Rzepkoteka 2011 v1.3
1. Podstawy rachunku operatorowego. Definicje i sposoby liczenia: rotacji, dywergencji,
gradientu, laplasjanu skalarnego i wektorowego. Wymienić najważniejsze tożsamości
rachunku operatorowego.
Rotacja- operacja różniczkowa, która w danemu polu wektorowemu przyporządkuje nowe pole
wektorowe. Służy do sprawdzania czy w danym polu wektorowym występują wiry pola.
E dl
."ŚąŚą
Śą=
rot E lim
�ą S
�ą S Śą 0
Śą
Śą Śą
i j
k
�ą �ą �ą
Śą=Śą�Śą
rot E B� E=
�ąx �ąy �ąz
#" #"
E E E
x y
z
Dywergencja- operacje matematyczne na zadanym polu wektorowym, które przypisują temu polu
pewne pole skalarne. Służy do sprawdzenia, czy w danym fragmencie przestrzeni znajduje się
z
ródło pola.
E dl
."ŚąŚą
Śą
div E = lim
"V
"S Śą0
" E " E " E
y z
Śą
Śą
div E ="�"Śą x �ą �ą
E=
"y "y "z
Gradient pola- pewnemu polu skalarnemu przyporządkowuje pole wektorowe.
"�ą "�ą "�ą
Śą�ą
Śą
Śą�ą Śą�ą
grad �ąśą x , y , zźą= " śąx , y , zźą= i j k
"x "y "z
Laplasjan skalarny- operacja różniczkowa II rzędu, która danemu polu skalarnemu
przyporządkowuje nowe pole skalarne.
"2 �ą "2 �ą "2 �ą
Śą
Śą�ą Śą�ą k (def.)
"= "2= i j
"x2 "y2 "z 2
Laplasjan wektorowy- operacja różniczkowa II rzędu, która danemu polu skalarnemu
przyporządkowuje nowe pole wektorowe.
"2 �ą "2�ą "2 �ą "2 �ą "2�ą "2 �ą "2�ą "2�ą "2 �ą
Śą�ą Śą�ą
" EśąxŚą, y , z źą=śą �ą �ą źąŚą�ą śą �ą �ą źą j śą i �ą źąŚą
i k
"x2 "y2 "z 2 "x2 "y2 "z 2 "x2 "y2 "z 2
Podstawowe tożsamości:
Śą Śą Śą Śą
Śą
( rotacja rotacji)
"�"śą"�Śą "śą " Aźą
Aźą=
Śą Śą
( dywengencja rotacji)
"�"śą"�Śą
Aźąa"0
Śą Śą
( dywengencja gradientu)
"�""�"f -"2 f = " f
Śą
(rotacja gradientu)
"2�śą " f źą= 0
Śą Śą
S
Śą
."E d Śą= +"div E d v (Ostrogradskiego-Gaussa)
S v
Śą
l E S
."E d Śą= +"rot Śą d Śą (Stokes`a)
l S
2. Pole elektrostatyczne. Prawo Coulomba. Definicja natężenia pola elektrycznego. Potencjał-
sposoby liczenia. Napięcie i związek z potencjałem. Prawo Gaussa, równanie Poissona i
Laplace'a. Potencjał, a natężenie pola.
Pole elektrostatyczne- to przestrzeń wokół nieruchomych ładunków lub ciał naelektryzowanych, w
której na ładunki elektryczne działają siły. ( praca: �ą= F�"L )
Prawo Coulomba (1785):
q1�"q2
1
F = Śą
r
[N]
12
4Ćą �ą0 #"Śą
r#"3
r
Śą - wektor wodzący
�0= 8,85�"10-12 F
[ ]
m
q1 i q2 - ładunki elektryczne
Natężenie pola elektromagnetycznego:
Śąq
F śą x0 , y0, z0źą
V
0
EśąxŚąy , z źą=
,
[ ]
q0 m
q0Śą0
ładunek próbny
q0ą0
ładunek dodatni
Potencjał- miara pracy, potrzebna do przesunięcia ładunku q od punktu P do P.
0 0
P
Śą
Śą
�ą = - E d l
+"
p
"
1 q
�ą = �"
p
4 Ćą �ą0 r
r- odległość od ładunku q do P
Sposoby liczenia:
N
qi
1
a) �ą =
"
p
4 Ćą �ą0 i=1 ri
1 �ą
�ąp= dl
+"
b)
4Ćą �ą0 r
1 ś
Śp= dS
c) +"
4 Ą�0 S r
