Definiowanie równań i nierówności modeli, podstawowe typy
W modelu należy zapisać najważniejsze relacje miedzy elementami systemu, a tymi w
przypadku systemów paliwowo - energetycznych są przepływy dóbr. Odpowiednim
równaniem opisującym te relacje są bilanse dóbr. Inne to opis technologii i związki jej
parametrów  głównie mocy produkcyjnych z zużyciem i produkcją dóbr.
Najczęściej występujące ograniczenia mają następującą postać:
�� bilans zdolności produkcyjnych  odnosi się do technologii i równoważy poziom
zdolności produkcyjnych w danym momencie czasu:
X =� X +� D�X -� D�X "� j,t
j,t j,t-�1 j,t j,t-�h
gdzie:
j - indeks technologii
Xt - stan zdolności produkcyjnych w momencie czasu t,
"Xt - przyrost zdolności produkcyjnej przypisany momentowi t, czyli przyrost w
okresie między momentem t-1 a t,
h - okres funkcjonowania technologii,
"Xt-z - przyrost zdolności produkcyjnej przypisany momentowi t-z, w równaniu są to
zdolności utracone w momencie t wskutek ich zużycia.
�� bilanse dóbr1 równoważy pozyskanie i produkcje dobra z jego zużyciem i
magazynowaniem w danym momencie czasu:
J I J I
Zd ,t -�1 +� pd , j X +�
�� j,t ��P Yi,t +� Pd =� Zd +���u X +���U Yi,t +�Ud ,o
d ,i ,o ,t d , j j,t d ,i
j=�1 i=�1 j=�1 i=�1
"�d,t
gdzie:
d - indeks dobra,
Xt - stan zdolności produkcyjnych w momencie czasu t,
Pu,i - produkcja dobra w obiekcie i,
Uu,i - zużycie dobra w obiekcie i,
Pu,o - produkcja dobra w otoczeniu,
Uu,o - zużycie dobra w otoczeniu,
1
W terminologii statystycznej bilanse te noszą zazwyczaj nazwę bilansów materiałowych
1
Należy dodać, że tego typu równania mogą mieć wiele wariantów i niekoniecznie
bilansować, ale ograniczać pozyskanie lub zużycie dobra, W szczególności dotyczyć to
będzie przypadków ograniczenia poziomu emisji lub popytu na określone dobro.
�� równania jakości dóbr, ograniczające jakość dóbr, np. zawartość siarki w węglu.
Formuły te są analogiczne do równań bilansowych, gdyż bilansują ilość substancji
określającej jakość (np. siarki) w dobrach z dopuszczalnym poziomem. Warto tu zwrócić
uwagę, że nie wylicza się zawartości tej substancji a jej ilość, przez co unika się
konieczności dzielenia a zatem nieliniowości równań. W równaniach tych równoważy się
pozyskanie (dostawy) substancji w dobrach z jego dopuszczanym poziomem zużycia:
��
Ł�
��
�� �� ��max ��
0
�� ż�
�� ��
��min ��
=� a� Qd ,t "� f ,t
�� ż�
��a� Qd �� �� ��
f ,d ,t
f
d d
�� ��
ł�
�� ��
W nierówności tej, ilość substancji f w dostawach Q do odbiorcy jest porównywana z
ilością wymaganą. Generalnie dla substancji szkodliwych ilość dostarczana powinna być
mniejsza od dopuszczalnej podczas gdy dla substancji użytecznych ilość powinna być
większa. W zasadzie w tego typu równaniach stosuje się znak równości tylko wtedy gdy
wymaga tego specyfika danego dobra.
2
�� ograniczenia dla zmiennych zerojedynkowych  :warunki, jakie musza spełniać
zmienne binarne tak aby wybory dokonywane przez model były racjonalne. Na ogół
chodzi tu o selekcje co najwyżej jednego spośród możliwych wariantów, lub dokładnie
jednego:
W
Yw,i Ł� 1
��
w=�1
W
Yw,i =� 1
��
w=�1
gdzie:
w  indeks wariantu
W  liczba wariantów
W szczególnych przypadkach równania te będą dopuszczały inne specyficzne wartości
wynikające z ujęcia rozwiązywanego problemu.
�� ograniczenia dla zmiennych całkowitoliczbowych  warunki, jakie musza spełniać
zmienne całkowitoliczbowe tak aby wybory dokonywane przez model były racjonalne. Na
przykład górna granica sumy wartości zmiennych, tutaj całkowita liczba obiektów jest
ograniczona od góry:
I
MAX
��K Ł� K
i
i=�1
gdzie:
K  zmienna całkowitoliczbowa oznaczająca liczbę obiektów i,
Proporcje zmiennych:
K1
=� a
K2
K1 =� a K2
Pierwsza postać daje model nieliniowy, który sprawia trudności w rozwiązywaniu; druga
można zastosować w modelu liniowym zazwyczaj dość łatwym w rozwiązywaniu.
