ZALICZENIE z MECHANIKI PA
YNÓW
1. Przedmiot mechaniki płynów. Pojęcia podstawowe
2. Klasyfikacja płynów
3. Pojęcie lepkości. Miary lepkości. Jednostki
4. Metody pomiaru ciśnienia. Wakuometry, barometry, manometry. Jednostki ciśnienia
5. Warunek równowagi. Powierzchnie stałego potencjału. Paradoks hydrostatyczny
6. Równowaga względna. Powierzchnie stałego potencjału. Przykłady równowagi względnej
7. Napór na ściany płaskie. Współrzędne środka naporu
8. Napór na ściany zakrzywione. Współrzędne środka naporu
9. Zjawisko wyporu. Odkrycie Archimedesa (czas, epoka i miejsce)
10. Stany stateczności pływania. Metacentrum i odległość metacentryczna
11. Kinematyka płynów. Cele, zadania, parametry kinematyczne
12. Metoda Eulera i Lagrange'a w kinematyce płynów
13. Pochodna wędrowna. Operator Stokesa, przyśpieszenie elementu płynu
14. Pojęcie cyrkulacji. Interpretacja fizyczna i analogia
15. Równania toru i linii prądu, rurka i powierzchnia prądu, struga
16. Przepływy potencjalne. Funkcja prądu i potencjału, jej interpretacja. Potencjał zespolony
17. Przepływy elementarne. Superpozycja przepływów
18. Zasada zachowanie masy. Równanie ciągłości
19. Zasada zachowania pędu. Równanie Eulera i Naviera  Stokesa
20. Równanie Daniela Bemoulliego dla płynu doskonałego, rzeczywistego i gazów
21. Formalizm matematyczny, zastosowania
22. Przygotować wykaz zagadnień opracowanych samodzielnie (poza wykładem i ćwiczeniami)
1. Przedmiot mechaniki płynów. Pojęcia podstawowe
Zagadnienia mechaniki płynów występują niemal we wszystkich dziedzinach techniki,
między innymi:
- lotnictwie;
- maszynach przepływowych (turbiny, sprężarki, pompy); - przepływowych układach regulacji
automatycznej;
- układach hydrauliki siłowej, - itd..
Mianem płynów określamy te ciała występujące w przyrodzie, które w odróżnieniu od
ciał stałych zmniejszają swe kształty w sposób trwały pod działaniem dowolnie małych sił
mechanicznych, jeśli działanie tych sił trwa dostatecznie długo.
Płyny dzielimy na ciecze i gazy.
Cieczami nazywamy te spośród płynów, które zmieniają bardzo nieznacznie swą
objętość pod działaniem nawet bardzo wielkich sił mechanicznych. Inaczej mówimy, że ciecze
są nieściśliwe.
Gazami nazywamy te płyny, które pod działaniem sił mechanicznych zmieniają swe
objętości bardzo znacznie. Mówimy również, że gazy są to płyny ściśliwe.
Przedmiotem mechaniki płynów jest badanie zjawisk występujących podczas ruchu,
spoczynku płynów, ze zwróceniem uwagi na oddziaływanie płynów na ścianki ciał stałych
ograniczających płyn i ścianki ciał zanurzonych całkowiciew płynie.
Zadaniem mechaniki płynów jako dyscypliny podstawowej jest poznanie praw
rządzących spoczynkiem i ruchem płynów oraz stworzenie podstaw teoretycznych
i doświadczalnych dla całego szeregu dziedzin specjalistycznych.
W zależności od rodzaju użytych kryteriów mechanikę płynów można podzielić na:
1. hydromechanikę, to znaczy mechanikę cieczy;
- mechanikę cieczy idealnej;
- mechanikę cieczy rzeczywistej;
2. aeromechanikę, to znaczy mechanikę gazu. Ponadto mechanikę płynów dzieli się na:
- statykę;
- kinematykę;
- dynamikę.
Statyka płynów jest nauką o zjawiskach zachodzących podczas spoczynku cieczy
i gazów.
Kinematyka płynów zajmuje się analizą ruchu w oderwaniu od występujących sił.
Dynamika płynów, czyli dynamika cieczy (hydrodynamika) i dynamika gazów (aerodynamika),
jest nauką o ruchu cieczy i gazów w powiązaniu z występującymi siłami.
Istnieje również inny podział mechaniki płynów, a mianowicie w oparciu o własności
dyssypatywne płynów. Biorąc za podstawę właściwości takie jak lepkość i przewodność
cieplną można podzielić mechanikę płynów na tak zwaną mechanikę płynów doskonałych
opartą o model płynu nielekkiego i nie przewodzącego ciepła i na mechanikę płynów
rzeczywistych.
Z podziałem mechaniki płynów wiąże się pojęcie hydrauliki. Jest ona najstarszym
historycznie działem mechaniki cieczy i opiera się na modelu jednowymiarowego przepływu
cieczy lepkiej i nieściśliwej. Model ten polega na stosowaniu empirycznych współczynników
ujmujących straty tarcia w przepływie cieczy. Przez mechanikę płynów rozumiemy naukę,
zajmującą się badaniem ruchów płynów ( cieczy i gazów będących pod działaniem sił ).
W obliczeniach stosuje się przybliżone modele dotyczące idealnych, cieczy
rzeczywistych, gazów pół-doskonałych i rzeczywistych.
Prekursorami w dziedzinie mechaniki płynów byli Newton, który sformułował pojecie
lepkości, Euler jako pierwszy napisał różniczkowe równania cieczy i Archimedes starożytny
konstruktor, który zbudował maszynę, na jego część nazwaną " Spiralą Archimedesa " ,
służącą do wymuszania przepływu cieczy.
2. Klasyfikacja płynów
Płyn nielepki i nieściśliwy - zwany idealnym.
Jego definicja wynika wprost z definicji cieczy idealnej
Mówimy, że płyn jest nieściśliwy, jeśli jego współczynnik ściśliwości k równa się zero.
Współczynnik ściśliwości oznacza się wzorem.
d�
k =
dp
Wyraża on zmianę gęstości �
� pod wpływem zmiany ciśnienia p
�
�
Jak wiemy ciecze są nieznacznie ściśliwe, to znaczy, ich współczynnik ściśliwości jest
bardzo mały, podobnie zachowują się również gazy przy małych prędkościach. Opisując
przepływ cieczy, oraz przepływ gazu przy małych prędkościach, możemy przyjąć stałą
wartość gęstości.
Ten typ płynu opisuje równanie Eulera
dv 1
= -F - gradp
dt p
Definicja lepkości znajduje się w dalszej części rozprawki.
Płyn lepki i nieściśliwy
Modelem płynu lepkiego i nieściśliwego badamy przepływy w warstwie przyściennej.
dv
dn
Warstwa przyścienna charakteryzuje się tym, że gradienty prędkości przepływu, są
w niej bardzo duże, oddalając się od ścianek w głąb strumienia prędkości te gwałtownie
rosną. Poza warstwą przyścienną gradienty prędkości są bardzo małe.
2 2 2
dv d v d v d v
= F - gradp + �"2�
"2� = + +
2 2
dt dx2 dy dz
W obszarze warstwy przyściennej naprężenia styczne, uzyskują znaczne wartości,
niezależnie od lepkości płynu jest niewielka, ze względem na gradienty prędkości naprężenia
styczne są pomijalnie małe. Ten typ płynu opisuje równanie:
Płyn nielepki i ściśliwy
Modelem tego płynu posługujemy się w dynamice gazów. Jest to nauka zajmująca się
przepływami z dużymi prędkościami.
