Ćwiczenie 6
Związki między składowymi stanu naprężeń
w układzie prostokątnym i biegunowym  c.d.
Zagadnienie: Tarcza sprężysta w postaci klina nieograniczonego
Obliczyć składowe stanu naprężenia w układzie biegunowym.
x2
×g
r
r,Õ  współrzÄ™dne
Õ
Ä…
x1
biegunowe
Ä…
P1
2ą  kąt wierzchołkowy
Przewidujemy funkcję naprężeń w postaci:
F r,Õ = C Å" r Å"Õ Å"sinÕ , gdzie: C = const
( )
(prosta postać funkcji, podobnie jak wielomiany niższych stopni w
przypadku układu ortokartezjańskiego)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 1
Sprawdzamy równanie biharmoniczne:
F = F r,Õ = C Å" r Å"Õ Å"sinÕ  funkcja naprężeÅ„
( )
îÅ‚Å‚Å‚
"4F r,Õ = "2 ðÅ‚"2F r,Õ = 0
( ) ( )ûÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
"2 gð " gð "2 gð "2F r,Õ "F r,Õ "2F r,Õ
( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )
+ Å" + Å" + Å" + Å" = 0
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
"r2 r "r r2 "Õ2 Å‚Å‚íÅ‚ "r2 r "r r2 "Õ2 Å‚Å‚
íÅ‚
Obliczamy:
"2F(r,Õ) "2
= C Å" r Å"Õ Å"sinÕ = 0
( )
"r2 "r2
1 "F(r,Õ) 1 " 1
Å" = Å" C Å" r Å"Õ Å"sinÕ = Å"C Å"Õ Å"sinÕ
( )
r "r r "r r
1 "2F(r,Õ) 1 "2 1 "
Å" = Å" C Å"r Å"Õ Å"sinÕ = Å" C Å"r Å"sinÕ + C Å"r Å"Õ Å"cosÕ
( ) ( )
r2 "Õ2 r2 "Õ2 r2 "Õ
1 C
= Å" C Å" r Å"cosÕ + C Å" r Å"cosÕ - C Å" r Å"Õ Å"sinÕ = Å" 2Å"cosÕ -Õ Å"sinÕ
( ) ( )
r2 r
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 2
Operator Laplace a we współrzędnych biegunowych:
"2F r,Õ "F r,Õ "2F r,Õ
( ) 1 ( ) 1 ( )
"2F r,Õ = + Å" + Å"
( )
"r2 r "rr2 "Õ2
1 C 2C
= 0 + Å"C Å"Õ Å"sinÕ + Å" 2Å" cosÕ -Õ Å"sinÕ = Å" cosÕ
( )
rr r
Równanie biharmoniczne:
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
"2 gð " gð "2 gð "2F r,Õ "F r,Õ "2F r,Õ
( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )
+ Å" + Å" + Å" + Å" =
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
"r2 r "r r2 "Õ2 Å‚Å‚íÅ‚ "r2 r "r r2 "Õ2 Å‚Å‚
íÅ‚
ëÅ‚öÅ‚ëÅ‚öÅ‚
"2 gð " gð "2 gð
( ) 1 ( ) 1 ( ) 2C
+ Å" + Å" Å" cosÕ =
ìÅ‚÷Å‚
ìÅ‚÷Å‚
"r2 r "r r2 "Õ2 Å‚Å‚íÅ‚ r
Å‚Å‚
íÅ‚
"2 2C 1 " 2C 1 "2 2C
ëÅ‚öÅ‚ ëÅ‚öÅ‚ëÅ‚öÅ‚
= Å" cosÕ + Å" Å"cosÕ + Å" Å" cosÕ =
÷Å‚ ìÅ‚÷Å‚ ÷Å‚
"r2 ìÅ‚ rr "r rr2 "Õ2 ìÅ‚ r
íÅ‚Å‚Å‚ íÅ‚Å‚Å‚íÅ‚Å‚Å‚
4C 2C 2C