�ąV dV
1
�ąp=
d)
+"
4Ćą �ą0 V r
Napięcie elektryczne:
2
Śą
Śą
U = E d l [V]
+"
12
1
U = �ą1-�ą2
12
(wartość napięcia nie zależy od drogi całkowania)
Prawo Gaussa:
"
Śą Śą= q
E d S
."
�ą0
S
Równanie Poissona:
�ąV
"�ą=
a)
�ą0
�ąV
Śą
div E =
b) postać różniczkowa:
�ą0
�ąV
Śą
Śą
"�"E=
�ą0
c) Rozwiązanie równania Poissona:
�ąV
1
�ąśąx , y , z źą= dV �ąe
+"
4Ćą �ą0 V T
Równanie Laplace`a:
"2 �ą=0
�ą �ą=0
Potencjał, a natężenie pola elektrycznego:
Śą
Śą
E= -" �ą
Śą
Śą
d �ą= -E�"d l
3. Dielektryki. Dipol elektryczny, definicja wektora polaryzacji, wektor indukcji elektrycznej,
wartość i jednostka � , wartość � dla różnych materiałów.
0 w
Dielektryk- materiał w którym występuje nikła koncentracja ładunków swobodnych, w wyniku
czego bardzo słabo jest przewodzony prąd.
Dielektryk idealny nie przewodzi prądu elektrycznego i ma strukturę składającą się z dipoli
elektrycznych.
Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwóch ładunków + q i - q mechanicznie ze sobą
związanych.
[C " m] (moment elektryczny dipola)
Śą=q�"Śą
p l
pi
Śą
"
Wektor polaryzacji:
Śą= lim
p
�ą V
�ą V Śą0
Wektor indukcji elektrycznej ( jego wartość zależy od ładunków swobodnych)
Śą
D= �ą0 �ąw Śą
E
Śą
D= �ą0 Śą p
E�ą
Śą
�ą0=8,85�"10-12 F
[ ]
m
próżnia �!1,0000
�ą
powietrze �!1,000532
woda �!78,3
Prawo Gaussa (dla dielektryka):
QZ= - P d S
."� �
S
Q
Z- ładunek związany
4. Pojemność elektryczna. Sposoby liczenia. Pojemności podstawowych układów. Energia w
kondesatorze.
Pojemność elektryczna- to cecha geometryczna układu, która wyraża zdolność do gromadzenia
ładunków elektrycznych. Zależy tylko od wymiarów geometrycznych i parametrów dielektryka w
układzie.
Q
C= [ F ]
U
Sposób liczenia:
Śą Śą
Śą
U =- E d l
a) z definicji: E - z prawa Gaussa
+"
b) metodą zmiennych rozłożonych:
(dzielimy cały układ na połączone ze sobą elementarne kondensatory)
 polączenie szeregowe:
n
1 1
=
"
C Ci
w i=1
1
= dC
+"
�ąw
 połączenie równoległe:
n
Cw= Ci
"
i =1
Cw=
+"dC
Pojemność podstawowych kondensatorów:
�ą0�ąw S
a) płaski: C=
d
2 Ą �0 �wl
C=
R2
b) walcowy
ln
( )
R1
R1 R2
C=4 Ćą �ą0 �ąw
c) sferyczny
śą źą
R1�ąR2
Energia zgromadzona w kondensatorze jest elementarną pracą dW potrzebną do przemieszczenia
elementarnego ładunku dq z jednej okładki na drugą. Energia ta jest równa energii pola
elektrycznego wytworzonego w kondensatorze.
q
dW = U�"dq= dq
C
Q Q
Q Q2 = 1
2
�ą= dW = dq= CU
+" +"
C 2C 2
0 0
�ą
1
pot
W = = �ą0 �ąw E2
Gęstość energii:
c
V 2
diel
5. Prąd elektryczny (definicja). Typy prądów. Równanie ciągłości, lokalne i obwodowe prawo
Ohma. I i II prawo Kirchoffa.
Prąd elektryczny- uporządkowany ruch ładunków elektrycznych. Za kierunek prądu umownie
