Ćwiczenie 13
Przykłady rozwiązań płyt
w zagadnieniach obrotowosymetrycznych
Z wykładu przywołamy sobie równanie płyty w układzie
biegunowym:
ëÅ‚öÅ‚ q r
1 " " ëÅ‚ 1 " "w öÅ‚ ( )
ëÅ‚öÅ‚
"2"2w = Å" r Å" Å" r Å"÷Å‚ =
ìÅ‚
ìÅ‚÷Å‚
ìÅ‚÷Å‚
r "r "r r "r "rłł D
íÅ‚Å‚Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
íÅ‚
Równanie to rozwiązujemy przez bezpośrednie całkowanie.
Po obustronnym wymnożeniu przez r i scałkowaniu otrzymujemy:
" ëÅ‚ 1 " "w öÅ‚ 1%ð
ëÅ‚öÅ‚
r Å"ìÅ‚ = Å" Å" q r Å" dr + C1
Å" r Å"
ìÅ‚÷Å‚
+"r ( )
"r r "r "rłł
íÅ‚Å‚Å‚÷Å‚ D
íÅ‚
Dzielimy przez r i ponownie całkujemy:
1 " "w 1 1
ëÅ‚öÅ‚
%ð%ð
Å" r Å" = Å" Å" Å" q r Å" dr2 + C1 Å" ln r + C2
ìÅ‚÷Å‚
+" +"r ( )
r "r "r D r
íÅ‚Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 1
Mnożymy przez r i ponownie całkujemy:
"w 11 r2 r2 %ð
%ð %ð
r Å" = Å" Å" Å" Å" q r Å" dr3 + C1 Å" 2ln r -1 + C2 Å" + C3
( )
+"r +" +"r ( )
"r D r 42
Dzielimy przez r i ponownie całkujemy:
1 1 1 r2 r2 %ð %ð
%ð %ð
w r = Å" Å" Å" Å" Å" q r Å" dr4 + C1 Å" ln r -1 + C2 Å" + C3 Å"ln r + C4
( ) ( )
+" +"r +" +"r ( )
D r r 44
Ponieważ stałe całkowania są dowolne, możemy zapisać:
1 1 1
w r = Å" Å" Å" Å" Å" q r Å" dr4 + C1 Å" r2 Å"ln r + C2 Å" r2 + C3 Å"ln r + C4
( )
+" +"r +" +"r ( )
D r r
ws  całka szczególna równ. niejednorodnego wo  całka ogólna równ. jednorodnego
Przykładowo: Całka szczególna dla q r = const a" q
( )
1 1 1 q 11
ws = Å" Å" Å" Å" Å" q r Å" dr4 = Å" Å" Å" Å" Å" dr4
+" +"r +" +"r ( ) +" +"r +" +"r
D r r D r r
q 1 q 1 q qr4
3 3 3
ws = Å" Å" Å" Å"
+" +"r +"rdr = 4D Å"+" +"r dr2 = 16D Å"+"r dr = 64D
2D r r
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 2
Przykład: Płyta kolista, swobodnie podparta, obciążona
równomiernie na całej powierzchni, q r = const a" q
( )
q r
( )
q = const
a
E,½ ,h
h
r
2a
Warunki brzegowe i warunki ograniczające dla środka płyty:
1° w r = a = 0
( )
2° Mrr r = a = 0
( )
3° w r = 0 jest skoÅ„czone
( )
4° Mrr r = 0 jest skoÅ„czone
( )
Równanie płyty: w r = ws + wo
( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 3
Równanie płyty: w r = ws + wo
( )
Całka szczególna dla q r = const a" q :
( )
1 1 1 qr4
ws = Å" Å" Å" Å" Å" q r Å" dr4 =
+" +"r +" +"r ( )
D r r 64D
qr4
zatem: w r = + C1 Å" r2 Å" ln r + C2 Å" r2 + C3 Å" ln r + C4
( )
64D
Różniczkując:
"w r
( ) qr3 1
= + r Å"C1 Å" 1+ 2ln r + C2 Å" 2r + C3 Å"
( )
"r 16D r
Różniczkując ponownie:
"2w r
( ) 3Å" qr2 1
= + C1 Å" 3 + 2ln r + C2 Å" 2 - C3 Å"
( )
"r2 16D r2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 4
Momenty radialne w płycie obrotowosymetrycznej:
ëÅ‚öÅ‚
"2w ½ "w
Mrr r = -D Å"ìÅ‚ + Å"
( )
÷Å‚
"r2 r "r
íÅ‚Å‚Å‚
RealizujÄ…c warunki brzegowe:
z 3° w r = 0 jest skoÅ„czone = S
( )
q Å"04
mamy: w r = 0 = + C1 Å" 0 + C2 Å" 02 + C3 Å" ln 0 + C4 = S ,
( )
64D
biorąc pod uwagę, fakt, iż:
1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ln rr2
lim r2 Å" ln r = limìÅ‚ ÷Å‚ = limìÅ‚ r ÷Å‚ = limìÅ‚ - = 0
( )
÷Å‚
r0 r0 r0 r0
12
2
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
