ANALIZA MATEMATYCZNA 2 WPPT M I/2
Kolokwium nr 1, 22.04.04
Zad.1. Zbadaj zbieżność całek:
Ä„ Ä„
1
" x arctg x ln" x
sin
2 2
2
(a) (6p) dx; (b) (7p) tg xdx; (c) (8p) dx.
0 0 0
(1+x2)2 x
Zad.2. Zbadaj zbieżność (bezwzgl¸ a i warunkow¸ szeregów:
edn¸ a)
(-1)n+1 (-1)n
" "
(a) (8p+4p) ; (b) (2p+4p) .
n=1 n=1
n+ln2 n n-ln n
"
Zad.3. (a) (16p) Wykazać, że jeśli lim infn" ln an > -1 to an jest rozbieżny.
n=1
ln n
" 1 Ä„2
(b) (5p) Wiedz¸ że = oblicz
ac,
n=1
n2 6
"
2n + 1
.
n2(n + 1)
n=1
Zad.4. (a) (8p) Udowodnij, że jeÅ›li f jest funkcja caÅ‚kowaln¸ na dowolnym skoÅ„czonym
¸ a
przedziale [a, b] i okresow¸ o okresie T , to
a
a+nT a+T
f(x)dx = n · f(x)dx.
a a
(b) (10p) Niech f b¸ funkcja ciagÅ‚a. Udowodnij, że
edzie ¸ ¸ ¸
Ä„ Ä„
2
f(sin x)dx = xf(sin x)dx.
0 Ä„ 0
Zad.5. (a) (16p) Udowodnij, że jeÅ›li f jest funkcja caÅ‚kowaln¸ i nieujemn¸ na przedziale
¸ a a
[a, b], to z nierówności
b
f(t)dt > 0
a
wynika, że zbiór {t " [a, b] : f(t) = 0} nie jest g¸ w [a, b].
esty
(b) (6p) Uzasadnij, że poniższa caÅ‚ka istnieje i nast¸ oblicz ja wprost z definicji
epnie ¸
1
t3dt.
0