " m
w,11 = -Å" sin sin
""n Å" m2 + n2 mÄ„ x1 nÄ„ x2
4 2
DÄ„ aa
m=1 n=1
( )
dla m = 1, n = 1 i dla x1 = a 2, x2 = a 2
4Å" q0 Å" a2
mamy: M11 = Å" 1+½ H" 0,048Å" q0 Å" a2
( )
4
Ä„
Moment skręcający:
M12 = -D Å" 1-½ Å" w,12
( )
16 Å" q0a2 " " 1 mÄ„ x1 nÄ„ x2
w,12 = Å" cos cos
""
4 2
DÄ„
m=1 n=1
m2 + n2 aa
( )
dla m = 1, n = 1 i dla x1 = 0 , x2 = 0
4Å" q0 Å" a2
mamy: M12 =- Å" 1-½ H"-0,032Å" q0 Å" a2
( )
4
Ä„
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 12 " KMBiM WILiŚ PG 8
Obliczymy moment zginający w przypadku osi obróconych o kąt
Õ = 45°.
x2
s
n
Õ
x1
Ze wzorów transformacyjnych dla naprężeń, wynika iż:
Mnn = M11 Å" cos2 Õ + M22 Å"sin2 Õ + M12 Å"sin 2Õ
1
Mns = Å" M22 - M11 Å"sin 2Õ + M12 Å" cos 2Õ
( )
2
Zatem, dla Õ = 45°:
22
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
22
Mnn = M11 Å"ìÅ‚ ÷Å‚ + M22 Å"ìÅ‚ ÷Å‚ + M12 Å"1
22
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
11
Mnn = M11 Å" + M11 Å" + M12 Å"1 Mnn = M11 + M12
22
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 12 " KMBiM WILiŚ PG 9
Wykresy momentów w płycie:
Jeżeli dla Õ = 45° mamy: Mnn = M11 + M12
to w szczególności:
Mnn 0;0 = -0,032 Å" q0a2
( )
Mnn 2;a 2 = 0,048Å" q0a2
(a )
a
0,032
x1
× q0a2
M11
a
s
0,048 Mnn
0,048
0,032
½ = 0,20
x2
n
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 12 " KMBiM WILiŚ PG 10
Dyskusja!
1) W płycie swobodnie podpartej (obciążonej równomiernie)
występują ujemne momenty zginające w narożach!
Dlatego też w żelbecie zbroi się takie płyty w narożach również
a
górÄ… na odlegÅ‚oÅ›ciach :ð !
5
2) Sprawdzenie warunków równowagi w narożu
0,032 skręcający
( )
0,032 skręcający
( )
0,032 zginaj
Ä…cy
( )
Jak wyjaśnić ten paradoks?
Odpowiedz
: Momenty oznaczone wektorami osiowymi
sÄ… momentami skupionymi (kNm), a momenty 0,032 Å" q0a2
są momentami rozłożonymi (kNm/m).
Po pomnożeniu przez długości boków trójkąta  paradoks ten znika.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 12 " KMBiM WILiŚ PG 11