= Å" cosÕ - Å"cosÕ - Å" cosÕ = 0
r3 r3 r3
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 3
Składowe stanu naprężeń:
1 "F 1 "2F 1 C 2C
Ãrr = Å" + Å" = Å"C Å"Õ Å"sinÕ + Å" 2Å"cosÕ -Õ Å"sinÕ = Å" cosÕ
( )
r "r r2 "Õ2 rr r
"2F
0
ÃÕÕ = =
"r2
" ëÅ‚ 1 "F öÅ‚ " îÅ‚1 "
ÃrÕ = -Å" = -
( )Å‚Å‚
ìÅ‚÷Å‚ ïÅ‚r Å" C Å" r Å"Õ Å"sinÕ śł
"r r "Õ "r "Õ
íÅ‚Å‚Å‚ ðÅ‚ûÅ‚
" 1 "
îÅ‚
0
= - ( )Å‚Å‚ -C Å" sinÕ + Õ Å" cosÕ =
=
( )
ïÅ‚r Å" C Å" r Å"sinÕ + C Å" r Å"Õ Å"cosÕ śł
"r "r
ðÅ‚ûÅ‚
x2
Zatem:
×g
dÕ
Ä…
Õ x1
Ä…
P1
Ãrr
r Å" dÕ
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 4
Stałą C wyznaczamy z warunku równowagi względem osi x1
 wyciętego fragmentu klina:
"P = 0
x1
Ä…
2 Å" Å" cosÕ Å" g Å" r Å" dÕ = P1, gdzie: g Å" r Å" dÕ element powierzchni
rr
+"Ã
0
Ä… Ä…
2C
2
zatem: 2Å"ëÅ‚öÅ‚
ìÅ‚÷Å‚Å"cosÕ Å" g Å" r Å" dÕ = P1 4C Å" g Å"
+"íÅ‚ r Å"cosÕ Å‚Å‚ +"(cosÕ) dÕ = P1
0 0
Pomocnicze obliczenie całki:
cos2 Õ + sin2 Õ Å" dÕ = Õ
( )
+"
1
cos2 Õ - sin2 Õ Å" dÕ = sin 2Õ
( )
+"
2
1 1
2
dodajÄ…c stronami:
+"cos Õ Å" dÕ = 2Õ + 4 sin 2Õ + C1
1 1
2
odejmujÄ…c stronami:
+"sin Õ Å" dÕ = 2Õ - 4 sin 2Õ + C1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 5
Podstawiając wynik obliczeń pomocniczych:
Ä…
2
4C Å" g Å"
+"(cosÕ) dÕ = P1
0
Ä…
1 1
öÅ‚
4C Å" g Å"ëÅ‚ Õ + sin 2Õ = P1
ìÅ‚÷Å‚
2 4
íÅ‚Å‚Å‚
0
1 1
öÅ‚
4C Å" g Å"ëÅ‚ Ä… + sin 2Ä… = P1
ìÅ‚÷Å‚
2 4
íÅ‚Å‚Å‚
P1
C Å" g Å" 2Ä… + sin 2Ä… )
= P1 C =
(
g Å" 2Ä… + sin 2Ä… )
(
StÄ…d:
îÅ‚Å‚Å‚
1 "F 1 "2F 2C 2 P1
Ãrr = Å" + Å" = Å" cosÕ = Å"Å"cosÕ
ïÅ‚
r "r r2 "Õ2 r r g Å" 2Ä… + sin 2Ä… )śł
(
ðÅ‚ûÅ‚
2 Å" P1 cosÕ
Ãrr = Å"
g Å" 2Ä… + sin 2Ä… )
r
(
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 6
Analogia: Podobnie postępujemy dla obciążenia tarcza sprężystej
siłą pionową:
x2
×g
r
P2
r,Õ  współrzÄ™dne
Õ
Ä…
x1
biegunowe
Ä…
2ą  kąt wierzchołkowy
Przewidujemy funkcję naprężeń w postaci:
F r,Õ = C Å" r Å"Õ Å" cosÕ , gdzie: C = const
( )
(prosta postać funkcji, podobnie jak wielomiany niższych stopni w
przypadku układu ortokartezjańskiego)
Równanie biharmoniczne:
dla F = F r,Õ = C Å" r Å"Õ Å" cosÕ  funkcja naprężeÅ„
( )
îÅ‚Å‚Å‚
"4F r,Õ = "2 ðÅ‚"2F r,Õ = 0 równanie jest speÅ‚nione!