3
�� ograniczenie wielkości zasobu:
limit ilości jaką można pozyskać z zasobu nieodnawialnego:
O
Zd ,t =� Zd ,t-�1 +� �� Pd ,i Yi,t +� �� pd , j X -� ��Ud ,i Yi,t -� �� ud , j X +� PdOt -�Ud ,t
j,t j,t ,
i��I j��J i��I j��J
"�d �� DG,"�t ��T
MAX
Zd ,t Ł� Zd ,t "�d �� DG ,"�t ��T
gdzie:
ZMAXd,t  maksymalny stan zasobu (magazynu) dobra d w podokresie t.
limit ilości jaką można pozyskać z zasobu odnawialnego(dotyczy np. zasobów
biomasy):
5�M�5�Q�,5�a� = 5�M�5�Q�,5�a�-1 + 5�M�5�Q�,5�a�-1 " 5���
5�M�5�Q�,5�a� e" 0
gdzie:
ą stopa przyrostu zasobu odnawialnego w ciągu podokresu t, np. 0.2 - oznacza przyrost
(naturalne odtworzenie) 20% na podokres.
�� Funkcja celu, kryterium optymalizacji np. minimalizacja kosztu:
T J I
��q (��k X +���K Yi,t +� Ko ) �� min
t j j,t i
t=�1 j=�1 i=�1
qt - czynnik dyskontujący,
kj - koszt jednostkowy technologii,
Ki  koszt całkowity obiektu.
4
�� Równania specyficzne dla systemu, np.:
- rozkład popytu na energię elektryczną w okresie szczytu i poza nim,
- parametry produkcji ropy naftowej,
- mieszanie produktów rafinacji ropy dla uzyskania odpowiednich własności produktów
końcowych,
- limity emisji w elektrowniach.
5
Równania przykładowego modelu gospodarki węglem kamiennym
Problem jest tu ustalenie optymalnej struktury systemu pozyskania i użytkowania węgla
kamiennego, czyli, ile i jakie powinny funkcjonować w modelowanym systemie:
�� kopalnie (obiekty - likwidowane, nowe lub technologie),
�� elektrownie ( obiekty lub technologie, warianty rozwoju z lub bez odsiarczania),
�� koksownie (obiekty lub technologie).
Zapisany poniżej model jest jednym z możliwych ujęć.
Otoczenie
Otoczenie
Elektrtrownia n
Elektrtrowniaann
Elek owni
Elek ownia n
.
.
..
..
Limity
Limity
Elektrtrownia 3
Elektrtrowniaa33
Elek owni
Elek ownia 3
emisji
emisji
Energia
Energia
elektryczna
elektryczna
Elektrtrownia 2 Koksownia 2
Elektrtrowniaa22 Koksowniaa22
Elek owni Koksowni
Elek ownia 2 Koksownia 2
Koksownia 1
Koksowniaa11
Koksowni
Koksownia 1
Elektrtrownia 1
Elektrtrowniaa11
Elek owni
Elek ownia 1
Ceny
Ceny
Gatunki Gatunki Gatunki
Gatunki Gatunki Gatunki
węgla
węgla
węgla węgla węgla
węgla węgla węgla
Limit
Limit
Kopalnia 1 Kopalnia 2 Kopalnia 3 zrzutu
Kopalniaa11 Kopalniaa22 Kopalniaa33 zrzutu
Kopalni Kopalni Kopalni
Kopalnia 1 Kopalnia 2 Kopalnia 3
wód
wód
węgiel w węgiel w węgiel w
węgiel w węgiel w węgiel w
złożu złożu złożu
złożu złożu złożu
Zasoby węgla
Zasoby
Zasoby węgla
Zasobywęgla
węgla
SYSTEM GOSPODARKI W
GLEM KAMIENNYM (przykład)
SYSTEM GOSPODARKI W
GLEM KAMIENNYM (przykład)
Okres  horyzont czasowy modelu obejmuje zazwyczaj 20  30 lat, podzielonych na
podokresy od 1 do 5 lat.
