1. Zdefiniuj pojęcie systemu
System jest pewną całością, w której współdziałają wyodrębnione części składowe.
Funkcjonowanie systemu zależy od funkcji części składowych i związków między nimi. Powiązanie części
składowych systemu określają strukturę systemu.
Otoczenie oddziałuje na system za pośrednictwem wielkości wejściowych, a system oddziałuje
zwrotnie na otoczenie za pośrednictwem wielkości wyjściowych.
Idea: wyodrębienia systemu z otoczenia (wybranie istotnych zależności między systemem, a
otoczeniem), budowy systemu z elementów (podsystemów), funkcji spełnianej przez system oraz
ograniczonej zmienności w czasie.
OTOCZENIE
WY
WE
SYSTEM
2. Opisz zadanie modelowania systemów
Modelem systemu jest jego precyzyjny formlany opis, w którym występują określone wielkości,
parametry i symbole.
Cele budowy modelu:
" opis i wyjaśnienie działania mechanizmu systemu  model fenomenologiczny,
" przewidywanie zachowania się systemu w przyszłości i przy różnych warunkach
oddziaływania na system  model prognostyczny,
" wybór właściwych oddziaływań wejściowych spełniających określone warunki  model
decyzyjny (w szczególności wybór optymalny),
" wybór struktury lub parametrów systemu spełniającego określone zadania  model
normatywny.
Modelem matematycznym systemu jest zestaw wzorów matematycznych określających zależności
pomiędzy wyróżnionymi wielkościami. Są to wielkości wejściowe i wyjściowe, a system taki nazywamy
względnie odosobnionym. W pojęciach wejście-wyjście zawarte jest domniemanie o związku przyczynowo-
skutkowym między tymi wielkościami  znając wejście można określić jakie będzie wyjście.
Etapy modelowania matematycznego:
" sformułowanie celów modelowania,
" wybór kategorii modelu i określenie jego struktury,
" identyfikacja,
" algorytmizacja obliczeń,
" weryfikacka.
Model matematyczny tworzymy:
" na podstawie pełnej znajomości zjawisk w poszczgólnych obiektach i ich powiązań między
sobą i z urządzeniami sterującymi ustala się zależności między sygnałami występującymi w
układzie,
" na podstawie częściowej znajomości zjawisk w składowych obiektach i struktury układu
formułuje suę wstępnie związki między sygnałami; następnie koryguje się te zależności na
podstawie wyników uzyskanych eksperymentalnie,
" w przypadku niepełnej informacji a priori o układzie lub braku taj informacji otrzymuje
się doświadczalnie określone dane i po odpowienim ich przetworzeniu tworzy model
matematyczny.
Weryfikacja modelu to porównanie wyników modelowania z zachowaniem się systemu
rzeczywistego z punktem widzenia zgodności z wiedzą teoretyczna oraz badaniami empirycznymi.
Kryteria wewnętrzne: zgodność formalna, zgodność algorytmiczna.
Kryteria zewnętrzne: zgodność heurystyczna, zgodność pragmatyczna (zgodność replikatywna,
predytktywna, strukturalna).
3. Sformułuj zadanie identyfikacji
Identyfikacja polega na:
" wyznaczeniu modelu systemu na podstawie badań eksperymentalnych,
" określaniu własności modelu, o jakie nam chodzi,
" wybraniu kryterium modelu i najlepszego modelu spełniającego to kryterium,
" znalezieniu algorytmu identyfikacji, czyli wyznaczenie takiej wartości parametru a, dla
której model będzie najdokładniej przybliżał rzeczywisty obiekt w sensie określonego
wskaz
nika jakości.
Wyróżniamy identyfikację bierną (na podstawie obserwacji i spostrzeżeń) i aktywną
( nastawienie określonych wartości x i obserwacji rezultatów y).
4. Sformułuj zadanie rozpoznawania
Rozpoznawanie to przypisanie obiektu do określonej klasy na podstawie wyników pomiaru
wielkości (cech obiektu) istotnych dla klasyfikacji. Rozpoznawany obiekt jest reprezentowany wektorem
cech, tj. zestawem liczbowych wyników pomiarów: x = [x , x , ..., x ], a formalizacja rozpoznawania
1 2 n
polega na ustaleniu algorytmu rozpoznawania i = ¨(x), i i"{1, 2, ... , M } = m , gdzie i jest numerem
określającym wynik rozpoznawania, natomiast M liczbą rozpatrywanych klas.
Algorytm rozpoznawania najwygodniej przedstawić w następującej postaci:
¨(x) = i gdy g (x) > g (x), l "m l `" i
i l
gdzie g (x) sÄ… tzw. funkcjami klasyfikujÄ…cymi.
i
Schemat systemu rozpoznawania:
obiekt -> pomiar wybranych cech -> klasyfikator -> numer klasy
Przykładowo, mamy dany model i wektor X go opisujący. Mamy również zbiór funkcji G(x).