Ponieważ zachodzą wyraz
ne zmiany gęstości s należy uwzględnić zależność p od ciśnienia
i temperatury. Tymi zależnościami zajmuje się termodynamika. Powiązania z termodynamiką
mogą być daleko bardziej idące np.: w przepływach w których doprowadzamy lub
odprowadzamy ciepło lub pracę. Gazy są płynami ekspansywnymi, to znaczy zajmują całą
wolną przestrzeń, w której są zamknięte.
Płyn lepki i ściśliwy
Charakteryzuje się lepkością i niewielką ściśliwością, jest modelem płynów rzeczywistych
występujących w przyrodzie. Na tym modelu bazują najbardziej ogólne i ścisłe rozwiązania.
Jednakże przy rozwiązywaniu równań opisujących ten typ płynu napotykamy na ogromne
trudności, głównie natury matematycznej, ze względu na duży stopień skomplikowania tych
równań.
Obserwując zjawisko przepływu płynów zauważamy, że jest ono ogromnie
skomplikowane. Opisanie tak złożonych zjawisk nie jest łatwe. Dlatego też ze względu na
trudności w ich rozwiązywaniu staramy się je nieco uprościć, pomijając te wielkości które
w stosunku do pozostałych są bardzo małe.
3. Pojęcie lepkości. Miary lepkości. Jednostki
Hipoteza Newtona
Płyny rzeczywiste wykazują zdolność przenoszenia naprężeń stycznych, przy czym
naprężenia powstają między sąsiednimi warstwami płynu poruszającymi się
z różnymi prędkościami. Naprężenia styczne powstają również pomiędzy poruszającym się
płynem i ciałem stałym, nie występują natomiast w czasie spoczynku, lub w płynie
poruszającym się z wyrównaną prędkością przepływu w całym przekroju. Zgodnie
z hipotezą Newtona, naprężenia styczne i występujące między sąsiednimi warstwami, lub
elementami płynu są proporcjonalne do przyrostu prędkości w kierunku normalnym do
kierunku przepływu. Sytuacje tą przedstawia rysunek numer 1, oraz opisuje poniższy wzór.
"v
� = �
"y
gdzie:
� - naprężenia styczne;
�- współczynnik lepkości dynamicznej, zwany lepkością dynamiczną.
Rys.1. Ilustracja do równania opisującego hipotezę Newtona
Pojecie lepkości dynamicznej
Lepkość dynamiczna � jest funkcją temperatury, ciśnienia i rodzaju płynu. Zależność
lepkości płynu od ciśnienia jest nieznaczna, i rośnie bardzo wolno wraz z jego wzrostem,
a jedynym wyjątkiem jest woda, która w zakresie poniżej 32�C maleje ze wzrostem ci śnienia.
Zależność lepkości � od temperatury jest natomiast bardzo znaczna i zupełnie odmienna dla
cieczy i gazów. Zależność tą ilustruje rysunek 2 . lepkość dynamiczna � cieczy maleje ze
wzrostem temperatury. Wynika z tego, że w cieczach ruch molekuł jest stosunkowo mało
intensywny, wobec czego naprężenia styczne powstają głównie w skutek molekularnych sil
spójności; przy wzroście temperatury rosną odległości pomiędzy molekułami, a zatem maleją
siły spójności. W gazach, jak możemy wnioskować z rysunku jest na odwrót.
Rys.2. Zależność lepkości od temperatury
Jednostka lepkości dynamicznej � w układzie SI wynika z równania Newtona:
kg
1�ł łł
�łm * s śł
�ł �ł
Pojecie lepkości kinematycznej
Współczynnik lepkości kinematycznej, zwany lepkością kinematyczną, określony jest
wzorem:
�
� =
�
Jednostką lepkości kinematycznej jest:
10-4 m2 s
1stokes [1St]=
W użyciu są stosowane jednostki mniejsze, takie jak:
1centistokes [1cSt]
Poza układem SI dla określenia lepkości używa się szeregu innych jednostek, takich
- stopień Eulera [E];
- sekunda Redwood'a [R sek];
- i inne.
Jednostki te wynikają ze sposobu pomiaru i rodzaju użytej aparatury.
4. Metody pomiaru ciśnienia.
Manometry, barometry, wakuometry. Jednostki ciśnienia
Przyrządy do pomiaru ciśnień
Przyrządy do pomiaru ciśnienia mierzą nie jego wartość lecz różnice tej wartości
i wartości ciśnienia odniesienia. Ciśnieniem odniesienia najczęściej jest:
- próżnia absolutna (bezwzględna);
- ciśnienie panujące aktualnie w miejscu i czasie pomiaru.
Ogólnie przyrządy do pomiaru ciśnień nazywają się ciśnieniomierzami. Przyrządy do
pomiaru ciśnień absolutnych nazywają się barometrami i ciśnieniomierzami ciśnienia
absolutnego, nad ciśnień - manometrami, a podciśnień wakuometrami. Poza tym wyróżnia się
jeszcze ciśnieniomierze (manometry) różnicowe - do pomiaru różnicy ciśnień. Poniższy
rysunek przedstawia wyżej wymienione zależności w sposób graficzny.
Rys.3. Rodzaje ciśnień
Manometry
Dzielimy je na:
- hydrostatyczne ( cieczowe )
- prężne ( rurkowe lub przeponowe )
- przeponowe
Elementem prężnym tego manometru jest przepona (0) płaska lub falista. Pod wpływem
ciśnienia p przepona ulega odkształceniu. Odkształcenie to przenosi się przez przekładnię(S)
na wskazówkę (W)
Poniższy rysunek przedstawia zasadę działania manometru.
Metoda pomiaru manometrem
Manometr (1) mierzy ciśnienie statyczne ps płynu (wektor prędkości w płynie jest styczny do
otworu wlotowego manometru). Jeżeli otwór wlotowy manometru jest prostopadły do wektora
prędkości w, to manometr (2) wskaże wzrost ciśnienia. Wzrost ten jest wywołany zmianą
energii kinetycznej płynu o prędkości w i gęstości p na energię potencjalną, jest ciśnieniem
kinematycznym i zwyczajowo nazywamy je ciśnieniem dynamicznym
Barometr
Barometr - przyrząd do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Pierwszy tak zwany barometr
rtęciowy został wynaleziony w roku 1643 przez E. Torricellego w związku z jego badaniami
nad ciśnieniem sferycznym. Barometr rtęciowy został ulepszony w 1665 przez R. Hook'ea
który wprowadził podziałkę umożliwiającą bezpośrednie odczytywanie wielkości.
Poniższy rysunek przedstawia zasadę działania barometru.
Barometr wykorzystuje się do pomiaru ciśnień barometrycznych.
Do zbiorniku (1) wstawiona jest szklana rurka manometryczna (2), z której uprzednio
wypompowano cale powietrze, do stanu próżni absolutnej. W przestrzeni pomiędzy jej
górnym zamkniętym końcem, a meniskiem rtęci panuje próżnia Torrcelleogo (3) próżnia
bezwzględna Położenie słupka rtęci określa ciśnienie barometryczne (otoczenia) pb.
Wynaleziony barometr odegrał podstawowe znaczenie dla rozwoju metrologii.
B. Pascal powtarzając i kontynuując badania Torricellego, zauważył, że ciśnienie
atmosferyczne zależy nie tylko od wysokości miejsca, w którym przyrząd się znajduje, ale
także od stanu pogody.
Wakuometr
Wakuometr jest ciśnieniomierzem służącym do pomiaru podciśnień. Zasada działania i
budowa nie różnią się od manometrów prężnych i hydrostatycznych. Często wykonuje się
manometry prężne, które mogą służyć do pomiaru nadciśnień i podciśnień. Nazywamy je
mano-wakuometrami.