przyjęto kierunek od niższego do wyższego potencjału.
Typy prądów:
dQ
I = [ A]
a) liniowy:
dt
A
Śą
IŚąS=�ąy�"V
b) powierzchniowy:
[ ]
m
I = I d S [ A]
+"Śą Śą
c) objętościowy:
S
Równanie ciągłości:
I d S -
."Śą Śą= dQ
 postać całkowa:
dS
S
Śą= d �ąv
 postać różniczkowa: div I -
dt
d �ąv
Śą
"�"Śą= -
I
dt
Lokalne prawo Ohma:
Śą=�ą Śą
a) I E
Śą
b) E=�ą�"Śą
I
�ą - przenikalność właściwa materiału; �ą - oporność materiału;
U L
= �ą = R
Obwodowe prawo Ohma:
I S
J S
."Śą d Śą= 0
I prawo Kirchoffa:
S
(Całka po powierzchni zamkniętej z gęstości prądu równa jest 0)
Śą
l
."E d Śą= 0
II prawo Kirchoffa:
l
(Napięcie obliczone po biegunowej zamkniętej jest równe 0)
6. Pole magnetostatyczne. Prawo Grassmanna, Biota- Savarta i prawo przepływu Ampera,
prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya, reguła Lenza- rysunki i wzory.
Pole magnetostatyczne jest określone wektorem indukcji magnetycznej.
d FŚą12
Śą
B= [T ]
dt
Prawo Grassmanna:
Śą Śą
�ą0 śąd l1�rŚą źą�d l2
12
d FŚą12= I1 I2 [ N ]
4Ćą
#"r12#"3
Śą
Siła z jaką jeden przewodnik z prądem oddziałuje na drugi
Prawo Biota  Savurta:
Śą�Śą
�ą0 d l r
Śą
d B= I [Wb]
4 Ćą
#"Śą
r#"3
Określa wartość indukcji magnetycznej w punkcie odległym od r od
elementu z prądem I.
Prawo przepływu Ampera:
N
Śą=
Śą
H d l Ii
." "
i=1
L
Cyrkulacja natężenia pola magnetycznego po dowolnej krzywej
zamkniętej jest równe algebraicznej sumie prądów obejmowanych przez
kontur I.
Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya:
d �ą
B
�ą= -
dt
Śą= d �ą B
Śą
E d l -
."
dt
L
Cyrkulacja pola elektrycznego po zamkniętej krzywej jest równa
zmianie indukcji magnetycznej obejmowanego przez kontur
magnetyczny.
Reguła Lenza:
�ą�ą�ą
I�"R= -
dt
7. Moment magnetyczny, wektor namagnesowania, pole magnetyczne w ośrodkach
materialnych: krzywa histerezy. Indukcyjność własna i wzajemna. Energia pola
magnetycznego.
Moment magnetyczny jest własnością danego ciała opisującą pole magnetyczne wytwarzane przez
to ciało, a tym samym i jego oddziaływaniem z polem magnetycznym.
Śą
m= I�"s [�ą�"m2]
Śą Śą
Wektor namagnesowania:
mi
Śą
"
Śą
M = lim
�ą V
�ą Śą0
Wyraża gęstość wypadkowego momentu magnetycznego.
Pole magnetyczne w ośrodkach materialnych:
Śą Śą Śą
B=�ą0 śą1�ą ywźą H =�ą0�ąw H
�ąw= f śą H źą
Indukcja własna:
�ąmm
Lm=
Im
Indukcja wzajemna:
�ą
Bki
M = , M =M [ H ]
ki ki ik
I
i
Energia pola magnetycznego:
1
Śą
�ąm= �ąmśą x , y , zźą dV = śą H�"Śą
BźądV
+" +"
2
V V
Całkowita energia w objętości V.
8. Równania Maxwella. Postać całkowa (wzór, treść i rysunek), postać różniczkowa i
zespolona. Podać pełne wyrażenie na � .
sk
Prawo Gaussa:
�
� � =Qs , "�"D= �V , "�"D= � , DN2-DN1= �q
� �
D d S
."
Strumień wektora indukcji elektrycznej przez dowolną