Podstawiając do każdej funkcji decyzyjnej X otrzymany pewną wartość. Spośród tak uzyskanych wartości
wybieramy tą, która jest największa. Jest to numer klasy, do której należy dany model.
X = [0, 1],
g (x) = -X + X = 1, g = X + X  1 = 0, g = 2*X = 2
1 0 1 2 0 1 3 1
5. Opisz zadanie analizy dla układu statycznego
Analiza oznacza badanie zachowania się systemu o znanym modelu i wartościach parametrów oraz
przyjętych wartościach wielkości działających na system z zewnątrz (ogólniej  przyjętych funkcjach czasu
określających przebiegi czasowe tych wielkości). Jest to zatem wyznacznie i badanie reakcji (odpowiedzi)
systemu na oddziaływania (wymuszenia, zaburzenia) z zewnątrz.
Rozróżniamy dwa rodzaje analizy:
" analiza ilościowa  polega na wyznaczeniu wartości interesujących nas wielkości lub
wskaz
ników jakości charakteryzujących system; ogólnie dla obiektu statycznego y = F(x)
typowe zadanie analizy polega na znalezieniu wartości wyjść y dla danych wartości wejść
x,
"' PrzykÅ‚adowo, mamy proces opisany równaniem a1 dy ƒÄ…a2 y śąt źą= xśątźą a ,a >0 i
1 2
dy
chcemy podać wyznaczenie takiego momentu T, w którym y(T) osiągnie zadaną
x
wartość. Należy więc znalez
ć wartość T spełniającą równanie c= śą1-e-%9łT źą ,
a
gdzie c jest zadaną wartością y(T).
" analiza jakośćiowa  polega na stwierdzeniu, czy system ma określone interesujące nas
właśnoći, np. czy dla x(t) = const odpowiedz
zmienia się w sposób oscylacyjny czy
aperiodyczny, jest rosnąca czy malejąca etc.; typowe zadanie analizy jakościowej polega
na stwierdzeniu, czy uklad jest stabilny (czy powraca do stanu równowagi po ustaniu
zaburzeń, które go z tego stanu wytrąciły),
6. Opisz zadanie syntezy dla układu statycznego
W pewnym sensie jest to zadanie odwrotne do zadania analizy. RealizujÄ…c syntezÄ™ systemu lub
tylko jego części należy mieć określone wymagania, które system ma spełniać, oraz ustalone sposoby ich
spełniania, jeśli jest to możliwe. Oznacza to, że trzeba wiedzieć, co można wybrać i wyznaczyć  czyli
jakie decyzje podejmować. Nie zawsze mają one charakter ilościowy i mogą być wyliczone.
Wymagania mogą być jakościowe (np. żeby system był stabilny) lub ilościowe, co oznacza, że
należy system zaprojektować tak, aby ustalone wielkości przyjęły zadane wartości lub ustalony wskaz
nik
jakości przyjął wartość największą lub najmniejszą z możliwych.
Może istnieć wiele decyzji spełniających postawione wymagania, ale również dla danych wymagań
może nie być żadnej decyzji.
Wyznaczanie decyzji na podstawie obserwacji nazywamy regułą decyzyjną.
7. Scharakteryzuj przyczyny własności dynamicznych obiektów
Właściwości dynamiczne systemów wynikają z działania następujących zasad fizycznych:
" przy ograniczonej wydajności z
ródeł każda nie nieskończenie mała zmiana stanu
energetycznego lub materialnego wymaga pewnego czasu (bezwładność = inercja),
" każde skończone przemieszczenie się w przestrzeni zjawiska materiałowego wymaga
pewnego czasu (opóz
nienie).
8. Omów na przykładzie opis za pomocą równania różniczkowego we-wy
Opis obiektu w postaci równania różniczkowego we-wy (n >= m)
n n-1 m m-1
d yśątźą d y śąt źą d u śąt źą d u śąt źą
an ƒÄ…an-1 ƒÄ…...ƒÄ…a0 y śąt źą=bm ƒÄ…bm-1 ƒÄ…...ƒÄ…b0 u śątźą
dt dt dt dt
Opis za pomocą równania różniczkowego we-wy można omówić na przykładzie czwórnika RL, w
którym sygnałem wejściowym jest U (t), a wyjściowym U (t).