Jednostki ciśnienia.
W układzie jednostek miar SI główną jednostką ciśnienia jest Pascal ( Pa ) czyli niuton na
metr kwadratowy
N kg
1Pa = 1 = 1
m2 m * s2
Pascal jest jednostką małą, dlatego w praktyce stosuje się megapascal
1MPa =106 Pa
oraz bar
1bar =105 Pa
Dawniej manometry skalowano w atmosferach technicznych, czyli kilogramach siły na
centymetr kwadratowy.
kG
1at = 1 = 9,80665*104 Pa
cm2
Często mierzy się ciśnienie za pomocą wysokości słupa cieczy
Przy małych ciśnieniach względnych często mierzy się ciśnienie za pomocą wysokości słupa
wody:
kG
1mmH2O = 1 = 9,80665Pa
m2
Przy większych ciśnieniach względnych często mierzy się ciśnienie za pomocą wysokości
słupa rtęci ( Hg )
Tor ( Tr ) jest jednostką ciśnienia równą ciśnieniu wywieranemu w próżni przez słup rtęci
o wysokości 1 mm i temperaturze 0�C przy normalnym przyspies zeniu ziemskim.
m
�ł łł
2
�łs śł
�ł �ł
gn = 9,8066
1 Tr = 1 mm Hg = 133,3224 Pa
Jako normalne ciśnienie fizyczne przyjęto ciśnienie jednej atmosfery fizycznej
Pn = 1 atm = 760 Tr = 101325 Pa
Wnioski
Nauka mechaniki płynów skłania nas do rozważań nad procesami zachodzącymi obok nas,
a nawet w nas. Układ krwionośny jest takim specyficznym układem hydrodynamicznym.
Układ krwionośny jest takim specyficznym układem hydrodynamicznymi, w którym zachodzi
wiele przemian. Wiemy ze ciśnienie jaki temperatura krwi nie jest stała a co się z tym wiąże
jej gęstość jest zmienna. Stąd też wyznaczenie relacji krew - zastawki jest ogromnie
skomplikowane, ale ciekawe.
Wchodząc w XXI wiek coraz bardziej modne staje się pozyskiwanie energii
w sposób ekologiczny. Jednym ze sposobów pozyskiwania energii ekologicznej jest
budowanie elektrowni wodnych, zarówno szczytowo - pompowych jak i zaporowych.
Dziedzina hydroenergetyki wiąże się ściśle z mechaniką płynów. Projektowanie tych
elektrowni wymaga bowiem znajomości praw rządzących cieczami, jak na przykład: prawa
naporu hydrostatycznego, i innych, bez których wykorzystanie energii tkwiącej
w cieczach byłoby niemożliwe.
5 i 6. Warunek równowagi , równowaga względna, powierzchnie stałego
potencjału
W hydrostatyce modele cieczy lepkiej i idealnej są równoważne sobie. Rozpatrując
równowagę ciała płynnego poddanego działaniu sił powierzchniowych możemy określić jego
stan napięcia przy pomocy tensora naprężenia, podstawiając w nim zerowe wartości
naprężeń stycznych.
� = � = �
xy yz zx
� 0 0
�ł łł
x
�ł śł
� = 0 � 0
ij y
�ł śł
�ł śł
0 0 �
�ł z �ł
i,j=x,y,z �=�ij ei ej
W przypadku cieczy w której nie uwzględniamy sił masowych , tensor naprężeń tworzy
przynależną mu strukturę , ponieważ wszystkie składowe tensora są sobie równe.
�xx=�yy=�zz=p
Otrzymaliśmy w ten sposób twierdzenie które w hydrostatyce nosi nazwę prawa
Pascala. Ustalmy element płynu P(x,y,z) za pomocą prostopadłościanu o wymiarach dx,dy,dz
i ścianach zorientowanych równolegle do osi układu współrzędnych, a ponadto funkcja
ciśnienia p(x,y,z) jest niewiadomą.
Układamy warunki równowagi na kolejne osie układu współrzędnych
dp
X : �XdV + pdydz - ( p dx)dydz = 0
dx
dp
Y : �YdV + pdxdz - ( p dy)dxdz = 0
dy
dp
X : �ZdV + pdxdy - ( p dz)dxdy = 0
dz
Po podstawieniu otrzymujemy
dp
�X - = 0
dx
dp
�Y - = 0
dy
dp
�Z - = 0
dZ
Otrzymaliśmy w ten sposób równanie równowagi płynu pozostającego w spoczynku lub
ogólnie warunki równowagi płynów
Powyższe równania można zastąpić równaniem wektorowym
dp
dp dp
- j
- i - k
�(X + Yj + Zk ) -
dy
i
dx dz
= 0 (1)
�F - gradp = 0
Skalarne pole ciśnień można wyznaczyć całkując te równania, otrzymamy wtedy
szukaną funkcję p(x,y,z). Jeśli funkcja ta jest stała to otrzymujemy powierzchnię stałego
ciśnienia nazywane powierzchniami izobarycznymi. Stwierdzamy ,że wektor siły objętościowej
jest prostopadły w każdym punkcie powierzchni izobarycznej prostopadły do niej.
Na podstawie (1) można wyprowadzić prawo Pascala :
dp
dp dp
=
= = 0
dy
dx dz
Jeśli (1) pomnożyć przez przyrost wektora promienia , to otrzymamy
�Fd r = gradpd r
(2)
�Fd r = dp
Niech F będzie siłą potencjalną. Wtedy musi istnieć takie U(x,y,z) , że F=-gradU (3).
Uwzględniając ( 1 ) i (2) otrzymujemy
- �gradUdr = dp
�dU + dp = 0
Jeśli p=const , to możemy to scałkować i otrzymamy
�U + p = const
Jedynie siły masowe są w stanie wywołać równowagę cieczy nieściśliwej.
"U "U "U
dp = � ( dx + dy + dz)
"x "y "z
W szczególnym przypadku gdy p=const ( dp=0 ) , to pdU=0 ~ U=const. Czyli powierzchnie
"U "U "U
dp = � ( dx + dy + dz)
"x "y "z
stałego ciśnienia są również powierzchniami ekwipotencjalnymi.
Wyrażenie w nawiasie jest równe zupełnej dU, stąd
dp=�*dU
Z równania tego wynika, że dla dp=0 jest dU=0. Oznacza to, że powierzchnie jednakowego
ciśnienia (dp=0, p=const), czyli powierzchnie izobaryczne, są w polu sił masowych
jednocześnie powierzchniami stałego potencjału (dU=0, U=const), czyli powierzchniami
ekwipotencjalnymi.
Powierzchnie ekwipotencjalne z natury rzeczy nie mogą się wzajemnie przecinać
i każda z nich jest albo powierzchnią zamkniętą, albo kończy się na ścianie zbiornika
(naczynia). Swobodne powierzchnie cieczy, czyli powierzchnie oddzielające cieczy od gazu,
są oczywiście powierzchniami ekwipotencjalnymi.
dU = X * dx + Y * dy + Z * dz
Dla powierzchni ekwipotencjalnych (dU=0) z równania wyżej wynika, że siły masowe przy
przesunięciu wzdłuż tych powierzchni nie wykonują żadnej pracy (X*dx=Y*dy=Z*dz=0).
Parcie cieczy na powierzchnie ścian
Parcie jest to siła, jaką wywiera ciecz w spoczynku na dowolnie zorientowaną
powierzchnię. Rozważania obejmą parcie na powierzchnie płaską i zakrzywioną.