zamkniętą powierzchnie jest równy
algebraicznej sumie ładunków swobodnych
zgromadzonych wewnątrz bryły ograniczonej
powierzchnią S.
Prawo Gaussa (dla pola magnetycznego):
�
B d S 0 , "�"� 0 , "�"� 0 , BN2-BN1= 0
B= B=
."� � =
S
Strumień wektora indukcji magnetycznej przez dowolną
zamkniętą powierzchnię S zawsze jest równy 0.
�ą =0
"
B
Prawo Faraday`a:
�
� = d � B , "�� -�ą B , " �� - j � ź H , Et2-Et1= 0
� �
E�"d l - E= E=
."
dt �ą t
L
Cyrkulacja pola elektrycznego po dowolnej krzywej zamkniętej l,
jest równa zmianie strumienia indukcji magnetycznej
przenikającej przez dowolną powierzchnię rozpięta na konturze l.
Prawo Ampera:
�
�
� = d� B , "�H = J d D , "�H = j � � sk E , Ht2- Ht1=J st
� � � + � �
H d l J +
."
dt dt
L
Cyrkulacja wektora H po dowolnej krzywej zamkniętej l jest
równa algebraicznej sumie prądów obejmujących konturem l
i zmiana strumienia indukcji elektrycznej przenikającego
przez dowolną powierzchnię rozpiętą na konturze l.
Równanie
ciągłości:
d �V d �
y
J d S - , "�� = , J -J = -
J
."� � = dQ �
N2 N1
dt dt dt
S
Strumień gęstości prądu przez dowolną zamkniętą powierzchnie S jest równy zmianie ładunku
zawartego w bryle ograniczonej powierzchnią S.
� �
� = +� = +�0�
sk w
j� j�
9. Warunki brzegowe wektorów pola elektrycznego, magnetycznego i J . Wyprowadzić
n
warunki D i E .
n t
DN2-DN1= �
1) (prawo Gaussa)
q
Et2-Et1= 0
2) (prawo Faraday`a)
H -H = I
3) (prawo Ampera)
t2 t1 st
d �
y
4) J -J = - (prawo ciągłości)
N2 N1
dt
Warunki na D :
n
�
S
."D d � = QS
S
� � =
D d S 0
."
, więc
�ą S
b
� � 1 S D2 d � = QS
�
S S
."D d � = +"D d � ++"
S S1 S2
-DN1�"�ą S +DN2�ą S = QS
QS
DN2-DN1= = �
q
�ą S
Warunki na E :
t
�
l
."E d � = 0 , �ą h 0
2 3 4 5 2 4 2 2 4 4
� + � + � + � = � + � = � + � + � + �
� � � � � � � N � � �
E d l E d l E d l E d l E d l E d l E d l Et1 d l EN d l Et2 d l =ż
+" +" +" +" +" +" +" +" +" +"
1 2 3 4 1 3 1 1 3 3
2 4
� + � �!
� �
= Et1 d l Et2 d l Et2�ą l- Et1�ą l= 0 �! E-t2-Et1= 0
+" +"
1 3
10. Równanie falowe (wyprowadzić), jednorodna fala płaska- zapis i struktura (rysunek).
Założenia:
1) przestrzeń jest nie ograniczona,
2) ośrodek jest jednorodny (�, ź, �= const),
3) brak ładunków oraz prądów wywołanych ruchem tych ładunków.
Z równań Maxwella:
�
"�"� 0
E=
�
�
"�"H = 0
�
�
"�"D= 0
�! �
� �
"�E = - j ź � H
�
"�"� 0
B=
�
�
"� E
�
� � �
"�H = j� � E , H =
sk
- j ź �
� �
� �
"�"�E= - j ź ��"j � � E
sk
2
� �
�
"�"�� � � E = 0
E-ź
sk
� � � �
�
"�"�� �ą E-"("�"�
E= E)
2
� �
�ą E +� ź� E= 0
sk
2 2
ł = -� ź �
2 sk
{ � � }
�ą H +� ź� H = 0
sk
2
� �
�ą E -ł E= 0
(Równanie falowe Helmholtz)
2
{ }
� �
�ą H -ł H = 0
Jednorodna fala płaska:
ł - wektor propagacji,
�
�
(ą  współczynnik tłumienia, �  współczynnik fazy)