we wy
Rozważany czwórnik opisują równania:
dI śąt źą
U (t) = R1 I śąt źąƒÄ…L ƒÄ… R2 I śąt źą
we
dt
U (t) = R I(t)
wy 2
Z powyższych równań wynika, że:
dI śąt źą
U (t) = R1 I śąt źąƒÄ…L ƒÄ…U śątźą
we
wy
dt
U śątźą
wy
I(t) =
R2
Z równania na Uwe(t) można teraz wyeliminować I(t):
R1 d U śątźą
wy
U (t) = U śąt źąƒÄ…L ƒÄ…U śą tźą
we
wy
R2 wy R2 dt
A stÄ…d:
R1 d U śąt źą
L
wy
U (t) = ƒÄ…1 U śątźąƒÄ…
we
śą źą
R2 wy R2 dt
9. Omów na przykładzie opis za pomocą transmitancji
Transmitancja operatorowa G(s) to stosunek y(s) (transformaty Laplace'a sygnału wejściowego) do
u(s) (transformaty Laplace's sygnałau wejściowego) przy wszystkich warunkach początkowych równych
zeru.
Opis za pomocą transmitancji można omówić na przykładzie czwórnika RL, w którym sygnałem
wejściowym jest U (t), a wyjściowym U (t).
we wy
Rozważany czwórnik opisują równania:
dI śąt źą
U (t) = R1 I śąt źąƒÄ…L ƒÄ…R2 I śątźą
we
dt
U (t) = R I(t)
wy 2
Związek między U (t) a U (t) (po wyrugowaniu I(t)) przedstawia poniższe równanie
we wy
R1 d U śąt źą
L
wy
U (t) = ƒÄ…1 U śątźąƒÄ…
we
śą źą
R2 wy R2 dt
Po wykonaniu transformacji Laplace'a przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych, otrzymujemy
R1
L
U (s) = ƒÄ…1 U śąsźąƒÄ… sU śąsźą
we
śą źą
R2 wy R2 wy
A stÄ…d transmitancja
U śą sźą R2
wy
G(s) = =
U śą sźą LsƒÄ…R1ƒÄ…R2
we
L
lub po wprowadzeniu stałej czasowej czwórnika T =
R1ƒÄ…R2 transmitancja
R2
G(s) =
śą źą
1ƒÄ…sT R1ƒÄ… R2
śą źą
10. Omów na przykładach odpowiedz
skokową prostych obiektów dynamicznych
Odpowiedz
skokowa h(t) to odpowiedz
jednowymiarowego układu liniowego na wymuszenie w
postaci jednostkowej funkcji skokowej 1(t) przy zerowych warunkach poczÄ…tkowych. Dobrze
charakteryzuje właściwości dynamiczne elementów, obiektów i układów.
śą sźą
h(t) = L-1 [ G ]
s
Odpowiedz
skokową można omówić na przykładzie czwórnika RL, w którym sygnałem wejściowym
jest U (t), a wyjściowym U (t).
we wy
Rozważany czwórnik opisują równania:
dI śąt źą
U (t) = R1 I śąt źąƒÄ…L ƒÄ…R2 I śątźą
we
dt
U (t) = R I(t)
wy 2
Związek między U (t) a U (t) (po wyrugowaniu I(t)) przedstawia poniższe równanie
we wy
R1 d U śąt źą
L
wy
U (t) = ƒÄ…1 U śątźąƒÄ…
we
śą źą
R2 wy R2 dt
A transmitancja
R2
G(s) =
śą źą
1ƒÄ…sT R1ƒÄ… R2
śą źą
StÄ…d:
-t
R2
śą sźą R2
T
śą źą
h(t) = L-1 [ G ] = L-1 [ ] =
1-e
śą źą
s s 1ƒÄ…sT R1ƒÄ…R2
śą źą R1ƒÄ…R2
Innym przykładem może być odpowiedz
jednostkowa nieobciążonego czwórnik RLC, w którym
sygnałem wejściowym jest U (t), a wyjściowym U (t). Rezystancja, indukcyjność i pojemność są tak
we wy
dobrane, aby przebieg h(t) był aperiodyczny.
Równania opisujące czwórnik:
11. Opisz obiekt proporcjonalny i inercyjny I-ego rzędu
Człon proporcjonalny charakteryzuje się tym, że w każdej chwili jego sygnał wyjściowy w(t) jest
proporcjonalny do sygnału wejściowego v(t)
w(t) = k v(t)
Transmitancja operatorowa dla tego członu: G(s) = k
Odpowiedz
jednostkowa: h(t) = k 1(t)
Odpowiedz
impulsowa: g(t) = k ´(t)
Przykład członu proporcjonalnego  czwórnik rezystancyjny:
W powyższym nieobciążonym czwórniku między U (t) a U (t) zachodzi związek
we wy
R2
U (t) = U śątźą
wy
R1ƒÄ…R2 we
Zatem przy założeniu stałych wartości rezystancji czwórnik ten jest członem proporcjonalnym o
współczynniku wzmocnienia
R2
k =
R1ƒÄ…R2
Człon inercyjny I-go rzędu jest opisany równaniem
dw śą tźą
T ƒÄ…w śąt źą=kvśą tźą
dt
w którym: T  stała czasowa, k  współczynnik wzmocnienia równy w elemencie inercyjnym I-ego
rzędu stosunkowi wartości ustalonej sygnału wyjściowego do wartości ustalonej sygnału wejściowego.
