Ćwiczenie 11
Przykłady analizy płyt  pasmo płytowe, płyty prostokątne
PASMO PA
YTOWE
Równanie różniczkowe ugięcia płyty w x1, x2 :
( )
q x1, x2
"4w"4w "4w ( )
+ 2 �" + = ,
4 2 2 4
"x1 "x1 "x2 "x2 D
E �" h3
gdzie: = �! sztywność płytowa
D
2
12 �" 1-�
( )
Przyjmujemy, że obciążenie jest funkcją jednej zmiennej  q x1 ,
( )
a płyta jest nieograniczona w kierunku osi x2.
Jest to więc przypadek symetrii translacyjnej!
Zakładamy, że szerokość pasma a jest stała a = const !
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 1
q x1
( )
E,� ,h
z powyższych założeń wynika,
x1
że dla każdego x2
w
linie ugięcia są takie same,
"w
zatem: = 0
"x2
x2 ą"
( )
"4w
Wynika stąd równanie pasma płytowego: D �" = q x1
( )
4
"x1
Można więc stosować symbol pochodnej zwyczajnej i całkować
d3w
bezpośrednio funkcje jednej zmiennej: D �" =1
3 +"q(x )dx1 + C1 itd.
dx1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 2
Przypadek szczególny: Pasmo swobodnie podparte, obciążone
q = const
równomiernie
h = const
a
4
d w x1
( )
Równanie pasma płytowego: D �"= q x1 = q
( )
4
dx1
d3w x1
( )
Dalej: D �" =
1
3 +"qdx + C1 = qx1 + C1
dx1
2
2
d w x1
( ) x1
D �" =1
2 +"(qx + C1)dx1 = q 2 + C1x1 + C2
dx1
2 3
dw x1
�ł�ł2
( ) x1 x1 x1
D �" = q + C1x1 + C2 �łdx1 = q + C1 + C2x1 + C3
�ł
+"�ł 2
dx1 6
łł2
32 43 2
�ł�ł
x1 x1 x1 x1 x1
D �" w x1 =
( )
�ł�łdx1
+"�łq 6 + C1 2 + C2x1 + C3 łł = q 24 + C1 6 + C2 2 + C3x1 + C4
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 3
Warunki brzegowe:
1� w = 0; 2� w = 0
x1=0 x1=a
"2w "2w
3� = 0; 4� = 0
2 2
"x1 x1=0 "x1 x1=a
Realizując warunki brzegowe dla:
43 2
q �" x1 C1 �" x1 C2 �" x1
D �" w x1 = + + + C3 �" x1 + C4, mamy:
( )
24 6 2
q �" 0 C1 �"0 C2 �"0
z 1� 0 = + + + C3 �"0 + C4 C4 = 0
24 6 2
q �" 0
C2 = 0
z 3� 0 = + C1 �" 0 + C2
2
q �" a
q �" a2
C1 =
z 4� 0 = + C1 �" a + 0 -
2 2
q �" a3
q �" a4 q �" a a3 0 �" a2
�ł�ł
C3 =
z 2� 0 = + - �" + + C3 �" a + 0
�ł�ł
24 2 6 2 24
�łłł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 4
43 2
q �" x1 C1 �" x1 C2 �" x1
Zatem: D �" w x1 = + + + C3 �" x1 + C4
( )
24 6 2
4 3
q �" x1 qa �" x1 qa3 �" x1
więc: D �" w x1 =- +
( )
24 12 24
43
qa4 �ł�ł x1 x1 x1
�ł �ł �ł �łłł
Lub, w innej postaci: w x1 = �"
( )
�ł�ł �ł - 2�"�ł �ł + �ł �łśł
�ł
24�" D a a a
�łśł
�ł�ł łł �ł łł �ł łł�ł
43
a qa4 �ł�ł a 1a 1 a 1
�ł �ł �ł �ł �łłł
Zauważmy, że: w�ł x1 = = �" �" - 2�"�ł �" + �"
�ł�ł �ł �ł �ł �ł �łśł
�ł2 24�" D 2 a
�ł
�ł łł
�łśł
�ł�ł łł �ł 2 a łł �ł 2 a łł�ł
43
łł
a qa4 �ł�ł 1 1 1 qa4 1 1 1
�ł �ł �łłł
w�ł �ł = �" = �" - 2�" +
�ł�ł �ł - 2�"�ł �ł + śł
�ł �ł �ł
�ł16 8 2śł
2 24�" D 2
�ł łł
�ł�ł
�ł�ł łł �ł 2 łł 2śł 24�" D �ł�ł
a 5 qa4
a 5 qa4
2
Tak więc: w�ł �ł = �" ; w�ł �ł = �" �" 1-�
( )
�ł �ł
�ł �ł
2 384 D 2 32 E �" h3
�ł łł �ł łł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 5
Momenty w paśmie płytowym:
2 2
"2w qa2 �ł x1 x1 łł qa2 �ł�ł x1 x1 łł
�ł
M11 = -D �" = - �" �"�ł �ł -12 �" = - �"
�ł12 �ł �ł śł �ł�ł �ł - śł
2
"x1 24 aa 2 a a
�ł łł
�łśł śł
�ł
�ł�ł �ł
�ł�ł łł
"2w
M22 = -D �"� �" =� �" M11
2
a a
"x1
2 2
"2w
M12 = -D �" 1-� �" = 0
( )
"x1"x2
Wykresy:
x1
w
qa2
� �"
qa2
8
8
a
M22 x1 =
( )
2
M11 x2 = const
x2 ą" ( )
( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 6
Dyskusja!
