Analiza matematyczna 2 Analiza matematyczna 2
I kolokwium, semestr letni 2006/2007 I kolokwium, semestr letni 2006/2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy ( osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma 1 2 3 4 Suma
I5 J5
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwią-
ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y dokładnie zanie ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Zbadać zbie\
ność całek niewłaściwych 1. Zbadać z definicji zbie\
ność całki niewłaściwej
2 "
"
dx dx
,
ex cos ex dx.
+" +"
3 3
x2 + x x2 + x +"
0 2
ln Ą
2. Wykorzystując warunek konieczny zbie\
ności odpowiedniego
2. Stosując kryterium Cauchy'ego lub ilorazowe dla szeregów liczbowych
szeregu obliczyć granicę
zbadać zbie\
ność szeregów
( n - 1 )!
" "
lim .
n n
n
n + 1
n "
n ( 5 - 1) oraz ( 5 - 1).
Ł Ł
n = 1 n = 1
(13) (44)
3. Podać wartości f ( 0 ) i f ( 0 ) dla funkcji
3. Wyznaczyć środek i promień zbie\
ności szeregu potęgowego
x2
"
f ( x ) = .
n
n2 n
2x3 + 5
( n + 2 ) ( 3x + 1 ) .
Ł
n = 3
4. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni
4. Stosując wzór na ró\
niczkę funkcji trzech zmiennych podać przybli-
z = 14 - x2 - 9y2 ,
\
oną długość przekątnej prostopadłościanu o wymiarach podstawy
a = 93 cm, b = 195 cm i wysokości h = 202 cm.
która jest równoległa do płaszczyzny Ą : x - 9y + 2z = 0.
Analiza matematyczna 2 Analiza matematyczna 2
I kolokwium, semestr letni 2006/2007 I kolokwium, semestr letni 2006/2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma 1 2 3 4 Suma
K5 L5
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwią-
ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y dokładnie zanie ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Obliczyć całkę niewłaściwą 1. Obliczyć pole nieograniczonego obszaru
"
x2
x dx
D = { ( x, y ) : x e" 3, 0 d" y d" ex }.
.
+"
1 + x4
3
"
n + 3
n2
2. Zbadać zbie\
ność szeregu ( ) .
Ł
2. Stosując kryterium porównawcze zbadać zbie\
ność szeregu n + 4
n = 1
"
( 2 + 5n )3
3. Znalez
ć rozwinięcie Maclaurina funkcji
.
Ł
( 5 + 2n )7
n = 1
x + 1
g ( x ) =
( x - 2 ) ( x - 4 )
1
3. Wykorzystując rozwinięcie szeregowe funkcji oraz twierdze-
1 - x
i określić przedział zbie\
ności otrzymanego szeregu.
nie o całkowaniu szeregów potęgowych rozwinąć w szereg Maclaurina
funkcję
4. Sprawdzić, \
e powierzchnie określone warunkami x2 + y2 + z2 = 4x,
1 + x
3
g ( x ) = ln ( 1 - x ) .
x2 + y2 + z2 = 6y przechodzą przez punkt
11
3
4. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji
( x0, y0, z0 ) = ( 2 , 1, ),
2
f ( x, y, z ) = sin [ z cos2( 3xy5 ) ]
a płaszczyzny styczne do nich w tym punkcie są do siebie prostopadłe.