Ćwiczenie 8
Zastosowanie szeregów Fouriera do rozwiązywania tarcz
Przypomnienie z teorii szeregów Fouriera:
f (x)
x
2l l l 2l
Jeżeli f x  to dowolna funkcja spełniająca warunki Dirichleta
( )
"
1 nĄ x nĄ x
w przedziale (-l;l) f x = a0 + an cos + bn sin
( )
"ëÅ‚öÅ‚
ìÅ‚÷Å‚
2 ll
íÅ‚Å‚Å‚
n=1
to w każdym przedziale ciągłości funkcji f x zachodzi:
( )
l
1
a0 = Å" f (x) dx
+"
l
-l
l l
1 nĄ x 1 nĄ x
an = Å" f (x) Å" cos dx ; bn = Å" f (x) Å"sin dx
+" +"
llll
-l -l
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 8 " KMBiM WILiŚ PG 1
Jeżeli funkcja f x jest parzysta, to zachodzi bn = 0, natomiast
( )
jeżeli f x jest nieparzysta, to zachodzi a0 = an = 0.
( )
Ze wzglÄ™du na periodyczność funkcji sin gð i cos gð dla dowolnych
( ) ( )
wartości x otrzymujemy powtarzanie się wartości funkcji f x ,
( )
jak pokazano to na powyższym rysunku.
Uwagi:
1. Mówimy, że funkcja f x spełnia warunek Dirichleta
( )
w pewnym przedziale, jeżeli przedział ten można rozłożyć
na skończoną liczbę podprzedziałów, w taki sposób, że w każdym
podprzedziale funkcja ta jest monotoniczna i ograniczona.
2. Ważną zaletą szeregów Fouriera jest to, że mogą reprezentować
funkcje nieciągłe (szeregi Taylora reprezentują tylko funkcje, które
posiadają pochodne wszystkich rzędów
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 8 " KMBiM WILiŚ PG 2
3. W punktach nieciągłości funkcji f x jej szereg Fouriera jest
( )
1
zbieżny do wartoÅ›ci Å" îÅ‚ f x + 0 + f x - 0 Å‚Å‚ (patrz: rysunek)
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
2
1
4. Motywacja współczynnika przy a0: dla n = 0 wzór na an
2
pokrywa się ze wzorem na a0 (regularność notacji)
Przykład: Rozwinięcie obciążenia odcinkowego stałego w szereg
Fouriera (częsty przypadek w praktyce inżynierskiej)
2l
2c 2c
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 8 " KMBiM WILiŚ PG 3
Zadanie: Rozwinąć funkcję odcinkowo stałą w szereg Fouriera.
tarcza
×g
podpory
o szerokości 2c
2c 2c
2l
(jest to częsty przypadek w zagadnieniach obciążeń tarcz)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 8 " KMBiM WILiŚ PG 4
Model obciążenia:
p = const
x
p1 = const p(x)
p1 = const
c c l - c l - c c c
l l
p x  funkcja nieciągła, spełnia warunki Dirichleta w (-l;l)
( )
RozwiÄ…zanie zadania:
Z warunku równowagi rzutów na oś poziomą wynika:
l - c
p1 = p Å"
c
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 8 " KMBiM WILiŚ PG 5
Zauważmy, iż p x jest funkcją parzystą, a zatem: bn = 0!
( )
Rozwija siÄ™ w szereg cosinusowy:
a0 "
p x :ð +
( )
"a cos nĄ x ,
n
2 l
n=1
l
l
1
1 nĄ x
gdzie: oraz:
a0 = Å" p(x) dx = 0 an = Å" p(x) Å" cos dx
+" +"
l ll
-l -l
Przekształcając, mamy:
l l
1 nĄ x 2 nĄ x
an = Å" p(x) Å" cos dx an = Å" p(x) Å" cos dx
+" +"
ll ll
-l 0
Rozbijając na odpowiednie składniki, otrzymujemy:
l-c l
ëÅ‚öÅ‚
2 nĄ x l - c nĄ x
an = Å"ìÅ‚ p Å" cos dx - p Å" Å" cos dx
÷Å‚
+"+"
l l cl
íÅ‚ 0 l-c Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 8 " KMBiM WILiŚ PG 6
Rozwiązując całki, otrzymujemy:
l-c l
ëÅ‚öÅ‚
2 nĄ x l - c nĄ x
an = Å"ìÅ‚ p Å" cos dx - p Å" Å" cos dx
÷Å‚
+"+"
l l cl
íÅ‚ 0 l-c Å‚Å‚
2 l nĄ (l - c) l - c l nĄ (l - c)
öÅ‚
an = Å"ëÅ‚ p Å" Å"sin + p Å" Å" Å"sin
ìÅ‚÷Å‚
l nĄ l c nĄ l
íÅ‚Å‚Å‚
2 l nĄ (l - c) l - c
öÅ‚
an = Å" p Å" Å"sin Å"ëÅ‚1+
ìÅ‚÷Å‚
l nĄ l c
íÅ‚Å‚Å‚
2 l nĄ (l - c) l
an = Å" p Å" Å"sin Å"
l nĄ l c
2 pl nÄ„ (l - c) 2 pl îÅ‚ nÄ„ c Å‚Å‚
ëÅ‚öÅ‚
an = Å"sin = Å"
ìÅ‚÷Å‚
nÄ„ c l nÄ„cïÅ‚siníÅ‚ nÄ„ - l łłśł
ðÅ‚ûÅ‚
Jeżeli: sin(Ä… - ² ) = sinÄ… Å"cos ² - cosÄ… Å"sin ² , to:
2 pl nĄc nĄc 2 pl nĄc
öÅ‚ öÅ‚
an = Å"ëÅ‚sin nÄ„ Å"cos - cosnÄ„ Å"sin = Å"ëÅ‚ -cosnÄ„ Å"sin
nÄ„cìÅ‚÷Å‚ l
l l nÄ„cìÅ‚÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚ íÅ‚Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 8 " KMBiM WILiŚ PG 7
2 pl nĄc
n
n
an = -(-1 Å" Å"sin
Zauważmy, iż: , więc: )
cos nĄ =
(-1
)
nĄc l
PodstawiajÄ…c, otrzymujemy zatem:
n
"
-1
2 pl nĄ c nĄ x
p x = - Å" Å"sin Å" cos
( )
"( n)
Ä„ c l l
n=1
2 pl Ä„ c Ä„ x
Pierwszy wyraz szeregu, (dla n = 1): p(1) x = Å"sin Å" cos
( )
Ä„ cl l
2 pl Ä„ c
Å"sin
Ä„cl
l 4 p
ëÅ‚öÅ‚
dla c = równe
ìÅ‚÷Å‚
2 l
íÅ‚Å‚Å‚
l l
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 8 " KMBiM WILiŚ PG 8