Powierzchnia płaska lub ściana płaska jest w ogólnym przypadku nazywana
płaszczyzną pochyloną pod kątem ą względem poziomu (rys. 4) zaś w szczególnych
przypadkach  płaszczyzną pionową lub poziomą.
Rys 4. Parcie cieczy na ścianę płaską
W przypadku zbiornika (naczynia) otwartego, ciśnienie atmosferyczne Pa nie jest
uwzględniane, gdyż działa ono jednocześnie także na zewnętrzną stronę ściany.
W przypadku zbiornika (naczynia) zamkniętego należy uwzględnić ewentualną różnicę
ciśnień, jaka istnieje pomiędzy czynnikami gazowymi wewnątrz i na zewnątrz.
Parcie F na płaszczyznę pochyła A, o środku ciężkości S i współrzędnych środka
ciężkości Xs, Ys, Zs, wynosi
F = p * dA = � * g * dA = � * g * zS * A = pS * A
+"+" +"+"z
A A
gdzie
+"+"z*dA=zS*A  moment statyczny powierzchni A względem powierzchni cieczy
pS  ciśnienie hydrostatyczne na głębokości zS środka ciężkości S.
Powierzchnie zakrzywione
Parcie na powierzchnie zakrzywione sprowadza się w ogólnym przypadku do skrętnika,
tzn. parcia wypadkowego i pary sił, względnie do dwóch sił skośnych. Tak więc utrzymanie
zakrzywionej powierzchni w równowadze wymaga przyłożenia nie tylko siły przeciwnej parciu,
ale i pary sił o odpowiednim momencie.
Znalezienie parcia polega praktycznie na znalezieniu jego rzutów na kierunki osi
współrzędnych. W tym celu zostanie przyjęty układ współrzędnych prostokątnych,
w którym osie X, Y leżą na swobodnej powierzchni cieczy, a oś z skierowania jest na dół (rys.
5). Element dA stanowi część powierzchni cylindrycznej o tworzących prostopadłych do
płaszczyzny yz.
Rys 5. Parcie cieczy na element powierzchni zakrzywionej
dF=�*g*z*dA
Paradoks hydrostatyczny
Składowa pozioma Fy parcia na powierzchnię zakrzywioną A równa się zatem parciu na
powierzchnię Ay, która jest rzutem powierzchni A na płaszczyznę pionową. Tak samo oblicza
się poziomą składową parcia na płaszczyznę pochylą. Sposób obliczania poziomej skłądowej
parcia nie różni się jak widać, od sposobu obliczania parcia na płaszczyznę pionową.
FZ =
Z
+"+"dF = � * g+"+"z * dAZ = � * g+"+"+"dV = � * g *V = m * g = G
AZ AZ V
gdzie V, m, G  objętość, masa i ciężar słupa cieczy nad powierzchnią zakrzywioną
gdzie
MX=ZS*A
W przypadku płaszczyzn poziomych (ą=0), zależności upraszczają się. Środek parcia
leży w środku ciężkości płaszczyzny dna naczynia lub zbiornika.
Rys.6. Paradoks hydrostatyczny
1
dp = f dx + f dy + f dz
x y z
�
fx = f = 0
y
fz = g
�ł �ł
p
d�ł �ł = f dz
z
�ł �ł
�
�ł łł
�ł �ł
p
�ł �ł
d�ł �ł = gdz
�
�ł łł
p
= gz + c /* p �! gz� + c'
�
z = 0 �! c'= pa
p = gz� + pa
Jak widać z powyższego równania ciśnienie na dnie zbiornika , a więc i napór na jego dno
nie zależy od kształtu zbiornika , ale od wysokości słupa cieczy. To zjawisko określa się
mianem paradoksu hydrostatycznego.
Moment siły naporu
Moment siły naporu względem dowolnego punktu definiujemy następująco:
L = - * pn dS (4)
+"(r )
S
Gdzie r jest promieniem łączącym punkt, względem którego liczymy moment,
z elementem powierzchni dS.
Tak więc siły hydrostatyczne sprowadzają się do naporu hydrostatycznego
i momentu hydrostatycznego. Jak wiadomo ze statyki, taki układ przestrzennych sił daje się
sprowadzić do wypadkowej siły wtedy i tylko,wtedy, kiedy
N Ą"
Ą" L. (5)
Ą"
Ą"
Prostopadłość momentu i naporu jest oczywista dla płaskich ścian. Wówczas
wektorem rn można określić położenie linii działania siły naporu
rn*N = L. (6)
Punkt przebicia ściany linią działania siły naporu nazywamy środkiem naporu.
Jeżeli obliczone są już N i L to równanie (6) staje się równaniem dla trzech składowych
rx, ry, rz wektora rn
0rx + Nzry - Nyrz = Lx
-Nzrx + 0ry + Nxrz = Ly
Nyrx - Nxry + 0rz = Lz
(7)
7 i 8. Napór hydrostatyczny na ściany płaskie i zakrzywione Współrzędne
środka naporu
f = gk
Pole sił masowych
dA 0, d A = ndA, d p = pd A, p = pdA
+"+"
A
p = �gz + pa , p = (�gz + pa )dA, p = �gzdA, pa - pomijamy
+"+" +"+"
A A
p = �gzndA
+"+"
A
n = cos(n,i)i + cos(n, j) j + cos(n, k)k
Po podstawieniu i uporządkowaniu otrzymujemy
p = px i + py j + pz k
py = �gzdA,
px = �gzdA,
pz = �gzdA,
+" +"
+" +"
+" +"
Ay
Ax
Az
Dla pX , py obliczamy siłę naporu
px = �gzdA = �g zdA =�gzsx Ax
+" +" +" +"
Ax Ax
Analogicznie
py = �gzsy Ay
zsx , zsy, -współrzędne środka ciężkości rzutu powierzchni w kierunku osi x i y.
Ax, Ay -pola powierzchni rzutów w kierunku osi x i y.
Wartość pZ wyliczamy w sposób odmienny.
pz = �g zdA = �gVz
+" +"
Az
Vz -objętość słupa cieczy nad poziomym rzutem powierzchni.
Środek naporu
r = [xn , yn , zn ]
n
Sumaryczny moment od naporów elementarnych wynosi
+"+"r � d p
A
Moment od wypadkowej
rn � d p = �gz(r � n)dA
+"+"
A
znx * px zdpx , px = �gzsx Ax = �gM dpx = �gzdAx
x
+" +"
AX
znx * �gM = �gz2dA
x
+" +"
AX
�gz2dA z2dA
+" +" +" +"
J
AX AX x
znx = = =
�gM M M
x x x
Jx - moment bezwładności
Mx - moment statyczny
ynx * px = ydpx ; ynx �gM = �gyzdA
x
+" +" +" +"
Ax Ax
yzdA
+" +"
J
xy
Ax
ynx = =
M M
x x
9. Zjawisko wyporu. Odkrycie Archimedesa (czas, epoka, miejsce)
Jeżeli ciało jest zanurzone w płynie (rys.4.4),wypór hydrostatyczny jest określony wzorem:
N = - pndS
+"
S
(9.1)
W takim przypadku całkę zawartą w powyższym wzorze można przekształcić
na całkę objętościową:
N = - gradpd�
+"
S
(9.2)
a po uwzględnieniu równania równowagi powyższe wyrażenie przyjmuje postać:
N = - �fd� = -�gk
+" +"d�
�S �S
(9.3)
Ale
+"d� = � (S)
� (s)
Jest objętością ciała zanurzonego w płynie. Stąd siła wyporu
N= - �
�gk=-G (9.4)
�
�
jest równa ciężarowi cieczy wypartej przez zanurzone ciało i skierowana jest przeciwnie do
zwrotu siły ciężkości. Tak więc otrzymaliśmy znane prawo Archimedesa.
