$
#
Prędkość kątowa jako wektor
g
u
Skalarnie
r�
i
w�
d
r�
v =� w� ��r
{
r
C
r�
1
v
Wektorowo
D
r�
r� r�
C
v =� w� �� r
B
0
śruba prawoskrętna
3
8
Prędkość kątowa jest wektorem, który ma kierunek osi obrotu i
-
zwrot określony regułą śruby prawoskrętnej
E
3
D
Przyspieszenie dośrodkowe z definicji
wektorowej przyspieszenia
r� r�
r� dv d r� r� r� dr r� r�
a =� =� w� �� r =� w� �� =� w� ��v
(� )�
dt dt dt
r�
w�
Wektor w� = constans, dlatego
r�
nie podlega różniczkowaniu.
v
r� r� r�
Ć
ar =� w� ��v =� w�v(-�r)
Kinematyka w
czasoprzestrzeni Galileusza i
Newtona
Czas i przestrzeń
Czas i przestrzeń  dwa niezależne od
siebie byty (własności świata)
" przestrzeń  nieskończony pojemnik na materię,
trójwymiarowa niezmienna pustka, w której
obowiązuje geometria Euklidesa
" czas  absolutny, jednakowy dla wszystkich,
niezależny od czegokolwiek
Absolute, true, and mathematical
time...flows at a constant rate
without relation to anything
external... Absolute
space...without relation to
anything external, remains always
similar and immovable.
Isaac Newton (tr. Andrew Motte)
Sir Isaac Newton
(1643 -1727)
Galileusz i względność ruchu
W XVII wieku Galileusz odkrył, że
jednostajny ruch prostoliniowy jest
fizycznie nieodróżnialny od
spoczynku.
Nie ma żadnego sposobu, aby
posługując się lokalnymi
pomiarami stwierdzić, czy ciało
Galileo Galilei
spoczywa, czy porusza się ze stałą
1564-1642
prędkością.
Pojęcie absolutnego spoczynku nie
ma sensu
 Zamknijcie się z przyjacielem w obszernym pomieszczeniu pod
pokładem wielkiego okrętu, zabierzcie ze sobą muchy, motyle i inne
podobne latające stworzenia, wez
cie również spore naczynie z wodą, w
którym pływają rybki, i powieście pod pułapem jakieś wiaderko, z
którego kropla po kropli spadać będzie woda w otwór innego naczynia,
podstawionego u dołu. Gdy okręt jeszcze stoi przypatrujcie się
uważnie, jak skrzydlate stworzenia latają w różne strony kajuty. Rybki
również będą pływały bez żadnej dostrzegalnej różnicy we wszystkich
kierunkach, a kapiące krople spadać będą do podstawionego naczynia.
(...) Dobrze przypatrzcie się tym wszystkim rzeczom (...) Niech
następnie okręt porusza się z dowolną prędkością,: o ile ruch ten
będzie równomierny i nie będzie podlegał kołysaniu tam i z powrotem,
nie zobaczycie wówczas najmniejszej zmiany we wszystkich wyżej
wspomnianych zjawiskach i nie zdołacie na podstawie żadnego z nich
wywnioskować, czy okręt płynie czy też jeszcze stoi nieruchomo.
 Dialog o dwu najważniejszych systemach świata 1632
Zasada względności Galileusza
Prawa mechaniki są takie same w
każdym inercjalnym układzie
odniesienia (IUO)
Co to jest inercjalny układ
odniesienia (IUO) ?
IUO to taki UO, w którym cząstka pozostająca
początkowo w spoczynku dalej pozostaje w spoczynku,
a cząstka będąca początkowo w ruchu kontynuuje ruch
bez zmiany wektora prędkości (ruch jednostajny,
prostoliniowy). Twierdzimy wtedy, że na cząstkę nie
działa żadna niezrównoważona siła.
Jest to sformułowanie I zasady dynamiki Newtona, która w
istocie postuluje istnieje IUO.
Dwa IUO, współrzędne zdarzenia
Niech dwa inercjalne układy O i O poruszają się względem siebie
wzdłuż osi  x z prędkością v (peron i wagon kolejowy). W t = t = 0
początki układów O i O pokrywają się. W wagonie w chwili t zapala
się żarówka w punkcie (x ,y ,z ). Obserwatorzy mierzą współrzędne
tego zdarzenia. Jakie współrzędne zmierzy obserwator w O ?
y
y
x
t
v = const.
t
x0 =� vt
ó�
x
��
x = x
z
z
Wzory transformacji Galileusza
Zapis macierzowy
ó� ó�
�
x =�1�� x +� v ��t
x 1 v x
ć� �� ć� �� ć�
=�
�� �� ��0 1������ tó� ��
ó� ó� t
t =� 0�� x +�1��t
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
W drugą stronę
ó��� ć�
x 1 -�v x
ć� �� ć� ��
ó�
x =� x -� v ��t
=�
�� �� ��0 1 ������ ��
ó�
t t
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
ó�
t =� 0�� x +�1��t
Dodawanie prędkości zgodnie z
transformacją Galileusza
Żarówka w wagonie zaczyna się poruszać z prędkością
v wzdłuż osi  x
ó�
w =� v +� v
Brak ograniczenia prędkości
O
y
y
O
c
x
x
Zgodnie z transformacją Galileusza prędkość błysku światła
względem peronu (układu O) jest
w =� v +� c >� c
Jest to wynik sprzeczny z doświadczeniem.
