Dane są punkty K = (-2, 3, 1), L = (1, 2, 0), M = (0, -1, 0), N = (-2, -3, 4). Obliczyć:
- - -
- - -
1) współrzędne wektorów: LK, LM, LN.
- -
- -
2) długości wektorów: LK, LM.
- -
- -
3) iloczyn skalarny wektorów: LK i LM.
- -
- -
4) iloczyn wektorowy wektorów: LK i LM.
- - -
- - -
5) Iloczyn mieszany wektorów: LK, LM i LN.
6) W trójkącie KLM obliczyć kąt przy wierzchołku L.
7 ) pole trójkąta KLM.
8) Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach KLMN oraz jego wysokość poprowadzoną z wierzcołka N
-
-
9) Napisać równanie płaszczyzny wiedząc, że zawiera punkt K i jest prostopadła do wektora LN.
10) Napisać równanie płaszczyzny wiedząc, że zawiera punkty K, L, N.
11) Napisać równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkty L, K.
12) Napisać równanie parametryczne odcinka LK.
13) Napisać równanie kanoniczne prostej k przechodzącej przez punkt A = (5, 6, 7) i prostopadłej do płaszczyzny
7x + 2y + 17z + 3 = 0.
14) Napisać równanie prostej m przechodzącej przez punkt B = (3, 1, -1) i prostopadłej do płaszczyzny
Ą : x + 2y + 3z + 30 = 0 oraz punkt wspólny tej prostej i płaszczyzny, czyli RZUT PROSTOPADA
Y PUNKTU
NA PA
ASZCZYZN
.
15) Napisać równanie płaszczyzny Ą przechodzącej przez punkt C = (1, -2, 0) i prostopadłej do prostej
x-5 y z
l : = = oraz punkt wspólny tej prostej i płaszczyzny, czyli RZUT PROSTOPADA
Y PUNKTU NA
2 3 1
PROST
.
ROZWI
ZANIA
Dane są punkty K = (-2, 3, 1), L = (1, 2, 0), M = (0, -1, 0), N = (-2, -3, 4). Obliczyć:
- - -
- - -
1) współrzędne wektorów: LK = [-2 - 1, 3 - 2, 1 - 0] = [-3, 1, 1], LM = [-1, -3, 0], LN = [-3, -5, 4].
Uwaga !!! Współrzędne wektorów zapisujemy w nawiasach kwadratowych.
" "
- -
- -
2) Długości wektorów:|LK| = (-3)2 + 12 + 12 = 11, |LM| = (-1)2 + (-3)2 + 02 = 10.
- -
- -
3) iloczyn skalarny wektorów: LK ć% LM = (-3)(-1) + 1 · (-3) + 1 · 0 = 0.
ILOCZYN SKALARNY TO LICZBA !!!!
i j k
- -
- -
4) iloczyn wektorowy wektorów: LK × LM = -3 1 1 = 3i - j + 10k = [3, -1, 10].
-1 -3 0
ILOCZYN WEKTOROWY TO WEKTOR !!!!
1
5) Iloczyn mieszany wektorów:
-3 1 1
---
- - -
LKLMLN = -1 -3 0 = 36.
-3 -5 4
6) W trójkącie KLM obliczyć kąt przy wierzchołku L.
ć%
- -
u v
Cosinus kÄ…ta miÄ™dzy wektorami wyraża siÄ™ wzorem: cos Õ = - - .
||||
u v
Uwaga !!! Wektory muszą mieć początek w punkcie L.
- -
- -
LKć%LM 0 Ą
" "
cos Õ = - -
- - = = 0, czyli Õ = .
2
11 10
|LK||LM|
Wektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Zatem wektory
- -
- -
LK, LM są prostopadłe.
7 ) pole trójkąta KLM: (połowa długości iloczynu wektorowego - punkt 4)
"
- -
- -
1 1
S = |LK × LM| = 32 + (-1)2 + 102 = 110
2 2
8) Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach KLMN oraz jego wysokość poprowadzoną z wierzcołka N:
Objętość czworościanu o danych wierzchołkach obliczamy tworząc trzy wektory o wspólnym wierzchołku (np.
1
w punkcie L) oraz obliczając wartości bezwzględnej ich iloczynu mieszanego (punkt 5):
6
---
- - -
1 1
V = |LKLMLN| = |36| = 6.
6 6
1
Aby obliczyć szukaną wysokość wykorzystujemy wzór: V = PpH.
3
" "
"
1 1
"36 36 110 18 110
Pole podstawy to pole trójkąta KLM, czyli Pp = S. Zatem 6 = 110H, a stąd H = = = .
3 2 110 55
110
-
-
9) Napisać równanie płaszczyzny wiedząc, że zawiera punkt K i jest prostopadła do wektora LN.
-
-
K = (-2, 3, 1), LN = [-3, -5, 4] (patrz punkt 1)
Równanie płaszczyzny Ą przechodzącej przez punkt P = (x0, y0, z0) i prostopadłej do wektora
-

n = [A, B, C] ma postać:
Ä„ : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.
Zatem mamy -3(x + 2) - 5(y - 3) + 4(z - 1) = 0, co daje -3x - 5y + 4z + 5 = 0.
10) Napisać równanie płaszczyzny wiedząc, że zawiera punkty K, L, N.
- -
- -
Z danych punktów tworzymy dwa dowolne wektory, np: LK i LN.
Wektory te są równoległe do szukanej płaszczyzny, zatem ich iloczyn wektorowy będzie prostopadły do płaszczyzny.
- -
- -
-