Siła wyporu N przechodzi przez środek ciężkości objętości płynu zajmowanej przez
zanurzone ciało, i wyraża się wzorem:
L = rn � (-G) = rn � N (9.5)
= � - = �
= � - = �
= � - = �
Archimedes
Jeden z najwybitniejszych greckich matematyków i fizyków starożytności, odkrył wiele praw
matematycznych i fizycznych, sformułował ważne zasady mechaniczne. Archimedes urodził
się w 287 roku przed Chrystusem w Syrakuzach; a o jego życiu opowiadają Livius, Polibius.
Nie sprawował żadnego urzędu, oddając się wyłącznie nauce. Przebywał przez pewien czas
w sławnej akademii Aleksandryjskiej, jako uczeń matematyka Konona, z którym utrzymywał
póz
niej także korespondencję. Zginął tragicznie w roku 212 przy zdobywaniu Syrakuz przez
Rzymian pod wodzą Marcellusa ( podczas drugiej wojny Punickiej )
Prawo Archimedesa
Każde ciało zanurzone w cieczy traci pozornie na ciężarze tyle, ile wynosi ciężar cieczy
wypartej przez to ciało tzn. ciało zanurzone w cieczy doznaje ze strony tej cieczy parcia do
góry, równego co do wartości ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało.
Z czasem prawo to uogólniono na gazy ( i ciała sypkie spełniające określone warunki)
Jak głosi legenda, Hieron II zamówił dla siebie koronę z czystego złota. Władca nie dowierzał
jednak złotnikowi. Posądzał go to, że koronę wykonał ze srebra i z zewnątrz tylko pozłocił.
Zwrócił się wtedy do przebywającego na jego dworze Archimedesa, aby ten sprawdził jego
przypuszczenie, nie niszcząc pięknej korony.
Archimedes długo myślał nad tym zadaniem, niestety bez skutku. Zastanawiał się nad
tym nawet w kąpieli. Siedząc kiedyś w wannie zauważył, że ciała zanurzone
w cieczy wydają się lżejsze. W tym momencie przyszło nań olśnienie. Z okrzykiem eureka!
(łać. znalazłem) Archimedes ponoć wyskoczył z wanny i w stroju mocno niekompletnym
pobiegł przez miasto do swego króla, aby mu zakomunikować o rozwiązaniu problemu. Jeśli
więc wierzyć legendzie, to dzięki zadaniu króla Hierona Archimedes odkrył ważne prawo,
zwane dziś prawem Archimedesa, które stanowi podstawę teorii pływania ciał.
Jeżeli rzeczywiście Archimedes odkrył to prawo w wannie, to trudno się dziwić, że był
zaskoczony prostotą metody, jaką należało zastosować, aby rozwiązać postawione mu
zadanie. Srebro ma bowiem gęstość prawie dwa razy mniejszą niż złoto. Fałszywa korona
musiałaby więc mieć znacznie większą objętość niż korona z czystego złota o tej samej
masie i - co za tym idzie - wypierałaby więcej wody, a zatem więcej " traciłaby pozornie na
ciężarze ". Inaczej fałszywa korona byłaby w wodzie znacznie lżejsza niż próbka czystego
złota o tej samej masie.
Prawo Archimedesa jest najważniejszym, lecz bynajmniej nie jedynym osiągnięciem
Archimedesa w zakresie hydrostatyki. Jego badania i spostrzeżenia dotyczące warunków
równowagi cieczy i warunków pływania ciał legły u podstaw rozwoju tej dziedziny. Oprócz
praw fizyki i matematyki Archimedes odkrył również podstawową zasadę mechaniki ciał
płynnych, zwięz
le sformułowana brzmi: ciało zanurzone w cieczy ulega parciu do góry i traci
pozornie na ciężarze tyle, ile waży wyparta prze zeń ciecz. Z tej zasady korzysta się przy
wyznaczaniu ciężaru właściwego, mianowicie dzieli się ciężar bezwzględny przez objętość,
równą liczbowo ciężarowi wypartej wody. Wszystkie przyrządy, służące do pomiaru ciężaru
właściwego, jak piknometr, waga hydrostatyczna, wolumometr, a dla cieczy areometr,
opierają się na zasadzie Archimedesa.
10. Stan stateczności pływania. Metacentrum i odległość metacentryczna
Na ciało zanurzone w cieczy działa ciężar ciała G1 i wypór W. Jeżeli potraktuje się wypór
W jako wypór ciała całkowicie zanurzonego, to możliwe są trzy przypadki:
" G1równowagi zostaje osiągnięty wtedy, gdy ciężar ciała będzie równy wyporowi
zanurzonej części ciała; w tym stanie równowagi ciało pływa
" G1=W, ciało jest całkowicie zanurzone na dowolnej głębokości
" G1>W, ciało tonie.
Stateczność pływania jest to zdolność powrotu ciała pływającego wychylonego ze stanu
równowagi do pierwotnego położenia.
rys.7. Stateczność ciała całkowicie zanurzonego: a) równowaga stała, b) chwiejna,
c) obojętna
Pływanie ciała całkowicie zanurzonych. Na ciało całkowicie zanurzone działają dwie siły;
wypór W i ciężar G1 (rys. wyżej). Punkt S oznacza środek ciężkości ciała zanurzonego
i w ogólnym przypadku nie musi pokrywać się ze środkiem wyporu N, który leży w środku
geometrycznym ciała. Równowaga pływania, jak wiadomo, zachodzi wówczas gdy W= G1
i gdy W i G1 leżą wzdłuż tej samej osi pionowej, czyli wzdłuż osi pływania. Możliwe są trzy
przypadki:
" Punkt S leży poniżej punktu N,
" Punkt S leży powyżej punktu N
" Punkt S i N pokrywają się
Można zatem stwierdzić, że:
1) równowaga stała  środek ciężkości S leży poniżej środka wyporu N,
2) równowaga chwiejna  S leży powyżej N,
3) równowaga obojętna  punkt S i N pokrywają się.
Bardziej złożonym zagadnieniem jest stateczność pływania ciał częściowo zanurzonych.
Dowolne wychylenie ciała jest, ogólnie biorąc, wypadkową trzech przesunięć i trzech obrotów
względem osi X, Y, Z., przy czym oś x jest prostopadła do płaszczyzny. Przy takim położeniu
środka ciężkości możliwe jest zachowanie stateczności pływania, co było wykluczone
w przypadku ciała pływającego całkowicie zanurzonego.
Ciało jest stateczne, czyli posiada równowagę stałą, przy przesunięciu wzdłuż osi z.
Przy takiej wymuszonej zmianie głębokości zanurzenia zostaje naruszona równowaga
pomiędzy ciężarem ciała G1 i wyporem W, co prowadzi do zmiany zanurzenia i powrotu do
stanu początkowego. Równowaga obojętna ma miejsce, natomiast, podczas przesunięć
równoległych do zwierciadła cieczy, czyli podczas przesunięć wzdłuż osi x i y oraz podczas
obrotu wokół osi z..
Te rozważania można uzupełnić, wprowadzając pojęcia punktu M., zwanego
metacentrum, czyli punkt przecięcia linii działania wyporu chwilowego W i pionowej osi ciała
pływającego. Odległość punktu M od środka ciężkości ciała S nosi nazwę odległością
(wysokością) metacentrycznej m. Dla informacji można podać, że minimalna odległość
metacentryczna statków wynosi m = 0,5�4,5 m.
Odległość metacentryczna m. można wyrazić przez parametry geometryczne ciała
pływającego. Przy wychyleniu o mały kąt �, wypór chwilowy W jest równy sumie algebraicznej
wyporu początkowego W i wyporów Wk objętości klinowych.