( ) ( )ûÅ‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 7
Składowe stanu naprężeń:
1 "F 1 "2F 2C
Ãrr = Å" + Å" = - Å"sinÕ
r "r r2 "Õ2 r
"2F
0
ÃÕÕ = =
"r2
" ëÅ‚ 1 "F öÅ‚ " îÅ‚1 "
ÃrÕ = -Å" = - Å" C Å" r Å"Õ Å" cosÕ
( )Å‚Å‚
ìÅ‚÷Å‚ ïłśł
"r r "Õ "r r "Õ
íÅ‚Å‚Å‚ ðÅ‚ûÅ‚
" 1 "
îÅ‚
0
= - ( )Å‚Å‚ -C Å" cosÕ +Õ Å"sinÕ =
=
( )
ïÅ‚r Å" C Å" r Å"cosÕ + C Å" r Å"Õ Å"sinÕ śł
"r "r
ðÅ‚ûÅ‚
x2
-
Zatem:
×g
P2
dÕ
Ä…
Õ x1
Ä…
Ãrr
r Å" dÕ
+
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 8
Stałą C wyznaczamy z warunku równowagi:
Ä…
-2 Å" Å"sinÕ Å" g Å" r Å" dÕ = P2 , gdzie: g Å" r Å" dÕ element powierzchni
rr
+"Ã
0
Ä… Ä…
2C
2
zatem: -2Å"ëÅ‚öÅ‚
ìÅ‚÷Å‚Å"sinÕ
+"íÅ‚- r Å"sinÕ Å‚Å‚ Å" g Å" r Å" dÕ = P2 2C Å" g Å"+"(sinÕ) dÕ = P2
0 0
Podstawiając wynik obliczeń pomocniczych:
Ä…
1 1
öÅ‚
1 1
öÅ‚
4C Å" g Å"ëÅ‚ Ä… - sin 2Ä… = P2
4C Å" g Å"ëÅ‚ Õ - sin 2Õ = P2
ìÅ‚÷Å‚
ìÅ‚÷Å‚
2 4
2 4
íÅ‚Å‚Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
0
P2
C Å" g Å" 2Ä… - sin 2Ä… )
= P2 C =
(
g Å" 2Ä… - sin 2Ä… )
(
îÅ‚Å‚Å‚
2 P2
StÄ…d: Ãrr = - Å" Å"sinÕ
ïÅ‚
r g Å" 2Ä… - sin 2Ä… )śł
(
ðÅ‚ûÅ‚
2 Å" P2 sinÕ
Ãrr = -Å"
g Å" 2Ä… - sin 2Ä… )
r
(
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 9
Przypadek szczególny: tarcza półnieskończona, obciążona siłą
skupionÄ… na brzegu (tzw. zagadnienie Flamanta):
P
x2
r
×g
Õ
Ãrr
x1
2 Å" P cosÕ
Ãrr = - Å"
ÃrÕ = 0 ÃÕÕ = 0
g Å"Ä„ r
Punkt osobliwy rozwiÄ…zania teorii sprężystoÅ›ci: r 0 Ò! Ãrr "
Uwaga: Przez zmianę modelu ciała na model sprężysto plastyczny
unikamy tej osobliwości!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 10
Interpretacja rozkładu naprężeń:
P
x2
r
×g
Õ
2R
Ãrr
x1
Konstruujemy rodzinę okręgów stycznych do krawędzi tarczy,
wszystkie o promieniach R.
r
stÄ…d: cosÕ =
2R
Wzór na naprężenia normalne:
P
2 Å" P cosÕ
Ãrr = - Å" = -
g Å"Ä„ r Ä„ Å" g Å" R
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 11
P
Ãrr = -
Mamy:
Ä„ Å" g Å" R
Wniosek:
Naprężenie radialne jest stałe na każdym okręgu o promieniu R!