6
Bilans dóbr
O
Zd ,t-�1 +� pd , j X +�
d ,t d ,t
�� j,t ��P Yi,t +� PO =� Zd +���u X +���U Yi,t +�U
d ,i ,t d , j j,t d ,i
j��J i��I j��J i��I
"�d �� D "�t ��T
gdzie:
j - indeks technologii,
J - zbiór technologii,
d - indeks dobra,
t - indeks czasu,
i - indeks obiektu,
I - zbiór obiektów,
Zd,t-1 - stan zasobów dobra d w podokresie t-1,
Xj,t - stan zdolności produkcyjnych (produkcja na rok) technologii j w podokresie t,
(zmienna decyzyjna)
Yi,t - stan obiektu i w momencie czasu t,( zmienna decyzyjna),
pd,i - jednostkowa produkcja dobra w technologii j, (informacja - parametr modelu),
ud,i - jednostkowe zużycie dobra w technologii j, (informacja - parametr modelu),
Pd,i - całkowita produkcja dobra w obiekcie i, (informacja - parametr modelu),
Ud,i - całkowite zużycie dobra w obiekcie i, (informacja - parametr modelu),
POd,,t - produkcja dobra w otoczeniu, np. import, (informacja lub zmienna decyzyjna)
UOd,t - zużycie dobra w otoczeniu, (informacja lub zmienna decyzyjna)
W niektórych ujęciach parametry modelu mogą być zależne od czasu lub innych zmiennych,
wtedy są opisywane procesami, np.:
Ud ,i,t =�Ud ,i,0 (1+� e� t)
gdzie:
Ud,i,t - parametr modelu (tu zużycie),
Ud,i,0 - wartość początkowa parametru modelu (tu zużycie),
� - stopa wzrostu parametru.
7
Minimalne dostawy paliw do wytwarzania dóbr (np. energii elektrycznej):
Często nie ma odpowiednich danych, lub istnieje potrzeba bilansowania dostaw paliw
(szczególnie węgla) do elektrowni z założeniem substytucji różnych gatunków paliwa. Wtedy
w modelu wprowadza się równania bilansu dostaw:
wersja z danymi o sprawności wytwarzania:
EE
( "� j �� J "�t ��
��V Qd ) h� 0.2777 =� pEE, X
d , j,t j,EE j j,t
d��DW
EE
(
��V Qd ) h�i,EE 0.2777 =� PEE Yi,t "�i �� I "�t ��T
d ,i,t ,i
d��DW
wersja z danymi o zapotrzebowaniu na paliwa wyrażonym w energii chemicznej paliw
(częściej spotykana)
EE
"� j �� J "�t ��
��V Qd =� uQ, X
d , j,t j j,t
d��DW
EE
��V Qd =� UQ,i Yi,t "�i �� I "�t ��T
d ,i,t
d��DW
gdzie:
DW - zbiór dóbr  paliw pierwotnych,
Vd,j,t - dostawy dobra d (paliwa pierwotnego) do technologii j wytwarzania energii
elektrycznej (zmienna decyzyjna),
Vd,i,t - dostawy dobra d (paliwa pierwotnego) do obiektu i wytwarzania energii
elektrycznej (zmienna decyzyjna),
Qd - wartość opałowa dobra (węgla) d (paliwa pierwotnego),
�j,EE - sprawność wytwarzania energii elektrycznej w technologii j [bezwymiarowe],
�i,EE - sprawność wytwarzania energii elektrycznej w obiekcie i [bezwymiarowe],
0.2777 - współczynnik przeliczenia jednostek, z GJ na MWh
PEE,i - całkowita ilość energii elektrycznej produkowana w obiekcie i ,
pEE,i - produkcja energii elektrycznej na jednostkę wydajności technologii i,
UQ,i - zużycie całkowite energii chemicznej paliw w obiekcie (elektrowni) i ,
uQ,i - zużycie jednostkowe energii chemicznej paliw w technologii j (elektrowni)
JEE - zbiór technologii  elektrowni
IEE - zbiór obiektów  elektrowni
8
Bilanse paliw muszą dla takiego ujęcia zostać zmodyfikowane, tak aby uwzględnić
zużycie paliw  zmienne wyznaczone w powyższych równaniach:
Zd ,t-�1 +� pd , j X +�
d ,t
�� j,t ��P Yi,t +� PO =�
d ,i
j��J i��I
O
Zd ,t +� Vd ,i,t +� Vd , j,t +�
d ,t
�� �� ��u X +� ��U Yi,t +�U
d , j j,t d ,i
EE EE EE -� EE -�
i��I j��J j��J i��I
"�d �� D "�t ��T
gdzie:
JEE- - zbiór technologii innych niż JEE; JEE- *" JEE = J,
IEE- - zbiór obiektów innych niż IEE; IEE- *" IEE = I.
Bilans zasobów węgla :
Zd ,0 -� �� �� Ud ,i Yi,t ł� 0 "�d �� DZ
w
t��T i��I
gdzie:
Zd,0 - zasób początkowy złóż węgla
DZ - zbiór dóbr  złóż węgla
Bilans zdolności produkcyjnych technologii
X =� X +� D�X -� D�X "� j �� J,"�t ��T
j,t j,t-�1 j,t j,t-�h
gdzie:
Xt - stan zdolności produkcyjnych w momencie czasu t,
"Xj,t - przyrost zdolności produkcyjnej przypisany momentowi t, czyli przyrost w
okresie między momentem t-1 a t,
h - okres funkcjonowania (czas życia) technologii, mierzony liczba podokresów,
"Xj,t-h - przyrost zdolności produkcyjnej przypisany momentowi t-h, w równaniu są to
zdolności utracone w podokresie t wskutek ich zużycia.