11. Kinematyka płynów. Cele, zadania, parametry kinematyczne.
DWIE METODY OPISU STANU PA
YNU
Wprowadzając omówioną we Wstępie cechę ciągłości, możemy traktować płyn wypełniający
rozważany przez nas obszar jako kontinuum materialne. Każdemu punktowi tego obszaru
przyporządkowujemy pewne jego otoczenie, o wymiarach małych w porównaniu z wymiarami
ciał opływanych lub wymiarami obszaru, a dużych w porównaniu z odległościami między
molekułami. Otoczenie takie nazywamy elementem płynu, a przestrzeń traktujemy jako
wypełnioną tymi elementami w sposób ciągły. Posługiwanie się pojęciem elementu płynu jest
bardzo dogodne  możemy utożsamić go z punktem któremu przypisane są wszystkie
parametry charakteryzujące płyn lub też traktować go jako skończoną objętość o cechach
kontinuum materialnego.
Stan płynu zajmującego określony obszar przestrzeni możemy opisać w dwojaki sposób.
Pierwszy z nich polega na określeniu parametrów w każdym punkcie przestrzeni zajmowanej
przez płyn. Parametry te mogą się zmieniać zarówno w przestrzeni (mogą być funkcją
współrzędnych przestrzeni), jak i w czasie. Metoda ta nosi nazwę metody Eulera albo metody
lokalnej.
Omawiając drugi sposób, wyobraz
my sobie, że wyodrębniliśmy element płynu
i śledzimy jego zachowanie się w czasie. Znając wszystkie interesujące nas parametry
dowolnych elementów płynu, mamy opisany stan płynu w całym zajmowanym przez niego
obszarze.
Ta metoda nosi nazwę metody Lagrange^a lub metody wędrownej.
KINEMATYCZNY PODZIAA
PRZEPA
YWÓW
Jeżeli parametry opisujące stan płynu są niezależne od czasu f, to d/dt = O i stan taki
nazywamy stanem stacjonarnym (ustalanym). Jeżeli zaś parametry te zależą jawnie od
czasu,
to przepływ nazywamy przepływem niestacjonarnym (nieustalonym}.
Z punktu widzenia kinematycznego będziemy rozróżniali przepływy jednowymiarowe,
w których mamy tylko jedną składową wektora prędkości
przepływy dwuwymiarowe
oraz przepływy trójwymiarowe
W każdym z tych przypadków składowe wektora prędkości mogą być funkcją dowolnej
kombinacji zmiennych niezależnych x, y, z, t. Tak na przykład, możemy mieć przepływ
jednowymiarowy niestacjonarny, w którym
ux = ux(x,f),
lub przepływ dwuwymiarowy stacjonarny
ux = ux (x,y), uy = uy (x,y)
12. Metoda Eulera i Lagrange a w kinematyce płynów
METODA EULERA
Jeżeli wybrany zostanie układ współrzędnych odniesienia, to obszar zajmowany przez
płyn będzie opisany promieniem wodzącym r. W najprostszym przypadku, jeżeli układ
współrzędnych będzie układem kartezjańsktm, to
Wówczas parametry opisujące stan płynu będą funkcjami promienia wodzącego r
i czasu t. Każdemu położeniu elementu płynu w chwili r, które jest określone współrzędnymi
x, y, z, odpowiadać będzie położenie * , y(i, z<> w chwili poprzedzającej tt,. Zapisujemy tę
odpowiedniość w następującej postaci:
(12.1)
W metodzie Eulera mamy następujący zapis dla wektora prędkości:
co oznacz,a, że wektor prędkości może być przedstawiony następująco:
(12.2)
lub w skrócie:
Nie tylko składowe wektora prędkości są funkcjami współrzędnych przestrzennych i czasu,
ale i inne parametry, takie jak: ciśnienie, gęstość, temperatura
(12.3)
Jeśli posługujemy się tą metodą opisu parametrów płynu, to w dowolnym miejscu układu
współrzędnych i w dowolnym czasie powinny być określone powyższe funkcje czterech
zmiennych x, y, z, t.
Istotnym pojęciem dla metody Eulera jest pojęcie pochodnej substancjalnej, oznaczonej dla
dowolnej funkcji f (x, y, z, t) symbolem d//dr.
Pochodną substancjalną buduje się biorąc za punkt wyjścia pojęcie różniczki zupełnej funkcji
wielu zmiennych. W tym przypadku
 (12.4)
W wyrażeniu tym przyrosty dx, dy i dz są przyrostami dowolnymi w przestrzeni ryz. Jeżeli na
przyrosty te nałożymy ograniczenia
(12.5)
co oznacza, że są one wybierane wzdłuż kierunku ruchu cząstki, to wyrażenie (12.4) można
zapisać następująco:
(12.6)
Odnosząc przyrost d/ do przyrostu czasu dt, z (12.6) otrzymujemy
(12.7)
Zapis ten może być zastosowany do dowolnej funkcji/. Istotny jest jedynie operator typu:
(12.8)
Ze sposobu budowania operatora pochodnej substancjalnej wynika następująca interpretacja
fizyczna poszczególnych wyrażeń:
d/df oznacza zmianę danej wielkości w czasie z punktu widzenia obserwatora poruszającego
się wraz z elementem płynu,
d/dt oznacza zmianę w czasie danej wielkości w danym punkcie przestrzeni (przy ustalonym
x, y, z)  jest to pochodna lokalna,
oznacza zmianę danej wielkości w przestrzeni w danym
ustalonym czasie t  jest to pochodna konwekcyjna (często także zwana adwekcyjną).
Tak więc pochodna substancjalna jest sumą pochodnej lokalnej i pochodnej
konwekcyjnej (adwekcyjnej).
Można łatwo zauważyć, że pochodna konwekcyjna jest iloczynem skalarnym
" " "
wektora prędkości u i operatora gradient (nabla) grad =
" = i + j + k
"x "y "z
(12.9)
Stosując operator różniczkowania substancjalnego do składowych wektora prędkości,
otrzymujemy przyspieszenie substancjalne
 (12.10; 12.11; 12.12)
Po pomnożeniu powyższych równań przez wektory i, j, k oraz ich zsumowaniu możemy
relacje (1.10) (1.12) zapisać w sposób zwarty
(12.13)
Podobnie, stosując operator (1.8) do innych parametrów, otrzymujemy
(12.14; 12.15; 12.16)
Z powyższych wzorów widać, iż zmiana parametru w elemencie płynu określona jest
zmiennością w czasie i zmiennością w przestrzeni, co wymaga znajomości pola prędkości.
Ponadto człony określające pochodną konwekcyjną są członami nieliniowymi typu iloczynu
prędkości i pochodnej danego parametru.
Nieliniowość ta, pojawiająca się w podstawowych relacjach mechaniki płynów, jest przyczyną
znacznych trudności w rozwiązywaniu problemów przepływowych.
METODA LAGRANGE'A
W metodzie tej opisujemy historię zmiany danego parametru, związanego z wybranym
elementem płynu. Oznaczamy wybrany element płynu w chwili f(l współrzędnymi x0, Y0, Z0.
Z czasem będzie się zmieniało jego położenie i inne parametry. Zapisujemy ten fakt
następująco:
(12.17)
lub w zapisie wektorowym
Dla ciśnienia, gęstości i temperatury mamy
 (12.18)
Prędkości i przyspieszenia w metodzie Lagrange'a otrzymujemy przez różniczkowanie
współrzędnych położenia elementu płynu względem czasu. Tak więc dla prędkości
(12.19)
lub w zapisie wektorowym
a dla przyspieszeń
(12.20)
W dalszym ciągu posługiwać się będziemy przeważnie metodą Eulera.