Ponieważ Ã(1) = ÃÕÕ = 0 oraz Ã(2) = Ãrr sÄ… naprężeniami głównymi
(gdyż: ÃrÕ = 0), to najwiÄ™kszÄ… wartość naprężenia stycznego
w punkcie otrzymamy ze wzoru:
Ã(1) -Ã(2)
P
maxÄ = = = const na okrÄ™gu o promieniu R
22Ä„ Å" g Å" R
(do porównania z Wytrzymałością Materiałów)
Linie te można wyznaczyć eksperymentalnie, za pomocą
elastooptyki (fotosprężystości)!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 12
Naprężenia w układzie ortokartezjańskim:
Na podstawie wzorów odwrotnych otrzymamy:
ëÅ‚öÅ‚ 2 Å" P cos3Õ
2 Å" P cosÕ
Ã11 = Ãrr Å" cos2 Õ = - Å" Å" cos2 Õ = - Å"
ìÅ‚÷Å‚
g Å"Ä„ r g Å"Ä„ r
íÅ‚Å‚Å‚
3
2
2 Å" P x1
2 2 2 2
zatem: Ã11 = - Å" , gdzie: r = x1 + x2 Ò! r4 = x1 + x2
( )
g Å"Ä„ r4
x1 e" 0
przy czym: !
Analogicznie:
2
2 Å" P x1x2
Ã22 = ÃÕÕ Å"sin2 Õ = - Å"
g Å"Ä„ r4
oraz:
2
2 Å" P x1 x2
Ã12 = Ã21 = ÃrÕ Å"sinÕ Å" cosÕ = - Å"
g Å"Ä„ r4
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 13
Wykresy Ã11 oraz Ã12 dla x1 = const :
P
-2R -R
+2R
+R
x2
R
Ã11
0, 208
Ã12
- 0,637
R
0,159
P
×
-
g Å" R
0,080
0,318
x1
Praktycznie: wykresy te opisujÄ… zagadnienie  rozchodzenia siÄ™
siły skupionej w ośrodku izotropowym, jednorodnym.
Poza trójkątem równoramiennym, zakreślanym przez proste
nachylone pod kÄ…tem 45°, dla celów inżynierskich można przyjąć
naprężenia jako równe zeru!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 14
Dyskusja!
1) Przybliżenia rozkładów naprężeń
a) rozkład trójkątny:
P
-2R -R
+2R
+R
x2
R
2R
R
1,0
P
4R
×
g Å" R
0,5
x1
(przybliżenie po stronie bezpiecznej)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 15
b) rozkład równomierny:
P
+2R
-2R -R
+R
x2
R
2R
R
0,5
P
4R
×
g Å" R
0, 25
x1
(przybliżenie po stronie niebezpiecznej, ale z użytecznym wynikiem)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 16
2) Superpozycja stanów naprężenia, przykładowo:
P P
R
R
P
×
g Å" R
0,5 0,5
1,0
3R
3) Zastosowania praktyczne:
otwory montażowe w ścianie (poza strefą naprężeń)
można obliczyć wysokość, od której w ścianie obciążonej siłami
skupionymi użyty materiał może być słabszy
Uwaga: Wzory na naprężenia dla tarcz obciążonych siłami
skupionymi (PSN) są słuszne również dla PSO!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 6 " KMBiM WILiŚ PG 17