k
Transmitancja operatorowa: G(s) =
1ƒÄ…sT
-t
Odpowiedz
jednostkowa: h(t) = T
k śą1-e źą1śątźą
-t
k
T
Odpowiedz
impulsowa: g(t) =
e 1śą tźą
T
Przykładem tego członu jest nieobciążony czwórnik RC, dla którego po wyznaczeniu spadków
napięć na rezystancji R i pojemności C (przy zerowych warunkach początkowych) otrzymuje się równania
1
RI śąt źąƒÄ… I śąt źądt
U (t) =
we
+"
C
1
U (t) = I śąt źą dt
wy
+"
C
StÄ…d:
RI śąt źąƒÄ…U śąt źą
U (t) =
we
wy
d U śątźą
wy
I(t) =
C
dt
Czyli:
d U śątźą
wy
U (t) = , gdzie T = RC, a k = 1.
we RC ƒÄ…U śątźą
wy
dt
12. Opisz obiekt różniczkujący i różniczkujący z inercją
W członie różniczkującym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do pochodnej sygnału
wejściowego względem czasu
d vśątźą
w(t) = k
dt
Transmitancja operatorowa: G(s) = ks
Odpowiedz
jednostkowa: h(t) = k ´(t)
d ´śąt źą
Odpowiedz
impulsowa: g(t) = k
dt
Przykład członu różniczkującego to kondensator idealny. Przy pominięciu rezystancji i
indukcyjności przewodów, istnieję następująca zależność między U(t) a I(t)
d U śąt źą
I(t) = C
dt
Jeśli więc sygnałem wejściowym jest U(t), a wyjściowym I(t), to ozważany kondensator jest
członem różniczkującym.
Po uzględnieniu w członie różniczkującym indercji, otrzymujemy równanie członu
różniczkującego z inercją
d wśąt źą d vśątźą
T ƒÄ…w śąt źą=k
dt dt
w którym: T  stała czasowa, k  współczynnik wzmocnienia równy stosunkowi  w stanie ustalonym -
sygnału wyjściowego do pochodnej sygnału wejściowego.
ks
Transmitancja operatorowa: G(s) =
śą1ƒÄ…sT źą
k
Odpowiedz
jednostkowa: h(t) = e-t /T 1 śątźą
T
k k
´śą tźą- e-t / T 1śą t źą
Odpowiedz
impulsowa: g(t) =
2
T
T
Przykładem takiego członu może być nieobciążony czwórnik LR, dla którego po wyznaczeniu
napięć na rezystancji R i indukcyjności L (przy zerowych warunkach początkowych) otrzymuje się
równania
d I śąt źą
U (t) = RI śąt źąƒÄ…L
we
dt
d I śą tźą
U (t) = L
wy
dt
StÄ…d dostajemy
RI śąt źąƒÄ…U śąt źą
U (t) = (*)
we
wy
1 d I śąt źą
U śąt źą = (**)
wy
L dt
Różniczkując obustronnie równanie (*)
d U śąT źą d U śątźą
d I śąt źą
we wy
=R ƒÄ…
dt dt dt
Podstawiamy (**)
d U śąT źą d U śąt źą
R
we wy
= U śątźąƒÄ…
wy
dt L dt
A stÄ…d
d U śąT źą d U śąt źą
L
L L
we wy
, gdzie T =
=U śątźąƒÄ…
wy
R
R dt R dt
13. Opisz obiekt całkujący i całkujący z inercją
W członie całkującym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do całki sygnału wejściowego
w(t) = k śątźą dt
+"v
inaczej
d w śątźą
=kvśąt źą
dt
gdzie k  współczynnik wzmocnienia równy stosunkowi pochodnej sygnału wyjściowego do sygnału
wejściowego w stanie ustalony.
k
Transmitancja operatorowa: G(s) =
s
Odpowiedz
jednostkowa: h(t) = kt 1(t)
Odpowiedz
impulsowa: g(t) = k1(t)
Przykładem tego członu może być kondensator idealny w takim obwodzie jak na schemacie. Wtedy
zależność między I(t) dopływającym do kondensatora a U(t) na jego okładakach jest
1
U(t) = I śąt źądt
+"
C
Człon całkujący idealny z inercją charakteryzuje się tym, że na skutek jego bezwładności procesy
przebiegają w nim zgodnie z równaniem
d wśąt źą
T ƒÄ…w śąt źą=k v śątźą dt
+"
dt
inaczej
d2 w śątźą d wśąt źą=kv śąt źą
T ƒÄ…
dt dt
gdzie: k  współczynnik wzmocnienia równy stosunkowi pochodnej sygnału wyjściowego do sygnału
wejściowego w stanie ustalonym; T  stała czasowa charakteryzująca bezwładność procesów
przebiegających w członie całkującym z inercją.