1) Różnica sztywności między belką, a pasmem płytowym
Sztywność belki o szerokości b=1m, w stosunku do sztywności
pasma płytowego ( EJ / D / ):
2
1-�
( )
EJ
2
= E �" h3 �" = 1-�
D 12 �" E �" h3
2
więc: wpasma = 1-� �" wbelki (przy tej samej szerokości a i obciążeniu)
( )
Uzasadnienie fizyczne:
ściskanie (rozszerzenie przekroju)
h
x2
2
h
2
rozciąganie deformacja dla � `" 0
(zwężenie przekroju) �! klinowanie się pasków
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 7
2) Pasmo żelbetowe
1
Przyjmuje się, iż dla pasma żelbetowego � H" .
5
a
M22
zbrojenie na moment
M11
zbrojenie na moment
1
20% odpowiada : � =
( )
5
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 8
PA
YTA PROSTOK
TNA
Płyta swobodnie podparta , obciążenie podwójnie sinusoidalne:
a
x1
q0
E,� ,h
b
x2
E �" h3
D = �! sztywność płytowa
2
12 �" 1-�
( )
Ą x1 Ą x2
q x1, x2 = q0 �"sin �" cos �! funkcja obciążenia
( )
ab
1 Ą x1 Ą x2
"4w = �" q0 �"sin �" cos �! równanie płytowe
D ab
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 9
Warunki brzegowe (pary warunków brzegowych):
1� w x1 = 0 ; x2 = 0 ; w x1 = a ; x2 = 0
( ) ( )
2� w x1 ; x2 = 0 = 0 ; w x1 ; x2 = b = 0
( ) ( )
3� w,11 x1 = 0 ; x2 = 0 ; w,11 x1 = a ; x2 = 0
( ) ( )
4� w,22 x1 ; x2 = 0 = 0 ; w,22 x1 ; x2 = b = 0
( ) ( )
Przyjmujemy rozwiązanie równania płyty w postaci:
Ą x1 Ą x2
w x1, x2 = C �"sin �" cos
( )
ab
Rozwiązanie to spełnia wszystkie warunki brzegowe!
Różniczkowanie funkcji w x1, x2 i porównanie wyrazów przy tych
( )
samych funkcjach trygonometrycznych:
2
4 4 4
�ł�ł q0
Ą 2Ą Ą 1 1 q0
�ł
4
C �"�ł + + = CĄ �"�ł + = C =
�ł 2
a4 a2b2 b4 �ł łł
a2 b2 �ł D
�ł 1 1
�ł
�łłł
4
Ą D �"�ł +
�ł
a2 b2 �ł
�łłł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 10
Momenty w paśmie płytowym:
M11 = -D �" w,11 +� �" w,22
( )
q0 11Ą x1 Ą x2
�ł
M11 = �"�ł +� �" �"sin �"sin
�ł
2
a2 b2 �ł b
a
1 1 �łłł
�ł
2
Ą �"�ł +
�ł
a2 b2 �ł
�łłł
M22 = -D �" w,22 +� �" w,11
( )
q0 1 1 Ą x1 Ą x2
�ł�ł
M22 = �"�ł� �" + �"sin �"sin
2
a2 b2 �ł b
a
1 1 �łłł
�ł
2
Ą �"�ł +
�ł
a2 b2 �ł
�łłł
M12 = -D �" 1-� �" w12
( )
q0 �" 1-�
( ) Ą x1 Ą x2
M12 = �" cos �" cos
2
ab
1 1
�ł
2
a �"b �"Ą �"�ł +
�ł
a2 b2 �ł
�łłł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 11
Przypadek szczególny: płyta kwadratowa, a = b
a
x1
q0
E,� ,h
b
x2
Maksymalne ugięcie płyty:
q0 �" a4 q0 �" a4
max w = H" 0,00257 �"
2
4Ą �" D D
a
dla: x1 =
2
Maksymalne momenty zginające w płycie:
q0 �" a2
max M11 = max M22 = 1+� �"
( )
2
4Ą
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 11 " KMBiM WILiŚ PG 12