ł = ą + j �
� �
ł �
� � me-� r e- j � t
E= E
� � m � �
H = H e-ł r e- j� t
ą = uą�"ą , uą = u� = u - kierunek propagacji
� � � �
� = u��"� , ł = ł�"u
�
� �
�
1
ą r r
�
E= E e-� � e- j � � , [ą ] = [� ] =
m
[ ]
m
�
�
n= iy
�
E= E� mz e-ą r cos(� t-� r)iz
�
H = H e-ą r cos(� t-� r)ix
ux
�
�
"�"E= 0
�
� �
"�"E= -ł�"� 0 �! ł Ą"E
� E= �
�
� � �
"�"H = -ł�"H = 0 �! ł Ą" H
� �
�
E Ą"n
�
Fala poprzeczna
{� }
H Ą"n
�
12. Propagacja fali płaskiej w różnych ośrodkach (dielektryk bezstratny, dielektryk stratny,
przewodnik). Jak ośrodek wpływa na parametry fali.
Propagacja fali w różnych ośrodkach:
�
ą=
"
"
"� źw 0,5( 1+a2-1)
w
c
�
� =
"
"
"� źw 0,5( 1+a2+1)
w
c
� 2 Ą � 1
a= ,  = , v = , � =
f
ą
� � � � �
0 w
  długość fali; v  prędkość falowa; �  głębokość wnikania;
f
próżnia:
c
v = c , 0= , � =" , Z = 120 Ą , Ć = 0
f fo 0
f
dielektryk bezstratny:
0
c 1
v = ,  = , � = , Z f f fbeastr 0 f
ą
� �
" "
w w
dielektryk stratny:
1
v f fstr. str. f fstr. 0 f
ą
przewodnik rzeczywisty:
�
a= k"1 , ąH"�
� � �
0 w
1 1
ą= � = 0,5� ź� , � = = (dlaC )
"
n
ą
0,5� ź �
"
v
�
f
v = ,  = ,  j"0
f
� f
13. Odbicie i załamanie fali płaskiej na
granicy dwóch ośrodków. Wzory
Fresnella. Współczynniki energetyczne.
Kąt Brewstera. Całkowite wewnętrzne
odbicie.
Założenia:
1) fala monochromatyczna i
jednorodna;
2) granica jest nieruchoma;
3) fala pada od strony dielektryka
bezstratnego;
4) oba ośrodki są liniowe,
jednorodne i izotropowe.
Et2= Et1 , DN2-DN1= �
q
W = Pt+Rt , � E = � E
t w2 N2 w1 N1
Pt exp( j� t-ł x-ł y )+Rt exp( j � t-ł x-ł y)= W exp( j�w z-ł x-ł y)
p px py w wx wy t wx wy
Wzory Fresnela:
Er %"
tg(Ś -Ś )
1 2
� = =
E %"
E tg(Ś +Ś )
p %" 1 2
E sin(Ś -Ś )
r Ą" 1 2
� = = -
E Ą"
E sin(Ś +Ś )
p Ą" 1 2
2 cosŚ sinŚ
1 2
H =
E %"
sin(Ś +Ś )cos(Ś -Ś )
1 2 1 2
2 cosŚ sinŚ
1 2
H =
E Ą"
sin(Ś +Ś )
1 2
Współczynniki energetyczne:
2
1-n
Ra" #"� #"2 , T a" 1-R , Ra"
E
#" #"
1+n
Kąt Brewstera:
tgŚ = n12
1Br
100% fali spolaryzowanej wnika do ośrodka drugiego.
Całkowite wewnętrzne odbicie, to zjawisko polegające na tym, że światło padające na granice od
strony ośrodka o wyższym współczynniku załamania, pod kątem większym niż kąt graniczny, nie
przechodzi do drugiego ośrodka, lecz ulega całkowitemu odbiciu ( pryzmaty, światłowody).
14. Potencjały elektrodynamiczne. Potencjał opóz
niony skalarny i wektorowy. Wektor Hertza.
Potencjał elektrodynamiczny:
-�
v
�
E= -grad Ś , "2Ś =
�
0
Potencjały opóz
nione (skalarny i wektorowy):
�
d A
� � �
E= -grad Ś - , B= rot A
dt
r
� (x0 , y0 , z0 , t- )
1 v
Ś( x , y , z , t)= dV
+"
Ą � r
V
r
� ( x0 , y0 , z0 ,t- )
y
1 v
{ }
A(x , y , z ,t )= dV
+"
4 Ą r
V
Wektor Hertza:
� �
E= rot rot e
� �
{ }
H = j� � rot e
�

Zastosowanie elektrycznego wektora Hertza pozwala na wyrażenie
e
� � �
potencjałów Ś i A w funkcji tego wektora oraz natężeń pól E i H .
15. Dipol elementarny. Charakterystyki promieniowania w polu dalekim i bliskim. Opór
promieniowania.
y
ródło elementarne:
a) rozpatrujemy pola w odległościach >> od rozmiarów z
ródła, tzn. l<b) wymiary z
ródła są <<  (nie ma przesunięć fazowych w obrębie z
ródła)
y
ródło elementarne można więc uważać za punktowe z
ródło pola.
Elementarny oscylator (wibrator lub dipol) 
1 j
I = j � q�! q= I = - I
dla przebiegów harmonicznych o pulsacji �:
j � �
j
� - moment elektryczny odcinka o długości l, w którym płynie
p= q�"� = - I l
l
�
�
prąd przemienny o natężeniu I.
Wartość (chwilowa) natężenia prądu w każdym punkcie oscylatora elementarnego jest taka sama.
2 Ą r
- j

ź e
- potencjał wektorowy oscylatora elementarnego (w ośrodku �, ź=const �=0)
� �
A= I l
4Ą r
2 Ą r
- j

�
I l e
�
 = - j
e
4Ą � � r
2 Ą r
- j

2IlcosŚ e 2 Ą r
Er= - j 1+ j
( )

4 Ą � � r3
2 Ą r
- j
2

2IlsinŚ e 2 Ą r 2 Ą r
EŚ= - j 1+ j -
( )
( )
 
4Ą � � r3
EĆ= 0
Linie pola H tworzą koła koncentryczne z osią oscylatora, linie równoleżnikowe. Linie
wektora E leżą w płaszczyznach południkowych.
- Pole elektromagnetyczne w małych odległościach od oscylatora:
2 2 Ą r
- j
2 Ą r 2 Ą r

j" j"1 , e = 1
( )
 