ks
Transmitancja operatorowa: G(s) =
sśą1ƒÄ…sT źą
Odpowiedz
jednostkowa: h(t) =
[kt-kT śą 1-e-t /T źą]1śą t źą
Odpowiedz
impulsowa: g(t) =
k śą1-e-t / T źą1śą t źą
Przykładem takiego członu jest czwórnik RC, w którym sygnałem wejściowym jest I (t) płynący
1
przez C , a sygnałem wyjściowym U (t) na C . Warunki początkowe są zerowe; zakładamy, że czwórnik
1 wy 2
jest nieobciążony. Napięcia na C i C są wówczas następujące
1 2
1 1
I1śątźą dt=R I śątźąƒÄ… I śątźą dt
+" +"
2
C C2 2
1
1
I śątźą dt
U (t) = +"
wy
2
C
2
StÄ…d:
1
I1śąt źądt=R I śątźąƒÄ…U śątźą
+"
2 wy
C
1
d U śątźą
C2 wy =I2 śątźą
dt
Co daje
d U śątźą
1
1
I1śąt źądt=R C2 wy ƒÄ…U śąt źą , gdzie k = , T = RC
+" 2
wy
C
C dt
1
1
14. Opisz obiekt oscylacyjny oraz inercyjnym II-rzędu
Oscylacje mogą powstawać w takich elementach lub układach, w których zachodzi przemiana
energii jednego rodzaju w drugi.
Człon oscylacyjny opisany jest równaniem
2
d w śątźą d w śątźą
2
T ƒÄ…2Å› T ƒÄ…w śątźą=kvśątźą
0 0
dt
d t2
w którym: T  stała czasowa; ś  współczynnik tłumienia; k  współczynnik wzmocnienia równy stosunkowi
0
 w stanie ustalonym  sygnału wyjściowego do sygnału wejściowego.
k
Transmitancja operatorowa: G(s) =
2
T s2ƒÄ…2Å›T sƒÄ…1
0 0
-Å›
t
T
2 2
0
e 1-Å› 1-Å›
ćą ćą
Odpowiedz
skokowa: h(t) =
k [1- sinśą źąƒÄ…arctan śą źą]1 śąt źą
2
T Å›
0
1-Å›
ćą
-Å›
t
T
2
0
k e 1-Å›
ćą
Odpowiedz
impulsowa: g(t) =
sinśą źą t 1śąt źą
2
T
0
T 1-Å›
ćą
0
Przykładem takiego członu jest nieobciążony czwórnik RLC, dla którego mamy
d I śąt źą
1
U (t) = RI śąt źąƒÄ…L ƒÄ… I śątźą dt
we +"
dt C
1
I śąt źą dt
U (t) =
wy
+"
C
StÄ…d:
d I śąt źą
U (t) = RI śąt źąƒÄ…L ƒÄ…U śątźą
we
wy
dt
d U śątźą
wy
C =I śątźą
dt
Rugując I(t) z równania na U (t)
we
2
d U śątźą d U śątźą
wy wy
U (t) =
we RC ƒÄ…LC ƒÄ…U śąt źą
wy
dt
d t2
R C
gdzie: T = , Å› =
0 LC śą źą
ćą
2 L
ćą
Człon inercyjny II-ego rzędu opisany jest równaniem
2
d wśąt źąƒÄ…T d w śątźą
T T ƒÄ…w śątźą=kvśąt źą
1 2 1
dt
d t2
albo
d2 w śątźą d w śątźą
T T ƒÄ…śąT ƒÄ…T źą ƒÄ…w śątźą=kvśątźą
A B A B
dt
d t2
k k
Transmitancja operatorowa: G(s)= lub G(s) =
T1 T s2ƒÄ…T sƒÄ…1 T T s2ƒÄ…śąT ƒÄ…T źą sƒÄ…1
2 1 A B A B
Przykładem tego członu jest nieobciążony czwórnik RC. Przy zerowych warunkach początkowych
otrzymujemy
1
śą I1śąt źąƒÄ…I2 śąt źąźą R1ƒÄ… I1śątźą dt
U (t) = +"
we
C1
1
I śątźą dt
U (t) =
wy +"
2
C
2
1
I1śątźą dt=U śąt źąƒÄ…R2 I śątźą
+"
wy 2
C
1
Wyznaczamy I (t) i I (t)
1 2
d U śątźą
C2 wy =I śątźą
2
dt
2
d U śąt źą d I2śąt źą d U śątźą d U śątźą
I1śąt źą=C1 wy ƒÄ…C1 R2 =C1 wy ƒÄ…C1C2 R2 wy
dt dt dt
d t2
StÄ…d:
d U śątźą
1
I1śąt źądt=U śątźąƒÄ…R2C2 wy
+"
wy
C dt
1
2
d U śątźą d U śątźą d U śąt źą d U śątźą
U (t)=
we C1 R1 wy ƒÄ…C1C R1 R2 wy ƒÄ…C2 R1 wy ƒÄ…U śątźąƒÄ…R2 C2 wy
2 wy
dt dt dt
d t2
2
d U śątźą d U śąt źą
wy
=
