Ćwiczenie 7
Stany obrotowo  symetryczne w PSN i w PSO
Obrotowa symetria w Teorii Sprężystości i Plastyczności oznacza,
że symetryczne są jednocześnie: geometria, warunki brzegowe
oraz obciążenia.
Funkcja naprężeń F , wyrażona w układzie biegunowym, nie
może wówczas zależeć od kÄ…ta Õ , zatem: F = F(r)
îÅ‚Å‚Å‚
tak wiÄ™c: "4F r = "2 ðÅ‚"2F r = 0
( ) ( )ûÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
"2 gð " gð "2F r "F r
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
+ Å" + Å" = 0
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
"r2 r "r "r2 r "r
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Składowe stanu naprężenia:
1 "F "2F
Ãrr (r) = Å" ; ÃÕÕ (r) = ; ÃrÕ (r) = ÃÕr (r) = 0
r "r "r2
(do porównania ze wzorami ogólnymi)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 1
Równanie "4F r = 0 można rozwiązać w postaci ogólnej
( )
(bez odgadywania funkcji naprężeń)!
Różniczkując wskazane równanie:
ëÅ‚öÅ‚
"2 gð " gð
ëÅ‚öÅ‚
( ) 1 ( ) "2F 1 "F
+ Å" + Å"
ìÅ‚÷Å‚= 0
ìÅ‚÷Å‚
"r2 r "r "r2 r "r
íÅ‚Å‚Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
z wykorzystaniem wzoru na pochodnÄ… iloczynu, otrzymamy
(po przekształceniach):
"4F 2 "F 1 "2F 1 "2F 1 "3F 1 "3F 1 "F 1 "2F
+ Å" - Å" - Å" + Å" + Å" - Å" + Å" = 0
"r4 r3 "r r2 "r2 r2 "r2 sðuðuðuðuðuðuðuðuð r "r3rð r3 "r r2 "r2
r "r3rðsðuðuðuðuðuðuðuðuð
Po redukcji wyrazów podobnych i wprowadzeniu symbolu
pochodnej zwyczajnej, otrzymujemy:
4 2
d F 2 d3F 1 d F 1 dF
+ Å" - Å" + Å" = 0
dr4 r dr3 r2 dr2 r3 dr
jest to równanie różniczkowe liniowe o zmiennych współczynnikach!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 2
Można jednak powyższe równanie sprowadzić do równania
liniowego o stałych współczynnikach przez podstawienie:
r = et dr = et Å" dt
Zatem:
4 2
d F 2 d3F 1 d F 1 dF
+ Å" - Å" + Å" = 0
dr4 r dr3 r2 dr2 r3 dr
4 2
d F 1 2 d3F 1 1 d F 1 1 dF 1
Å"+ Å" Å"-Å" Å"+Å" Å" = 0
dt4 (et )4 et dt3 (et )3 (et )2 dt2 (et )2 (et )3 dt et
4 2
d F d3F d F dF
e-4t Å" + 2 Å" e-4t Å" - e-4t Å" + e-4t Å" = 0
dt4 dt3 dt2 dt
Czyli:
4 2
d F d3F d F dF
+ 2 Å" - + = 0
dt4 dt3 dt2 dt
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 3
Po rozwiązaniu ostatniego równania i powrocie do zmiennych
wyjściowych otrzymamy całkę ogólną równania:
4 2
d F 2 d3F 1 d F 1 dF
+ Å" - Å" + Å" = 0
dr4 r dr3 r2 dr2 r3 dr
w postaci: F(r) = AÅ"ln r + B Å" r2 Å" ln r + C Å" r2 + D
(ćwiczenie: sprawdzić przed postawienie, stałe całkowania dowolne)
Naprężenia wyrażają się wzorami:
A
üÅ‚
Ãrr (r) = + B Å" 1+ 2ln r + 2C
( )
ôÅ‚ sÄ… to naprężenia główne!
r2
żł
A
ôÅ‚
ÃÕÕ (r) = - + B Å" 3 + 2ln r + 2C
( )
þÅ‚
r2
ÃrÕ (r) = ÃÕr (r) = 0
Z powyższego zapisu można wyprowadzić rozwiązania wszelkich
zagadnień o obrotowo  symetrycznym rozkładzie naprężeń, po
uwzględnieniu odpowiednich warunków brzegowych!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 4
Przykład: Wyznaczyć naprężenia w zagadnieniu dwuwymiarowym,
panujące w obszarze kolistym z otworem kolistym na środku.