íÅ‚ r2 Å‚Å‚ íÅ‚ r3 Å‚Å‚
Zatem: C3 Å" ln 0 + C4 = S C3 Å"
(-" + C4 = S
)
C3 = 0
Równość będzie skończona tylko wówczas, gdy:
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 5
z 4° Mrr r = 0 jest skoÅ„czone = S
( )
ëÅ‚öÅ‚
"2w ½ "w
mamy: Mrr r = -D Å"ìÅ‚ + Å"
( )
÷Å‚
"r2 r "r
íÅ‚Å‚Å‚
podstawiając obliczone wyżej pochodne i upraszczając, dostajemy:
Mrr r = -D Å" C1 Å" 3 + 2ln r + 2 Å"C2 +½ Å"C1 Å" 1+ 2ln r + 2 Å"½ Å"C2
( ) ( ( ) ( ) )
zatem: -D Å" C1 Å"
) (-" + 2 Å"½ Å"C2 = S
) )
( (-" + 2 Å"C2 +½ Å"C1 Å"
C1 = 0
Równość będzie skończona tylko wówczas, gdy:
z 2° Mrr r = a = 0
( )
ëÅ‚öÅ‚
3Å" qa2 3Å" qa2
mamy: 0 = -D Å"ìÅ‚ + 2 Å"C2 +½ Å" +½ Å" 2 Å"C2 ÷Å‚
16D 16D
íÅ‚Å‚Å‚
qa2 3 +½
C2 =
zatem: - Å"ëÅ‚öÅ‚
ìÅ‚÷Å‚
32D 1+½
íÅ‚Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 6
z 1° w r = a = 0
( )
qa4 qa4 5 +½
mamy: 0 = + C2 Å" a2 + C4, zatem: C4 = Å"ëÅ‚öÅ‚
ìÅ‚÷Å‚
64D 64D 1+½
íÅ‚Å‚Å‚
ZbierajÄ…c wyniki, otrzymujemy:
qr4
w r = + C1 Å" r2 Å" ln r + C2 Å" r2 + C3 Å" ln r + C4
( )
64D
qr4 qa2 3 +½ qa4 5 +½
w r = - Å"ëÅ‚öÅ‚ Å"ëÅ‚öÅ‚
Å" r2 +
( )
ìÅ‚÷Å‚64D 1+½
ìÅ‚÷Å‚
64D 32D 1+½
íÅ‚Å‚Å‚ íÅ‚Å‚Å‚
Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
qa4 îÅ‚ r43 +½ r2 5 +½
öÅ‚ ëÅ‚öÅ‚
w r =Å"
( )
ïÅ‚1Å" a4 - 2 Å"ëÅ‚ 1+½ Å"ìÅ‚ a2 + 1+½ Å"1śł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚÷Å‚ ÷Å‚ ìÅ‚÷Å‚
64D
íÅ‚Å‚Å‚ íÅ‚Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ûÅ‚
q îÅ‚ 5 +½ Å‚Å‚
ëÅ‚öÅ‚
lub równoważnie: w r = Å" a2 - r2 Å"
( )
( )
ìÅ‚÷Å‚
ïÅ‚íÅ‚ 1+½ Å‚Å‚ Å" a2 - r2 śł
64D
ðÅ‚ûÅ‚
5 +½ qa4
ëÅ‚öÅ‚
Å"
Ugięcie w środku płyty: max w = w r = 0 =
( )
ìÅ‚÷Å‚
1+½ 64D
íÅ‚Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 7
Z powyższych wzorów zapisać można, iż:
Momenty zginajÄ…ce:
2
îÅ‚Å‚Å‚
ëÅ‚öÅ‚ qa2 r
"2w ½ "w ëÅ‚ öÅ‚
Mrr r = Å" 3 +½ Å"
Mrr r = -DìÅ‚ + ( ) ( )
( ) ïÅ‚1- ìÅ‚ ÷Å‚ śł
÷Å‚
16 a
"r2 r "r
íÅ‚ Å‚Å‚
ïłśł
íÅ‚Å‚Å‚
ðÅ‚ûÅ‚
2
îÅ‚Å‚Å‚
ëÅ‚öÅ‚ qa2 1+ 3½ r
1 "w "2w
MÕÕ r = Å" 3 +½ Å"
MÕÕ r = -DìÅ‚ +½ ( ) ( )
( ) ïÅ‚1- Å"ëÅ‚ öÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
16 3 +½ a
r "r "r2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ïłśł
íÅ‚Å‚Å‚
ðÅ‚ûÅ‚
qa2
W Å›rodku pÅ‚yty r = 0 : Mrr 0 = MÕÕ 0 = Å" 3 +½
( ) ( ) ( ) ( )
16
qa2
Na brzegu pÅ‚yty r = a : Mrr a = 0; MÕÕ a = Å" 1-½
( ) ( ) ( ) ( )
8
qa2 qa2
Å" 1-½ Å" 1-½
( ) ( )
Wykresy:
8 8
Mrr MÕÕ
qa2 qa2
Å" 3 +½ Å" 3 +½
( ) ( )
16 16
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 8
Siła tnąca:
2
îÅ‚Å‚Å‚
öÅ‚
ëÅ‚öÅ‚
" "2w 1 "w " qa2 ëÅ‚ r
ëÅ‚ öÅ‚
Qr r = -D Å" + Qr r = - ïÅ‚
( ) ( )
ìÅ‚1- ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚÷Å‚
ìÅ‚÷łśł
"r "r2 r "r "r 4 a
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚Å‚Å‚ ïÅ‚ûÅ‚
íłłłśł
ðÅ‚
qr
Qr r =
Zatem:
( )
2
qa
Na brzegu płyty r = a : Qr r =
( ) ( )
2
"w
KÄ…t nachylenia stycznej do powierzchni Å›rodkowej: Õ r =
( )
"r
qa3
Dla r = a : Õ r = a = -
( ) ( )
8D Å" 1+½
( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 9
Dyskusja!