IlsinŚ
H = 0 , HŚ = 0 , H =
r Ć
4 Ą � r2
2IlcosŚ 2pcosŚ
Er= - j =
4 Ą � � r3 4 Ą � r3
IlsinŚ psinŚ
EŚ= - j =
4Ą � � r3 4 Ą � r3
EĆ= 0
Pole elektrostatyczne oscylatora jest w małej odległości identyczne z polem dipola
elektrostatycznego (ale jest to znowu pole pulsujące). Pole H i E są w obszarze bliskim
kwazistacjonarne.
- Pole elektromagnetyczne w dużych odległościach od oscylatora elementarnego.
2
2 Ą r
2 Ą r 2 Ą r
k" k"1 - można pominąć człony z niskimi potęgami
( )

 
2Ą r
- j

1 IlsinŚ e
H = 0 , HŚ= 0 , H = j �"
r Ć
2  r
 pole elektryczne i magnetyczne są współfazowe
 pole E jest prostopadłe do H.
EŚ
= Z

HĆ f
Opór promieniowania  jest to taki opór zastępczy, w którym po dołączeniu do z
ródła
zasilającego oscylator (antenę) wydziela się moc równa mocy promieniowanej przez
oscylator (antenę).
2
1
2
R = 80 Ą - opór promieniowania oscylatora elementarnego w wolnej przestrzeni.
pr
( )

16. Falowody. Fale typu TE i TM. Częstotliwość graniczna. Mody. Rozpływ linii sił pola i
prądów dla modu podstawowego. Szczeliny w falowodach.
Falowód jest pustą rurą metalową nie mającą przewodnika wewnętrznego. Przekroje poprzeczne
falowodów mogą mieć różne kształty, od prostokątów i okręgów do bardziej skomplikowanych.
Stosuje się także pełne rury z dielektryka. Stosowanie falowodów jest charakterystyczne dla
techniki mikrofalowej (fale centymetrowe i milimetrowe).
Poprzeczna fala elektryczna TE (H): (tylko pole elektryczne ma składową podłużną)
EZ= 0 , H `" 0
Z
Poprzeczna fala magnetyczna TM:
EZ`" 0 , H = 0
Z
Mod jest charakterystycznym rozkładem pola elektromagnetycznego odpowiadającym danemu
kątowi rozchodzenia się fal w falowodzie. Mody dzieli się na:
-TE{ Ey, Hz, Hx } (Transverse Electric) - mody których natężenie pole elektrycznego w kierunku
rozchodzenia się jest zerowa.
-TM{ Hy, Ez, Ex } (Transverse Magnetic) - mody których indukcja magnetyczna w kierunku
rozchodzenia się jest zerowa.
-TEM (Transverse ElectroMagnetic) - mody których natężenie pola elektrycznego i indukcja
magnetyczna wzdłuż kierunku rozchodzenia jest zerowa.
-Hybrydowe - mody nie spełniające powyższych warunków.
Częstotliwością graniczną (krytyczną) f nazywamy taką częstotliwość, dla której wyrażenie
gr
pod pierwiastkiem (a tym samym ł ) jest równe zeru.
Z
2 2
1 m n
f = +
gr
a b
2 � ź
" "( ) ( )
Częstotliwość graniczna zależy od rozmiarów falowodu (a, b) jak również od rodzaju fali (m, n).
2 2
v m n
Można też uprościć zapis:
f = +
gr
2 a b
"( ) ( )
v 2
 = =
gr
2 2
f
gr
Tym samym długość fali wynosi:
m n
+
( ) ( )
a b
"
Rozkład pola magnetycznego dla kilku rodzajów:
E E E
01 10 11
E E E
02 20 12
Szczelina typu A  równoległa do linii prądów powierzchniowych, nieco ten rozpływ zakłóca,
mało  gdy wąska nie powoduje zmian w przepływie energii wewnątrz falowodu, szczeliny
pomiarowe  sondy,
Szczelina typu B  przecinają linie prądu, brzegi szczeliny ładują się, w szczelinie powstaje
� �
J� d
pole , prąd przesunięcia , pole - szczelina wypromieniowuje energię.
E H
Wykorzystanie  anteny falowodowe, sprzęganie dwóch falowodów.