13.Pochodna wędrowna. Operator Stokesa, przyśpieszenie elementu
płynu.
Jeśli wezmiemy pod uwagę dowolną wielkość fizyczną f, skalarną lub wektorową,
związaną z poruszającym się elementem płynu, to wyrażenie zmian tej wielkości w czasie
przy użyciu zmiennych Eulera napotka na pewne trudności. Mamy wyrazić zmiany f,
związane z poruszającym siępo swym torze elementem płynu, przy pomocy wielkości
związanych z wybranym punktem przestrzeni x,y,z i wybraną chwilę czasu t. Mamy zatem
obliczyć dla elementu płynu
Chcąc to wyrazić za pomocą operacji różniczkowania względem x,y,z,t musimy x,y,z w
powyższym wzorzepotraktować jako równanie parametryczne toru elementu płynu
przechodzącego przez wybranu punkt przestrzeni, a więc jako:
Uwzględniając to piszemy
Korzystając ze związków dla toru elementu płynu otrzymujemy
Przy użyciu operatora możemy ten wzór zapisać następująco
Wyrażenie uważamy formalnie za iloczyn skalarny i wektora prędkości
Wynik tej operacji traktujemy jako operator, którym działamy na dowolną wielkośc skalarną
np. lub wektorową np.
Gdy podstawimy to równanie oznacza przyśpieszenie elementu płynu
Składowe przyśpieszenia w układzie współrzędnych kartezjańskich są określone wzorami
Pochodną df/dt dowolnej wielkości f nazywamy pochodną substancjalną. Ma to określony
sens fizyczny, gdyż d/dt oznacza zmiany dla tego samego poruszającego się elementu płynu,
czyli zmiany związane z jego  substancją  .
We współrzędnych Eulera zmiany dotyczące poruszającego soę elementu trzeba
wyrazić przy pomocy pochodnych cząstkowych względem czasu i pkt. Przestrzeni. Pochodna
substancjalna jest sumą pochodnej lokalnej "f / "t wyrażającej zmiany wielkości f w czasie
lecz w tym samym punkcie przestrzeni i pochodnej konwekcyjnej. wyrażającej
zmiany wielkości f przy przejściu z pkt. X,y,z do jego najbliższego otoczenia, co związane jest
z polem prędkości.
14.Pojęcie cyrkulacji. Interpretacja fizyczna i analogia.
Cyrkulacja prędkości wzdłuż odcinka BC krzywej s w ogólnej krzywej przestrzennej, jest to
całka liniowa z iloczynu skalarnego i skierowanego elementu tej lini czyli
Cyrkulacja prędkości wyrażona równaniem wcześniejszym może być również przedstawiona
w następujący sposób:
gdzie - rzut wektora na kierunek
W przypadku całki liniowej po krzywej zamkniętej s , czyli całki cyrkulacja prędkości
wynosi:
Jako dodatni kierunek obchodu zamkniętej linii konturowej przy obliczaniu całki przyjmiejmy
kierunek przeciwny do ruch wskazówek zegara.
Pojęcie cyrkulacji prędkości występuje w zagadnieniach opływu ciał, profili, łopatek itd.
Pojęcie to jest podobne do pojęcia pracy z tym, że zamiast wektora siły występuje wektor
prędkości.
Cyrkulacja prędkości wzdłuż zewnętrznej lini konturowej równa się sumie cyrkulacji wzdłuż
konturów składowych. Zilustrowano to na rys. gdzie linię konturową s podzielono odcinkiem
BD na dwie linie konturowe. Zatem można napisać że:
 gdyż cyrkulacja wzdłuż BD znoszą się z uwagi na przeciwne znaki.
W teorii pola dowodzi się tw. Stokesa, Które dotyczy związku między całką liniową i
powierzchniową. Dla różniczkowalnych pól wektorowych ma ono postać:
gdzie oznacza elementarny skierowany odcinek zamkniętej lini s stanowiącej linię
konturową powierzchni A.
Inaczej tw. Stokesa można napisać:
Twierdzenie formułowane w kategoriach kinematycznych mówi że cyrkulacja prędkości
wzdłuż zamkniętej krzywej s równa się strumieniowi wirowań (rotacji) przechodzącemu przez
powierzchnię A, której brzegiem jest krzywa s.
15.Równania toru i lini prądu, rurka i powierzchnia prądu, struga.
Linia prądu jest to linia pola wektorowego prędkości. Jeśli mamy pole prędkości
o składowych w układzie Kartezjańskim
oraz element linii prądu o skł. Dx, dy, dz to warunek równoległości w każdym
punkcie pola dla dowolnej chwili czasu możemy napisać w postaci
czyli
każda składowa tego iloczynu musi być równa zeru i stąd otrzymujemy równanie lini prądu
W równaniu tym czas występuje jako parametr, od którego zależą wartości Vx, Vy, Vz ale nie
jest on zmienną niezależną. W ruchu nieustalonym obraz linii prądu ma charakter chwilowy,
zależny od wartości t. W ruchu ustalonym obraz linii prądu dla danego przepływu jest
niezmienny w czasie, tzn. kształt każdej linii prądu dla przepływu ustalonego nie zmienia się
w czasie.
Powierzchnia prądu jest to powierzchnia utworzona z linii prądu przecinających
dowolną linię l nie będącą linią prądu. Jeśli linia jest zamknięta, powierzchnia prądu
nazywana jest rurką prądu.
Zbiór linii prądu wypełniających w sposób ciągły rurkę prądu nazywamy włoknem prądu lub
strugą prądu.
Torem elementu płynu nazywamy linię, po której porusza się Element płynu dV traktowany
jako pkt materialny. Gdy elementarny odcinek toru oznaczymy przez o składowych dx,
dy, dz a elementarny odcinek czasu przez dt, to równanie różniczkowe toru jest następujące:
Równania skalarne toru elementu wynikające ze wzoru to:
Czas odgrywa tu rolę zmiennej niezależnej. Ostatnie równanie różniczkowe toru wyrażona za
pomocą składowych malą postać:
16.Przepływy potencjalne.
Prawie zawsze można potraktować w przybliżeniu każdy przepływ przestrzenny jako
przepływ dwuwymiarowy (płaski lub osiowo  symetrycznu). Takie uproszczenie jest
niezmiernie korzystne ze względów matematycznych, gdyż pozwala stosować bardzo
dogodną i dobrze opracowaną teorię funkcji zmiennej zespolonej. W niniejszych
rozważaniach będą omawiane tylko płaski przepływy potencjalne.\
Mimo, że pojęcie potencjału ma charakter abstrakcyjny, to przy jego pomocy
rozwiązuje się szereg ważnych zagadnień praktycznych. W dalszej treści będą podane
przykłady takich rozwiązań.
Zależności podstawowe.
Niektóre podst. pojęcia przepływów potencjalnych, jak potencjał prędkości Ś i
równanie Laplace a, zostały podane przy opisie pola bezwirowego.
Równania Laplace a, tj. równanie dla układu płaskiego ma następującą postać:
Jak wiadomo, ważną cechą równania Laplace a jest jego liniowość, co jest wykorzystywane
przy superpozycji, czyli nakładaniu przepływów. Zagadnienie superpozycji będzie omawiane
w dalszej części treści.
Przyrost potencjału prędkości może być wyrażony jako różniczka zupełna:
17.Przepływy elementarne. Superpozycja przepływów
1. Przepływy elementarne.
a. Przepływ jednostajny.