Interpretacja:
tarcza z kolistym otworem (PSN)
rura grubościenna (PSO)
a d" r d" b
a
p = const  ściskanie
b
r
Õ
jest równomierne
Warunki brzegowe: 1)Ãrr (r=b) = - p oraz 2)Ãrr (r=a) = 0
Uwaga: Jako trzeci warunek można przyjąć brak przemieszczeń
obwodowych (nieskończenie wiele płaszczyzn symetrii), ale
wówczas obliczenia stają się złożone!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 5
Rozumowanie alternatywne (M. T. Huber)
Jeżeli promień r = b ", to obciążenie p = const 0!
Tak więc oraz
Ãrr r 0 ÃÕÕ r 0
( ) ( )
(wartości te nie mogą wzrastać w sposób logarytmiczny!)
Zatem: B = 0,
A A
Ãrr (r) = + 2C
stÄ…d: oraz ÃÕÕ (r) = - + 2C
r2 r2
RealizujÄ…c warunki brzegowe:
1)Ãrr (r=b) = - p
A
Ãrr (r = b) = + 2C = - p
b2
2)Ãrr (r=a) = 0
A
Ãrr (r = a) = + 2C = 0
a2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 6
Przekształcając równania pochodzące z warunków brzegowych:
A A
+ 2C = - p oraz + 2C = 0
b2 a2
p Å" a2 Å"b2 p Å"b2
C =
otrzymujemy: A = oraz -
b2 - a2 2 Å" (b2 - a2)
i ostatecznie:
îÅ‚Å‚Å‚
A p Å" a2 Å"b2 1 p Å"b2
Ãrr (r) = + 2C = Å" + 2 Å"
śł
r2 b2 - a2 r2 ïÅ‚- 2 Å" (b2 - a2)
ðÅ‚ûÅ‚
ëÅ‚öÅ‚
p Å"b2 a2
Ãrr (r) = Å"ìÅ‚ -1÷Å‚
b2 - a2 íÅ‚ r2 Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚îÅ‚ Å‚Å‚
A p Å" a2 Å"b2 1 p Å"b2
oraz: ÃÕÕ (r) = - + 2C = -ìÅ‚ Å" + 2 Å"
śł
r2 b2 - a2 ÷Å‚ r2 ïÅ‚- 2 Å" (b2 - a2)
íÅ‚ Å‚Å‚ðÅ‚ ûÅ‚
ëÅ‚öÅ‚
p Å"b2 a2
ÃÕÕ (r) = - Å"ìÅ‚ +1÷Å‚
b2 - a2 íÅ‚ r2 Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 7
Wykresy naprężeń:
p
-
Ãrr
ÃÕÕ
a2 + b2
p Å"
0
-
a2 - b2
2 Å"b2
p Å"
a2 - b2
b - a
ëÅ‚öÅ‚ ëÅ‚öÅ‚
p Å"b2 a2 p Å"b2 a2
Ãrr (r) = Å"ìÅ‚ -1÷Å‚ ÃÕÕ (r) = - Å"ìÅ‚ +1÷Å‚
oraz
b2 - a2 íÅ‚ r2 Å‚Å‚ b2 - a2 íÅ‚ r2 Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 8
Dyskusja!
1) Przypadek pełnej tarczy:
zatem: a = 0
Ze wzorów na naprężenia wynika, iż:
ëÅ‚öÅ‚
p Å"b2 02 p Å"b2
Ãrr (r) = Å"ìÅ‚ -1÷Å‚ = Å" = - p
(-1
)
b2 - 02 íÅ‚ r2 Å‚Å‚ b2
ëÅ‚öÅ‚
p Å"b2 02 p Å"b2
ÃÕÕ (r) = - Å"ìÅ‚ +1÷Å‚ = - Å" +1 = - p
( )
b2 - 02 íÅ‚ r2 Å‚Å‚b2
w każdym punkcie obszaru!