C1C R1 R2 wy ƒÄ…śąC1 R1ƒÄ…C2 R1ƒÄ…C2 R2źą ƒÄ…U śątźą
2 wy
dt
d t2
15. Wyznacz transmitancję zastępczą dwóch obiektów połączonych szeregowo objętych
bezpośrednim ujemnym sprzężeniem zwrotnym
Transmitancja zastępcza:
" członów połączonych szeregowo: G (s) =
wyp Giśą sźą
"
G śą sźą
" układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym bezpośrdnim: G (s) =
wyp
1ƒÄ…Gśą sźą
StÄ…d:
G1śąsźąG2śą sźą
G (s) =
wyp
1ƒÄ…G1śą sźąG2 śąsźą
16. Wyznacz transmitancję zastępczą dwóch obiektów połączonych równolegle objętych
bezpośrednim sprzężeniem zwrotnym.
Transmitancja zastępcza:
" członów połączonych równolegle: G (s) = Gi śą sźą
wyp
"
G śą sźą
" układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym bezpośrdnim: G (s) =
wyp
1ƒÄ…Gśą sźą
StÄ…d:
G1śąsźąƒÄ…G2 śąsźą
G (s) =
wyp
1ƒÄ…G1śą sźąƒÄ…G2śą sźą
17. Przedstaw ogólny algorytm wyznaczania odpowiedzi układu dynamicznego (rozkład na ułamki
proste)
Lśą sźą
Załóżmy, że transformata odpowiedzi jest funkcją wymierną: Y(s) = .
M śąsźą
Po podzieleniu licznika i mianownik przez współczynnik przy najwyższej potędze s w mianowniku
dostajemy
bk skƒÄ…bk -1 sk-1ƒÄ…...ƒÄ…b1 sƒÄ…b0
Y(s) = , n > k
snƒÄ…an-1 sn-1ƒÄ…...ƒÄ…a1 sƒÄ…a0
Inaczej można to równanie zapisać jako
bk skƒÄ…bk -1 sk-1ƒÄ…...ƒÄ…b1 sƒÄ…b0
Y(s) = (*)
śą s-s1źąśą s-s2źą ...śą s-snźą
gdzie s ,s , ..., s to pierwiastki rzeczywiste M(s) lub parami sprzężone. Po rozłożeniu na ułamki proste
1 2 n
dostajemy
n
Ci
Y(s) =
"
i=1
s-si
Współczynniki C wyznacza się po sprowadzeniu sumy po prawej stronie wzoru do wspólnego
i
mianownika
C śąs-s2źąśąs-s3źą...śą s-snźąƒÄ…C śąs-s1źąśą s-s3źą ...śą s-snźąƒÄ…...ƒÄ…C śą s-s1źąśąs-s2źą...śą s-sn-1źą
1 2 n
Y(s) =
śą s-s1źąśą s-s2źą ...śąs-snźą
i przyrównaniu do siebie wyrazów przy odpowiednich potęgach s w licznikach powyższego wzoru oraz
wzoru (*).
Szukane współczynniki można również wyznaczyć korzystając z tego, że
Lśą sźą Lśą sźą
C = ress=s = lims Śąsi [ śą s-siźą]
i
i
M śąsźą M śąsźą
Ponieważ lim L(s) = L(s ) i lim M(s) = 0, więc
i
s-si
1
lims Śąsi =
M ' śą siźą
M śą sźą-M śąsiźą
Po uwzględnieniu, że wszystkie pierwiastki wielomianu M'(s) są pojedyncze, a więc M'(s ) `" 0,
i
dostajemy
L śą siźą
C = (**)
i
M ' śą siźą
Po wyznaczeniu C , i = 1, 2, ..., n znajdujemy odpowiedz
Y(t)
i
n
Ci
n
Y(t) = L-1 [ ] =
Ci et si
"
"
i=1
i=1
s-si
a po wprowadzeniu C ze wzoru (**)
i
n
Lśą siźą
Y(t) = et si (***)
"
i=1
M ' śą siźą
przy czym M'(s ) = (s  s )(s  s ) ... (s  s )(s  s ) ... (s  s )
i i 1 i 2 i i-1 i i+1 i n
Często w mianowniku występuje pojedynczy biegun równy 0, np s = 0. Wtedy, zapisując M(s) =
1
sN(s), mamy
Lśą sźą
Y(s) =
sN śą sźą
Ponieważ M'(s) = N(s) + sN'(s), M'(0) = N(0), M'(s ) = s N'(s ) `" 0, wtedy podstawiając do (***)
i i i
n
L śąsiźą
Lśą0źą
Y(t) = ƒÄ… et si
"