Prędkość c jako stała przyrody
W przyrodzie istnieje uniwersalna, graniczna prędkość
na przekaz sygnału  prędkość światła w próżni c.
c � 3��108m / s
Wniosek: transformacja Galileusza jest błędna
Stanowi bardzo dobre przybliżenie dla małych
prędkości (v<Postulaty Einsteina
W poszukiwaniu właściwej
transformacji Einstein przyjął
dwa założenia:
" zasadę względności (w wersji
silniejszej niż u Galileusza)
Albert Einstein
" postulat stałości prędkości
(1879  1955)
światła
Zasada względności:
Wszystkie prawa fizyki są takie same w każdym
inercjalnym układzie odniesienia.
Uniwersalna prędkość światła
Prędkość światła c jest taka sama w każdym
układzie inercjalnym. Nie zależy od ruchu
z
ródła i obserwatora.
Założenie o stałości prędkości światła jest sprzeczne z mechaniką
Galileusza-Newtona i sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem.
Założenie c = constans zostało potwierdzone doświadczalnie w
wielu pomiarach.
c + v =?
c
światło
c - v =?
c
światło
Krach równoczesności
Postulat c = constans prowadzi natychmiast do wniosku, że
zdarzenia zachodzące równocześnie dla jednego obserwatora nie
będą zwykle równoczesne dla drugiego.
Lampa umieszczona dokładnie w
połowie długości wagonu
poruszającego się z prędkością v
wysyła jednocześnie dwa impulsy
światła biegnące w przeciwne
strony
Dla obserwatora O w wagonie
impulsy docierają w tej samej chwili
do detektorów D1 i D2  zdarzenia
równoczesne
Dla obserwatora O na peronie
najpierw impuls dociera do D1
(impuls w lewo ma krótszą drogę,
ponieważ D1 porusza się
naprzeciw), potem do D2 
zdarzenia nierównoczesne
Idea Einsteina
Czas i przestrzeń uznać za matematycznie równoważne
v
b� =�
Galileusz Einstein
c
ó� ó�
x 1 b� x x 1 b� x
ć� �� ć� �� ć� �� ć� �� ć� �� ć� ��
=� =� g�
��ct �� ��0 1 ������ ��ct �� �� ������
� �
ct b� 1 ct
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
ó� ó�
x 1 -�b� x x 1 -�b� x
ć� �� ć� �� ć� �� ć� �� ć� �� ć� ��
=� =� g�
��ct� ��0 ������ct �� ��ct� �� ������ct ��
1 -�b� 1
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
Transformacja asymetryczna Transformacja symetryczna
Współczynnik gamma
Jak znalez
ć współczynnik g� ?
Pomysł: stosując transformacje z układu O do O a następnie
z powrotem z O do O musimy wrócić do tych samych
współrzędnych
Rozważmy na przykład współrzędną x
ó�
x =� g� x -�g�b�ct
ó� ó�
x =� g� x +� g�b�ct
ó�
ct =� -�g�b� x +� g� ct
1
g� =�
skąd
2
1-� b�
Transformacja Lorentza
1
ó�
x 1 b� x
ć� �� ć� �� ć� ��
g� =�
=� g�
2
�� �� �� ������ct�
1-� b�
ct b� 1
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
Dla małych prędkości: b� � 0
ó� ó�
x =� g� x +� g� vt
czynnik g� � 1 i transformacja
Lorentza przechodzi w
v
ó� ó�
t =� g� x +� g� t
transformację Galileusza
c2
Relatywistyczne dodawanie prędkości
Ze wzorów transformacyjnych Lorentza wynika następujący
wzór na dodawanie prędkości:
ó� ó�
x =� g� x +� g� vt
ó� ó�
g� x +� vt
ó�
x (� )� v +� v
w =� =� =�
v ó�
vv
v
t ć�
ó� ó�
t =� g� x +� g� t 1+�
ó� ó���
g� x +� t
�� ��
c2
c2
c2
Ł� ł�
Teraz zawsze w < c, a w szczególności gdy jedna z prędkości = c,
wtedy także w = c. Dla prędkości v,v << c wzór relatywistyczny
przechodzi w formułę Galileusza w = v + v
Koniec absolutnego czasu
Z transformacji Lorentza wynika, że jeśli dwa
układy poruszają się względem siebie to:
ó�
t ą� t
Wniosek: nie ma absolutnego czasu, każdy obserwator
niesie swój własny zegar odmierzający jego własny
czas