Czyli n = LK × LN = [3, -1, 10] (patrz punkt 4)
Napiszemy równanie normalne płaszcyzny przechodzącej przez punkt np M = (0, -1, 0) i prostopadłej do wek-
-

tora n :
3(x - 0) - 1(y + 1) + 10(z - 0) = 0, co daje 3x - y + 10z - 1 = 0.
11) Napisać równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkty L, K.
-
-
Prosta ta przechodzi przez punkt K = (-2, 3, 1) i jest równoległa do wektora LK = [-3, 1, 1].
2
-

Prosta l przechodząca przez punkt P = (x0, y0, z0) i równoległa do wektora l = [a, b, c] zwanego wektorem
kierunkowym prostej ma postać:
Å„Å‚
x = x0 + at
òÅ‚
" y = y0 + bt POSTAĆ PARAMETRYCZNA PROSTEJ
ół
z = z0 + ct, t " R
Å„Å‚ Å„Å‚
x =
òÅ‚ -2 - 3t x =
òÅ‚ -2 - 3t
Zatem szukana prosta ma wzór l : y = 3 + 1t Czyli l : y = 3 + t
ół ół
z = 1 + 1t, t " R z = 1 + t, t " R
12) Napisać równanie parametryczne odcinka LK.
Jak w punkcie 11, tylko t "< 0, 1 >.
13) Napisać równanie kanoniczne prostej k przechodzącej przez punkt A = (5, 6, 7) i prostopadłej do płaszczyzny
7x + 2y + 17z + 3 = 0.
x-x0 y-y0 z-z0
POSTAĆ KANONICZNA PROSTEJ = =
a b c
-

-

Prosta k jest prostopadła do wektora n = [7, 2, 17] = k , czyli wektor ten będzie równoległy do szukanej
prostej, będzie jej wektorem kierunkowym. Mamy zatem:
y-6
x-5 z-7
k : = =
7 2 17
14) Napisać równanie prostej m przechodzącej przez punkt B = (3, 1, -1) i prostopadłej do płaszczyzny
Ą : x + 2y + 3z + 30 = 0 oraz punkt wspólny tej prostej i płaszczyzny, czyli RZUT PROSTOPADA
Y PUNKTU
NA PA
ASZCZYZN
.
- -

Prosta m ta jest prostopadła do wektora n = [1, 2, 3] = m, czyli wektor ten będzie równoległy do szukanej
prostej, będzie jej wektorem kierunkowym. Mamy zatem:
Å„Å‚
x = 3 + 1t
òÅ‚
m : y = 1 + 2t Szukamy punktu wspólnego podstawiając równanie prostej do równania
ół
z = -1 + 3t, t " R
płaszczyzny:
3 + t + 2(1 + 2t) + 3(-1 + 3t) + 30 = 0, czyli t = 2. Otrzymane t podstawiamy do równania prostej:
Å„Å‚
x = 3 + 2
òÅ‚
B : y = 1 + 2 · 2 czyli B = (5, 5, 5)
ół
z = -1 + 3 · 3,
15) Napisać równanie płaszczyzny Ą przechodzącej przez punkt C = (1, -2, 0) i prostopadłej do prostej
y
x-5 z
l : = = oraz punkt wspólny tej prostej i płaszczyzny, czyli RZUT PROSTOPADA
Y PUNKTU NA
2 3 1
PROST
.
-

-

Prosta Ą ta jest równoległa do wektora l = [2, 3, 1] = n , czyli wektor ten będzie prostopadły do szukanej
płaszczyzny, będzie jej wektorem normalnym. Mamy zatem:
Ä„ : 2(x - 1) + 3(x + 2) + 1(z - 0) = 0, czyli Ä„ : 2x + 3y + z + 4 = 0
Å„Å‚
x = 5 + 2t
òÅ‚
Podstawiamy równanie parametyczne prostej l : y = 0 + 3t do równania płaszczyzny:
ół
z = 0 + 1t, t " R
Å„Å‚
x = 5 - 2
òÅ‚
2(5 + 2t) + 3 · 3t + t + 4 = 0, czyli t = -1. Otrzymane t do równania prostej: C : y = -3 czyli
ół
z = -1,
C = (3, -3, -1) - punkt wspólny, czyli rzut.
3