i=2
N śą0źą si N ' śą siźą
18. Własności regulatorów P, I, PI, PD, PID  porównanie.
Regulator P  proporcjonalny
Regulator P idealny charakteryzuje się tym, że jego sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do
wejściowego: u(t) = k v (t), gdzie k  stały współczynnik proporcjonalności. Jest on członem
p p p
propocjonalnym o transmitancji G (s) = k Stosuje się go w układach regulacji statycznej.
P P.
Regulator I  całkowy
Regulator I idealny charakteryzuje się tym, że jego sygnał wyjściowy jest propocjonalny do całki
sygnału wejściowego
t
k
I
u(t) = vr śąÄ źą dÄ
+"
0
T
I
przy czym k , T  stałe. Regulator ten o transmitancji
I I
k
I
G (s) =
I
s T
I
jest członem całkującym idealnym. Po uwzględnieniu inercji mamy do czynienia z regulatorem o
transmitancji
k
I
G (s) =
Ir
sśą1ƒÄ…s T źą
I
i wówczas jest członem całkującym z inercją. Stosuje się go w astatycznych układach regulacji.
Regulator PI  propocjonalno-całkowy
W idealnym regulatorze PI sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do sumy sygnału wejściowego i
całki sygnału wejściowego
t
1
vrśą Äźą dÄ
u(t) = k [ v (t) + ]
p r +"
0
T
I
przy czym k , T  stałe. Regulator ten ma transmitancję
p I
1
G (s) = k (1 + )
PI P
T s
I
i odpowiedz
impulsowÄ…
t
h (s) = k (1 + )1(t)
PI P
T
I
Stosuje się go w układach, w których chcemy wykorzystać zalety zarówno regulacji statycznej, jak i
astatycznej.
Regulator PD  propocjonalno-różniczkowy
W idealnym regulatorze PD sygnał wyjściowy jest propocjonalny do sumy sygnału wejściowego i
pochodnej tego sygnału
d vr śątźą
u(t) = k [v (t) + T ]
P r D
dt
przy czym k , T  stałe
p D
Transmitancja tego regulatora i odpowiedz
jednostkowa są następujące
G (s) = k (1 + T s)
PD P D
h(t) = k [1+T ´(t)] 1(t)
P D
Jeśli uwzględnimy inercję, to transmitancja i odpowiedz
jednostkowa określone są następująco
T s
D
G (s) = k (1 + )
PD P
1ƒÄ…sT
r
-t
T
T
D
r
h(t) = k [1+ ] 1(t)
P e
T
r
Stosuje się go w takich układach statycznych, w których potrzebne jest skuteczniejsze  niż w przypadku
regulatorów P- oddziaływanie na przebiegi przejściowe.
Regulator PID  propocjonalno-całkowo-różniczkowy
W idealnym regulatorze PID sygnał wyjściowy jest propocjonalny do sumy sygnału wejściowego
jego całki oraz pochodnej
t
d vr śąt źą
1
u(t) = k [v śątźąƒÄ… vr śąÄ źą dăąT ]
+"
P r D
0
T dt
I
przy czym: k  współczynnik proporcjonalności, T  czas zdwojenia, T  czas wyprzedzenia.
P I D
Transmitancja i odpowiedz
jednostkowa są następujące
1
G (s) = k (1 + + T s)
PID P D
T s
I
t
h (s)= k (1 + + T ´(t)) 1(t)
PID P d
T
I
W przypadku, gdy regulator PID ma inercjÄ™
T s
1
D
G (s) = k (1 + + )
PIDr P
T s
1ƒÄ…sT
I
r
-t
t T
T
D
r
h (s)= k (1 + + ) 1(t)
PIDr P e
T
I T
r
Stosuje się je, gdy potrzebna jest reakcja na zmianę warunków pracy skuteczniejsza niż w regulatorze P
lub PI oraz likwidacja uchybu ustalonego.
19. Omówić na przykładach sposób budowy regulatorów polegający na objęciu wzmacniacza
odpowiednim sprzężeniem zwrotnym.
