Analiza matematyczna 2 Analiza matematyczna 2
II kolokwium, semestr letni 2006/2007 II kolokwium, semestr letni 2006/2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szÄ…
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma 1 2 3 4 Suma
I5 J5
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwią-
ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y dokładnie zanie ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Podać wymiary prostopadłościanu o maksymalnej objętości, którego
1. Na powierzchni z = xy znalez
ć punkt le\
Ä…cy najbli\
ej punktu
przekątna ma długość d = 60 cm.
P = ( 0, 0, 4 ).
2. Obliczyć całkę
2. Niech T będzie trójkątem o wierzchołkach ( 0, 1 ), ( 0, 3 ),
max ( x2, y ) dx dy,
+"+"
( 1, 2 ). Obliczyć całkę
P
dx dy
+"+" y .
gdzie P = [0, 1] × [0, 4], zaÅ› symbol max oznacza nie mniej-
T
szÄ… z liczb.
3. Wyznaczyć współrzędną yc środka masy jednorodnej płytki znajdu-
3. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć pole obszaru
jÄ…cej siÄ™ nad osiÄ… Ox i ograniczonej krzywymi
ograniczonego krzywymi
x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 8x, y = 0 .
x2 + y2 = 6x, x2 + y2 = 8x, przy czym 3 y e" x.
4. Obliczyć całkę potrójną
4. Obliczyć masę czworościanu ograniczonego płaszczyzną o równaniu
Ä„x
y2cos dxdydz,
3x + y + 2z = 6 oraz płaszczyznami układu współrzędnych, je\
eli
+"+"+"
2
V
gęstość objętościowa w ka\
dym punkcie jest równa jego odległości
od płaszczyzny yOz.
gdy obszar V jest ograniczony powierzchniami z = 1 - y2, z = 0,
x = 0, x = 1. Naszkicować obszar V.
Analiza matematyczna 2 Analiza matematyczna 2
II kolokwium, semestr letni 2006/2007 II kolokwium, semestr letni 2006/2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szÄ…
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma 1 2 3 4 Suma
K5 L5
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwią-
ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y dokładnie zanie ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Znalez
ć ekstrema lokalne i globalne funkcji 1. Zbadać, czy funkcja
h ( x, y ) = ( x - 4 )3- ( y + 3 )2
f ( x , y ) = ( x - 1 )2 y4 .
ma ekstrema lokalne.
2. Obliczyć całkę
3 4-x
dy
2. Obliczyć moment statyczny względem osi Ox jednorodnego czworo-
.
+" dx +"
x
kąta o masie M = 4 i o wierzchołkach
2 x-2
3. Obliczyć pole tej części powierzchni A = ( 0, 2 ), B = ( 0, -1 ), C = ( 3, 1 ), D = ( 3, 4 ).
x2 + y2 + z2 = 36 ,
3. Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchniami
która le\
y między płaszczyznami z = 3, z = 5.
z = ( x2 + y2 - 1 )3 , z = 1.
4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
4. Obliczyć całkę
y2 = x, 2x + z = 6, z = 0 .
Ä„/2 Ä„/4 Ä„/3
dx dy cos ( x + 2y + 3z ) dz .
+" +" +"
0 0 0