9
Warunki dla zmiennych zerojedynkowych:
- dla obiektu likwidowanego:
L
Yi,t ł� Yi,t+�1 , "�t,i �� I
1
1
0
0
tx t
tx t
gdzie:
IL - podzbiór obiektów do likwidacji
- dla obiektu nowego - uruchamianego:
N
Yi,t Ł� Yi,t+�1 , "�t ��T,"�i �� I
1
1
0
0
tx t
tx t
gdzie:
IN - podzbiór obiektów nowych  do uruchomienia,
- dla obiektów z możliwym  wariantem rozwoju
Yi,w,t =� 1, "�i �� I ,"�t ��T
��
w��IW ,i
Yi,w,t ł�Yi,w,t -�1 "�w�� IW ,i , "�i �� I ,"�t ��T
gdzie:
IW.i - podzbiór wariantów rozwojowych obiektu i (zbioru obiektów  z wariantem rozwoju ),
10
Emisje z kopalni (wody słone), elektrowni, koksowni
Swego rodzaju bilans dóbr, polutantów gdzie poziom maksymalny reprezentuje maksymalne
dostawy do otoczenia
1). Na podstawie bilansu dóbr, emisje jak produkcja i zużycie w technologiach redukcji emisji
dla dóbr DM , np.:
pm, j X +�
�� j,t ��P Yi,t -� ��u X -� ��U Yi,t =� Pm,t
m,i d , j j,t d ,i
R R
j��J i��I
j��J i��I
MAX
Pm,t Ł� Pm,t
"�t ��T, "�m �� DM
2) na podstawie zużycia dóbr  z uwzględnieniem jakości spalanych paliw
ć� ��
�� ��
a�d X +� a�d Yi,t �� -� X =� Pm,t
�� ��ud , j ,m j,t ��Ud ,i ,m ��um, j j,t
��
M R
j��J i��I
d��D j��J
Ł� ł�
MAX
Pm,t Ł� Pm,t
"�t ��T, "�d �� DM
gdzie:
DM - podzbiór dóbr, których użycie lub produkcja powoduje emisję polutantów ,
ąd,m - emisja jednostkowa polutanta (dobra) m powstająca przy użytkowaniu jednostki
dobra d,
pd,i - jednostkowa emisja dobra z podzbioru m w technologii j,
JR - podzbiór technologii redukcji emisji,
IR - podzbiór obiektów redukcji emisji,
um,j - jednostkowa redukcja emisji dobra  polutanta m w technologii j,
Pm,t - poziom emisji (produkcji) polutanta m.
Pm,tMAX - dopuszczalny poziom emisji (produkcji) polutanta m.
m - indeks dobra  polutanta,
DM - zbiór dóbr polutantów.
11
Zasoby (magazyn) dóbr (węgla) na składzie
Przekształcone równanie bilansu dóbr, nieuwzględniane w modelu jeśli zapasy są w bilansie
dóbr:
Zd ,t =� Zd ,t -�1 +� Pd ,i Yi,t +� pd , j X -� Yi,t -� X
�� �� j ,t ��Ud ,i ��ud , j j ,t
i��I j��J i��I j��J
O
+� PdOt -�Ud ,t
,
"�d �� DG , "�t ��T
gdzie:
Zd,t  stan zasobu (magazynu) dobra d w podokresie t,
DG - podzbiór dóbr gromadzonych w zapasach.
Powyższe może być uzupełnione ograniczeniem pojemności zapasu (magazynu):
MAX
Zd ,t Ł� Zd ,t "�d �� DG ,"�t ��T
gdzie:
ZMAXd,t  maksymalny stan zasobu (magazynu) dobra d w podokresie t.
Lub minimalny (bezpieczny):
MIN
Zd ,t ł� Zd ,t "�d ��DG ,"�t ��T
Funkcja celu, kryterium optymalizacji  minimalizacja kosztów dostaw dóbr:
ć� ��
B
�� ��
X +� +� Yi,t +� PO +� Pm,t �� �� min
j,t d ,t
��qt ��k j,t j,t ��k D�X j,t ��Ki,t ��cd ,t ��km,t
��
t��T j��J j��J i��I d��D
m��DM
Ł� ł�
gdzie:
qt - czynnik dyskontujący, zależny od ujęcia czasu,
cd,t - cena dobra d przy dostawach z zewnątrz,
kj,t - koszty jednostkowe technologii,
kBj,t - jednostkowe nakłady inwestycyjne technologii j,
Ki,t - koszty całkowite obiektu,
km,t - jednostkowe opłaty za emisję polutanta m,
12