1) Zastosowanie: Jest to bardzo dobry model dla schematu
bardzo sztywna płyta + podatne podparcie!
2a
reakcje
w ściankach
a
budowli
cylindrycznych
h = const
q = const
Uwaga! We wzorach należy zmienić znak obciążenia q r !
( )
2) KsztaÅ‚t zbrojenia na momenty radialne Mrr i obwodowe MÕÕ :
zbrojenie
na momenty
ortogonalne
zbrojenie
na momenty
radialne
i obwodowe
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 10
Przykład: Płyta kolista, utwierdzona, obciążona równomiernie
na całej powierzchni, q r = const a" q
( )
q = const
q r
( )
a h
E,½ ,h
r
2a
Warunki brzegowe i warunki ograniczające dla środka płyty:
1° w r = a = 0
( )
2° Õ r = a = 0
( )
3° w r = 0 jest skoÅ„czone
( )
4° Mrr r = 0 jest skoÅ„czone
( )
Równanie płyty: w r = ws + wo
( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 11
Z warunków 3° i 4° wynika, jak w poprzednim przykÅ‚adzie, iż:
C1 = 0 oraz C3 = 0
Po wyznaczeniu staÅ‚ych C2 i C4 z warunków 1° i 2° otrzymamy
rozwiÄ…zanie:
2
2
Å‚Å‚
qa4 îÅ‚ r
ëÅ‚ öÅ‚
w r = Å"
( )
ïÅ‚1- ìÅ‚ ÷Å‚ śł
64Da
íÅ‚ Å‚Å‚
ïłśł
ðÅ‚ûÅ‚
qa4
Ugięcie w środku płyty: max w = w r = 0 =
( )
64D
Uwaga: PrzyjmujÄ…c ½ = 0 otrzymujemy ugiÄ™cia pÅ‚yty utwierdzonej
pięciokrotnie mniejsze od ugięcia płyty swobodnie podpartej!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 12
Z ogólnych wzorów podanych powyżej zapisać można, iż:
Momenty zginajÄ…ce:
2
r
ëÅ‚öÅ‚ qa2 îÅ‚Å‚Å‚
"2w ½ "w
Mrr r = Å" 1+½ -( )
3 +½ Å"ëÅ‚ öÅ‚ śł
Mrr r = -DìÅ‚ + ( ) ( )
( ) ïÅ‚
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
16 a
"r2 r "r
íÅ‚ Å‚Å‚
ïłśł
íÅ‚Å‚Å‚
ðÅ‚ûÅ‚
2
r
ëÅ‚öÅ‚ qa2 îÅ‚Å‚Å‚
1 "w "2w
MÕÕ r = Å" 1+½ -(
1+ 3½ Å"ëÅ‚ öÅ‚ śł
MÕÕ r = -DìÅ‚ +½ ( ) ( ) )
( ) ïÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
16 a
r "r "r2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ïłśł
íÅ‚Å‚Å‚
ðÅ‚ûÅ‚
qa2
W Å›rodku pÅ‚yty r = 0 : Mrr 0 = MÕÕ 0 = Å" 1+½
( ) ( ) ( ) ( )
16
qa2 qa2
Na brzegu pÅ‚yty r = a : Mrr a = - ; MÕÕ a = - Å"½
( ) ( ) ( )
8 8
qa2 qa2
qa2 qa2
Wykresy:
8 8 Å"½ Å"½
8 8
Mrr MÕÕ
qa2 qa2
Å" 1+½ Å" 1+½
( ) ( )
16 16
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 13
Dyskusja!
Uwaga: Powyższe zagadnienie można rozwiązać metodą sił
z wykorzystaniem wyniku dla płyty swobodnie podpartej!
M0 M0
h
"w
r = a
( )
2a
"r
od obciążenia momentem
M0
(rozłożonym na obwodzie)
Równanie wg metody sił:
kÄ…t obrotu
kÄ…t obrotu
"w od nieznanego
od = 0
+
Õ r = a = r = a =
( ) ( )
momentu
"r obciążenia
q
utwierdzenia
M0
Powyższe równanie jest równaniem z jedną niewiadomą M0 .
( )
Zaleca się dokonać rozwiązania zadania  jako zadanie domowe!
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Ćwicz. 13 " KMBiM WILiŚ PG 14