2) Przypadek płaskiego stanu odkształceń (PSO):
pamiętamy, że w kierunku prostopadłym do przekroju zachodzi:
b2
Ã33 =½ Å" Ãrr +ÃÕÕ = -2 Å"½ Å" p Å" = const
( )
b2 - a2
naprężenia te nie zależą od wielkości promienia r , wynika stąd
brak deplanacji przekroju!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 9
Zadanie: Wyznaczyć naprężenia w jednokierunkowo rozciąganej
tarczy z otworem kołowym pośrodku.
(jest to podstawowe zadanie z dziedziny analizy koncentracji naprężeń)
x2
p = const
g = 1 kolisty
otwór
a
x1
Õ
r
b
wyobrażony ÃrÕ
okrÄ…g
p = const
Ãrr
o promieniu r = b
Założenia:
1) otwór jest stosunkowo mały w porównaniu z wymiarami tarczy
w płaszczyz
nie x1
2) otwór wpływa na rozkład naprężeń tylko w pewnym swoim
otoczeniu; poza tym otoczeniem mamy: Ã11 = p, Ã22 = 0 i Ã12 = 0
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 10
RozwiÄ…zanie zadania:
1° Dla r = b b ?ð a otrzymamy skÅ‚. stanu naprężeÅ„ w ukÅ‚adzie
( )
biegunowym (ze wzorów transformacyjnych; Ã22 = 0 i Ã12 = 0):
1 1
Ãrr (r=b) = Ã11 cos2 Õ = p Å" cos2 Õ = p + p Å" cos 2Õ
2 2
1 1
ÃrÕ (r=b) = - Å"Ã11 sin 2Õ = - p Å"sin 2Õ
2 2
1
2° Od obciążenia Ãrr (r=b) = p, na podstawie wzorów dla tarczy
2
kolistej z otworem (po zmianie znaku p ), otrzymamy dla b2 ?ð a2 :
ëÅ‚öÅ‚
ëÅ‚öÅ‚ ëÅ‚öÅ‚ pa2
p Å"b2 a2 pa2
I
Å"ìÅ‚1-
Ãrr (r) = Å"ìÅ‚1- = Å"ìÅ‚1- E"
2 r2 ÷Å‚
r2 ÷Å‚ 2Å" 1- a2 íÅ‚Å‚Å‚
r2 ÷Å‚
2 Å" b2 - a2 íÅ‚Å‚Å‚
( ) íÅ‚Å‚Å‚
( )
b2
ëÅ‚öÅ‚
ëÅ‚öÅ‚ ëÅ‚öÅ‚ pa2
p Å"b2 a2 pa2
I
Å"ìÅ‚1+
ÃÕÕ (r) = Å"ìÅ‚1+ = Å"ìÅ‚1+ E"
2 r2 ÷Å‚
r2 ÷Å‚ 2Å" 1- a2 íÅ‚Å‚Å‚
r2 ÷Å‚
2 Å" b2 - a2 íÅ‚Å‚Å‚
( ) íÅ‚Å‚Å‚
( )
b2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 11
1
3° PozostaÅ‚a część obciążenia (siÅ‚y normalne równe p Å" cos 2Õ
2
1
i siÅ‚y styczne równe p Å"sin 2Õ ) wywoÅ‚uje naprężenia, które
2
wyznaczamy za pomocą funkcji naprężeń, przyjętej w postaci
ze zmiennymi rozdzielonymi:
F(r,Õ) = f (r) Å" cos2Õ
4° Po podstawieniu powyższej funkcji do równania "4F r,Õ = 0
( )
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
"2 gð " gð "2 gð "2F r,Õ "F r,Õ "2F r,Õ
( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )
+ Å" + Å" + Å" + Å" = 0
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
"r2 r "r r2 "Õ2 Å‚Å‚íÅ‚ "r2 r "r r2 "Õ2 Å‚Å‚
íÅ‚
dochodzimy do równania różniczkowego zwyczajnego:
22
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
d gð d gðd f r df r
( ) 1 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 4
+ Å" - + Å" - Å" f (r)÷Å‚ = 0
