1) Pierścień Z/Z5 jest izomorficzny z :

Na) Z

Nb) Z5

Tc) z żadnym z nich

2) Załóżmy, że P jest pierścieniem z właściwymi dzielnikami zera.

Wówczas każdy wielomian F є P[X]stopnia n ma w P:

Na) dokładnie n pierwiastków

Nb) co najmniej n pierwiastków

Nc) co najwyżej n pierwiastków

3) Załóżmy, że liczby k, n takie, że 0<k<n są względnie pierwsze. Wówczas:

Ta) k jest generatorem grupy cyklicznej Zn

Nb) k jest generatorem grupy φ(n), jeśli jest cykliczna

Tc) k jest odwracalny w pierścieniu Zn

4) Niech φ: Q-> P będzie epimorfizmem pierścienia Q na pierścień P. Wówczas:

Ta) φ[Q] jest ciałem

Nb) φ[Q] może być izomorficzne z Z

Nc) φ[Q] może być izomorficzne z Z2

5) Dzielnikiem normalnym grupy G jest:

Ta) każda jej podgrupa przemienna

Tb) każda jej podgrupa jeśli G jest przemienna

Nc) każda jej podgrupa skończona

6) Niech G będzie grupą macierzy kwadratowej o wyznaczniku różnym od

zera, a H podgrupą macierzy o wyznaczniku dodatnim. Wówczas G/H jest

izomorficzne z:

Na) R+

Nb) R*

Tc) Z2

7) Niech podzbiór H grupy G będzie jądrem pewnego homomorfizmu:

Na) H skończonym

Tb) H jest podgrupą G

Tc) H jest dzielnikiem normalnym G

8) Załóżmy, że P jest pierścieniem całkowitym. Wówczas każdy

wielomian F є P[X] stopnia n ma w P:

Na) dokładnie n pierwiastków

Nb) co najmniej n pierwiastków

Tc) co najwyżej n pierwiastków

9) Podzbiór grupy zamknięty ze względu na działanie grupowe jest jej

podgrupą, jeśli:

Ta) podzbiór jest skończony

Tb) grupa jest skończona

Nc) grupa jest przemienna

10) Załóżmy, że ideał I pierścienia P przemiennego z 1 jest pierwszy. Wówczas:

Ta) I jest maksymalny

Tb) P/I jest ciałem

Tc) P/I nie ma właściwych dzielników zera

1.

Funkcja f w pierścieniu R^[1,0] jest dzielnikiem zera, wystarczy wziąć

jakąś funkcję g która jest zerem wszędzie poza x=1/2, taką że g(1/2)

nie jest zerem. Wtedy g nie jest zerem, f nie jest zerem, a f*g tak -

czyli f i g są dzielnikami właściwymi zera.

W C[0,1] już się tak nie uda, bo żeby f*h było zerem, to funkcja h

musi mieć wartość zero we wszystkich punktach, gdzie f ma wartość

niezerową. Czyli dla całego [0,1] za wyjątkiem punktu 1/2 funkcja h

musi przyjmować wartość zero. A że h musi należeć do C[0,1], i w

sąsiedztwie punktu 1/2 jest zerem... no to w punkcie 1/2 też musi być

zerem. Doszliśmy do wniosku, że h jest zerem, a przecież wyszliśmy z

założenia że f*h jest zerem (poza tym h było "dowolne"). Zatem nie

istnieje taka funkcja należąca do C[0,1], która spełniając warunek

"f*h jest zerem" sama nie byłaby zerem. Zatem f nie jest dzielnikiem

zera w C[0,1].

Odwracalność, hmm, oh shit, czy ja czasem na kolokwium nie zapomniałem

zrobić odwracalności? W każdym razie nie, f nie jest odwracalne,

dzielenie przez 0 źle się kończy, szukanie liczby która pomnożona

przez 0 da w wyniku 1 też jest złym pomysłem, a to właśnie stanie się

dla obu tych pierścieni w punkcie 1/2, gdy będziemy próbowali odwrócić

f.

2.

Ajj ciężko. Hmm. no wykazałem jakoś, że J jest ideałem... A no tak,

jest J jest zamknięte ze względu na dodawanie (jak dodamy do siebie

dwa wielomiany, które w jedynce mają wartość zero, to wyjdzie

wielomian który też w jedynce ma wartość zero), więc mamy podgrupę

addytywną. I jak pomnożymy wielomian należący do J z dowolnym

wielomianem nad R to iloczyn będzie miał w jedynce wartość zero

(znaczy, zero razy coś ;-P). Czyli ideał jak się patrzy.

A jak teraz sobie myślę to nie wiem czy potrzebnie to wykazywałem. W

każdym razie, fajny ideał i od razu widać na jakie warstwy podzieli

nam się R[x]. Otóż do jednej warstwy będą należały takie dwa

wielomiany, które mają tą samą wartość w jedynce (a zatem ich różnica

będzie należała do J). Czyli wartość jaką przyjmuje dany wielomian w

jedynce determinuje przynależność do określonej klasy abstrakcji. No a

wartość wielomianu z R[x] w jedynce to... liczba rzeczywista :-).

Dowolna. Stąd istnienie izomorfizmu R[x]/J (czyli zbioru warstw z

działaniami jak na wielomianach) na R - bo działania na wielomianach

sprowadzają nam się tutaj do działań na wartościach w jedynce, co jest

wprost równoważne działaniom na liczbach rzeczywistych. W skrócie -

dla warstwy będącej elementem pierścienia ilorazowego R[x]/J wybieramy

(wspólną dla całej warstwy) wartość wszystkich wielomianów należących

do warstwy w jedynce, wynikiem jest liczba rzeczywista, tak opisane

przekształcenie to działający izomorfizm, voila.

a) Skoro dwa wielomiany z R[x] pomnożone przez siebie mają tą

własność, że wartość iloczynu w jedynce to zero, to któryś z nich w

jedynce miał wartość zero. Czyli iloczyn dwóch wielomianów należy do J

wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich należy do J. A to jest

równoważne definicji ideału pierwszego.

b) Nie wiem, Jarek i Marek chyba mówili, że chyba wyszło że tak.

Trzeba wykazać że nie istnieje taki ideał J' że:

J należy do J', J' należy do P, ale J' nie jest równe J ani

J' nie jest równe P.

c) Co to jest ideał główny? Podczas kolokwium nie wiedziałem i nadal

nie wiem, musiałbym doczytać :-).

3.

Nie widzę jak tu mogę merytorycznie pomóc (pomijając już że dzielić

Hornerem jak nie umiałem na kolokwium, tak nadal nie umiem, bo nie

uczyłem się przecież od tego czasu... na kolokwium stworzyłem coś

nietypowego i jestem bardzo ciekawy jak mi to Bartoszewicz ocenił...

nie polecam mnie naśladować).