Regulator P
Wzmacniacz o znacznym wzmocnieniu obejmuje się sprzężeniem zwrotnym. Niech ogólna
transmitancja wzmacniacza ma postać
k
w
W(s) =
Aśą sźą
przy czym A(s) odpowiada inercyjności tego wzmacniacza, to wtedy transmitancja wypadkowa otrzymana
zgodnie ze schematem:
k
1
W śąsźą
w
=
Aśąsźą
G(s) = 1ƒÄ…W śą sźą H śąs źą k H śą sźą lub G(s) =
w
ƒÄ… H śąsźą
Aśą sźąśą1ƒÄ… źą
k
Aśąsźą
w
1
Jeśli k jest odpowiednio duże, to wtedy G(s) H"
w
H śąsźą
Zatem, aby zrealizować regulator P należy w pętli sprzężenia zwrotnego umieścić element propocjonalny
1
do transmitancji H(s) = .
k
p
Regulator PI
Można go zrealizować obejmując wzmacniacz o bardzo dużym współczynniku wzmocnienia pętlą
ujemnego sprzężenia zwrotnego z elementem o transmitancji H(s) równej odwrotności G (s)
PI
1
T s
I
1
H(s) = =
k śą1ƒÄ… źą
k śą1ƒÄ…T sźą
P
P I
T s
I
A więc do obwodu sprzężenia zwrotnego należy
włączyć element różniczkujący z inercją o
współczynniku wzmocnienia równym T /k i
I P
stałej czasowej równej T . Utworzony w ten
I
sposób regulator można traktować jako idealny
tylko przy odpowiednio dużym współczynniku
wzmocnienia k wzmacniacza. W rzeczywistym
w
regulatorze transmitancja jest równa
1
k śą1ƒÄ… źą
p
T s
I
G (s) =
PIr
k
1
P
1ƒÄ… śą1ƒÄ… źą
k T s
w I
i tylko przy k >> k można ją w przybliżeniu przyjmować jako równą G (s).
w p PI
Regulator PD
Realizując regulator PD przez objęcie wzmacniacza o bardzo dużym wzmocnieniu pętlą ujemnego
sprzężenia zwrotnego z elementem o transmitancji H(s) równej odwrotności G (s)
PD
1
H(s) =
k śą1ƒÄ…T sźą
P D
to do obowdu sprzężenia zwrotnego należy
włączyć element inercyjny pierwszego
rzędu o współczynniku wzmocnienia
równym 1/k oraz stałej czasowej T .
p D
Zrealizowany w ten sposób regulator można
w przybliżeniu traktować jako idealny,
jeżeli współczynnik wzmocnienia k jest
w
odpowiednio duży. Dokładnie bowiem transmitancja tego regulatora wyraża się wzorem
k śą1ƒÄ…T sźą
P D
G (s) = kP
PDr
1ƒÄ… śą1ƒÄ…T sźą
kw D
i tylko przy k >> k można rzyjmować jako równą G (s).
w p PD
Regulator PID
Gdy regulator PID tworzy się przez objęcie wzmacniacza o bardzo dużym wzmocnieniu petlą
ujemnego sprzężenia zwrotnego, wtedy do obwodu tego sprzężenia należy włączyc element o
transmitancji
T s
I
H(s) =
kP śąT RD s2ƒÄ…T sƒÄ…1źą
I I
Taką transmitancję otrzymuje się w wyniku szeregowego połączenia członu inercyjnego pierwszego rzędu i
cżłonu różniczkującego z inercją. Wtedy:
ka kb s
H(s) =
kP śąT Rb s2ƒÄ…śąT ƒÄ…T źą sƒÄ…1źą
a a b
k
w
k k k s
Otrzymuje się wówczas G (s) =
PID w a b
1ƒÄ…
T T s2ƒÄ…śąT ƒÄ…T źą sƒÄ…1
a b a b
Widać, że tylko przy odpowiednio dużym współczynniku k można przyjmować, że otrzymany w ten sposób
w
regulatora jest typu PID.
Inny sposób realizacji polega na objęciu wzmacniacza pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego z
dwoma członami inercyjnymi pierwszego rzędu. Sygnały tych członów odejmują się, a transmitancja
obwodu sprzężenia zwrotnego wynosi
śą k1-k źąƒÄ…śą k1T -k2 T źą s
2 2 1
H(s) =
śą1ƒÄ…s T źąśą1ƒÄ…s T źą
1 2
Wówczas transmitancja wypadkowa układu
jest następująca
G (s) =
PID
k
w
kw[śą k1-k2źąƒÄ…śą k1 T -k2T źą s]
2 1
1ƒÄ…
śą1ƒÄ…sT źąśą1ƒÄ…s T źą
1 2
Jeżeli k =k =k i kw są odpowiednio duże, to można przyjmować, że ten układ jest regulatorem PID.
1 2 i