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚
dr2 r dr r2 Å‚Å‚íÅ‚ dr2 r dr r2
íÅ‚ Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 12
5° CaÅ‚kÄ… ogólnÄ… powyższego równania jest:
1
f (r) = AÅ" r2 + B Å" r4 + C Å" + D
r2
(ćwiczenie: sprawdzić przed postawienie, stałe całkowania dowolne)
1
f (r) = AÅ" r2 + B Å" r4 + C Å" + D
Zatem: F(r,Õ) = f (r) Å" cos2Õ ;
r2
1
ëÅ‚öÅ‚
F(r,Õ) = AÅ" r2 + B Å" r4 + C Å" + D Å" cos2Õ
ìÅ‚
r2 ÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
6° Naprężenia od pozostaÅ‚ej części obciążenia (w stanie II):
1 "F 1 "2F 6C 4D
II II
Ãrr (r) = Å" + Å" Ãrr (r) = -ëÅ‚ 2A + +öÅ‚ Å" cos 2Õ
ìÅ‚
r "r r2 "Õ2 r4 r2 ÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
"2F 6C
ëÅ‚öÅ‚
II II
ÃÕÕ (r) = ÃÕÕ (r) = 2A +12B Å" r2 + Å" cos2Õ
ìÅ‚
"r2 r4 ÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
" ëÅ‚ 1 "F öÅ‚II 6C 2D
ëÅ‚öÅ‚
II
ÃrÕ (r) = - Å" ÃrÕ (r) = 2A + 6B Å" r2 - - Å"sin 2Õ
ìÅ‚÷Å‚ ìÅ‚
"r r "Õ r4 r2 ÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 13
7° Warunki brzegowe:
1
II
warunek brzegowy 1) Ãrr (r) = p Å" cos2Õ dla r = b
2
6C 4D 1
2A + + = - p
b4 b2 2
1
II
warunek brzegowy 2) ÃrÕ (r) = - p Å"sin 2Õ dla r = b
2
6C 2D 1
2A + 6B Å"b2 - - = - p
b4 b2 2
II
warunek brzegowy 3) Ãrr (r) = 0 dla r = a
6C 4D
2A + + = 0
a4 a2
II
warunek brzegowy 4) ÃrÕ (r) = 0 dla r = a
6C 2D
2A + 6B Å" a2 - - = 0
a4 a2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 14
a2 E" 0):
8° RozwiÄ…zanie staÅ‚ych A, B,C, D (przy zaÅ‚ożeniu, że
b2
1 1 1
A = - p ; B = 0 ; C = - p Å" a4 ; D = p Å" a2
4 4 2
Odpowiedz
: Po podstawieniu stałych i dodaniu składowych ze
stanu I otrzymamy:
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
p a2 p 3Å" a4 4 Å" a2
Ãrr (r,Õ) = Å"ìÅ‚1- + Å"ìÅ‚1+ - Å"cos2Õ
2 r2 ÷Å‚ 2 r4 r2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
p a2 p 3Å" a4
ÃÕÕ (r,Õ) = Å"ìÅ‚1+ - Å"ìÅ‚1+ Å"cos2Õ
2 r2 ÷Å‚ 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚r4 ÷Å‚
Å‚Å‚
ëÅ‚öÅ‚
p3Å" a4 2Å" a2
ÃrÕ (r,Õ) = - Å"ìÅ‚1- + Å"sin 2Õ
2 r4 r2 ÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 15
Interpretacja graficzna:
p
ÃÕÕ Õ=3Ä„
uzasadniony
2
rozstaw
~4a
+
otworów
-
a 3p
p
+
p
+ x1
+
Ãrr Õ=0
ÃÕÕ Õ=Ä„
Ãrr Õ= Ä„
1
2
x2
ëÅ‚öÅ‚
p a2 3Å" a4
1 3
dla: Õ = Ä„ lub Õ = Ä„ mamy: ÃÕÕ (r,Õ) = Å"ìÅ‚ 2 + +
2 2 2 r2 r4 ÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
ściśle lokalny charakter (koncentracja) naprężeń!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 7 " KMBiM WILiŚ PG 16