W ogólnym przypadku, jednostajny przepływ potencjalny odbywa się
z prędkością v skierowaną pod kątem a względem jednej z osi układu,
np. względem osi x. Składowe prędkości vx i vy wynikają z zależności trygonometrycznych.
Potencjał prędkości Ś obliczymy z równania
" Ś " Ś
d Ś = dx + dy
" x " y
Otrzymując
�ł "Ś "Ś �ł
Ś = �ł dx + �łdy
+" �ł �ł
"x "y
�ł łł
"Ś "Ś
Z równań �X = �y= jak i rysunku wynika:
"x "y
"Ś
=� *cosą
x
"x
"Ś
=� * siną
y
"y
stąd
Ś = *cosą *dx +� *sinądy) =�(x*cosą + y*siną)
+"(�
Funkcję prądu obliczymy z równania
"� "�
d� = dx + dy
"x "y
"� "Ś "� "Ś
wiedząc, że = , - = , otrzymamy
"y "x "x "y
� =� * siną + y * cosą )
(-x
Podstawiając do równania f x = Ś + i� otrzymuje się wartość potencjału zespolonego
( )
f z =��ł x+i*y cosą+ =�*z*e-ią(17.1)
( ) ( ) (-i*x+y sinąłł=� x+i*y cosą-isiną)
) ( )(
�ł �ł
Potencjał zespolony wyrażony równaniem ( ) ma zatem postać
f(z)=a*z (17.2)
gdzie a jest liczbą zespoloną.
Jest to potencjał zespolony przepływu jednostajnego.
b. Żródlo płaskie.
y
ródło płaskie może być dodatnie, lub ujemne. y
ródło dodatnie nazywane jest po
prostu z
ródłem, zaś z
ródło ujemne nosi nazwę upustu. Potencjał zespolony wyraża się
równaniem
f(z)=a*lnz (a)
V
V gdzie: a = - liczba rzeczywista,
2 
V-wydajność z
ródła, lub upustu płaskiego.
W układzie współrzędnych biegunowych potencjał zespolony, przy wykorzystaniu
równania z = r * ei� przyjmie postać:
V V
f (z) = Ś + i� = a * ln z = ln(r * ei� ) = (ln r * i�) (17.3)
2  2 
Potencjał prędkości jako część rzeczywista wynosi
V
Ś = ln r
2 
Linie stałego potencjału prędkości są okręgami współśrodkowymi, gdyż dla
Ś = const jest r = const.
Funkcja prądu jako część urojona wynosi
V
ln(r * ei� )
2 
gdzie � -kąt(współrzędna biegunowa).
Linie prądu (� = const) są ortogonalne do linii Ś = const, a więc są prostymi
wychodzącymi z początku układu współrzędnych (� = const).
W z
ródle i upuście istnieje tylko prędkość promieniowa �r gdyż prędkość obwodowa Vu
jest równa zero. Zwrot prędkości �r w z
ródle i upuście jest odwrotny, przy czym przyjmuje się,
że w nieskończenie bliskim otoczeniu punktu środkowego płynu pojawia się lub przestaje
istnieć.
Wartość prędkości �r można znalez
ć w następujący sposób. Różniczkując równanie (a)
df (z) V 1
i wykorzystując równania z=r*ei� i ei� = * otrzymujemy kolejno
dz 2  r
df (z) V 1 V 1
ei� = * = * e-i�
dz 2  r 2  r
df (z) V 1
ei� = *
dz 2  r
V 1
Prędkość �r jako rzeczywista równania wynosi Vr = * ,
2  r
Prędkość �u jest równa zero gdyż część urojona prędkości zespolonej nie istnieje.
c. Wir płaski potencjalny.
W ruchu cieczy nazywamy kołowym, płaskim wirem potencjalnym(swobodnym) cyrkulacja
prędkości po dowolnej krzywej nie obejmującej środka wiru jest równa zero-stąd wir
potencjalny. Cyrkulacja po krzywej jeden raz obejmującej środek wiru jest równa F.
Dla kołowego wiru płaskiego wartość potencjału zespolonego wynosi
f(z)=-i*a*lnz, (17.4)
V
gdzie: a= -liczba rzeczywista,
2 
� - cyrkulacja prędkości.
W układzie współrzędnych biegunowych potencjał zespolony, uwzględniając powyższe
warunki przyjmie postać
� � � �
ł
(z)= Ś + i� = -i * a * ln z = -i ln(r * ei� )= -i (ln r + i�)= � - i * ln r (17.5)
2Ą 2Ą 2Ą 2Ą
�
Potencjał prędkości jako część rzeczywista wynosi Ś = �
2Ą
Linie stałego potencjału prędkości są prostymi wychodzącymi z początku układu
współrzędnych, gdyż dla Ś = const jest Ć = const
Funkcja prądu jako część urojona wynosi :
� 1
Ś = *
2Ą r
Linie prądu są okręgami współśrodkowymi, gdyż dla Y = const jest r = const.
Role Ć i � są dla z
ródła i wiru zamienne. W związku z tym, prędkość promieniowa jest równa
zett| a prędkość obwodowa wynosi :
� 1
� = * (17.6)
u
2Ą r
Ogólnie można powiedzieć, że zamiana ról Ś i � zachodzi w tzw. Przepływach
sprzężonych, którymi są w danym przypadku z
ródło i wir płaski.
d. Dipol.
Dipol, lub z
ródło podwójne płaskie ma miejsce wówczas, gdy odległość
/ pomiędzy z
ródłem i upustem wynosi l " .Obowiązuje przy tym taka zależność, że
odległość l maleje w takim stopniu, w jaki wzrasta strumień objętości V z
ródła
i upustu, czyli l O, V " , przy czym l*V=M = const. Moment dipola M. zostaje stały
i różny od zera.
Potencjał zespolony dipola wynosi
a
f (z) = (17.7)
z
M
gdzie a =
2Ą
Po uwzględnieniu równania z=x+z * y i pomnożeniu licznika i mianownika przez
(x-i * y) otrzymuje się :
M (x - i * y) M (x - i * y)
f (z) = = (17.8)
2 2
2Ą (x2 - i2 * y ) 2Ą (x2 + y )
Potencjał prędkości jako część rzeczywista potencjału zespolonego wynosi :
M * x
Ś = (17.9)
2
2Ą (x2 + y )
Funkcja prądu jako część urojona wynosi
M * x
� = (17.10)
2
2Ą (x2 + y )
Z tych zależności wynika, że linie prądu ( � = const ) stanowią rodzinę okręgów stycznych do
osi x w początku układu, zaś linie Ś = const są także okręgami, lecz stycznymi w początku
układu do osi y.
Okręgi Ś = const i � = const są wzajemnie ortogonalne. Osią dipola jest wspólna
styczna okręgów � = const. Jej zwrot jest zgodny z kierunkiem przepływu.
2. Superpozycja przepływów.
Ważną cechą równania Laplace'a jest jego liniowość wykorzystywana przy
superpozycji, czyli nakładaniu dwóch, lub więcej przepływów potencjalnych.
W przypadku dwóch przepływów można zapisać
f1(z) = Ś1 + i * �1
f2 (z) = Ś2 + i * �2 (17.11)
skąd
f (z) = k1 * f1(z) + k2 * f2 (z) (17.12)
gdzie k1 , k2 - dowolne współczynniki.
W wyniku superpozycji został otrzymany nowy przepływ o potencjale zespolonym
f(z), którego częścią rzeczywistą i urojoną są odpowiednio Ś i �
Ś = k1 * Ś1 + k2 * Ś2
� = k1 * �1 + k2 * �2 (17.13)
Superpozycja może być wykonywana metodą analityczną, lub wykreślną.
W metodzie analitycznej zadanie sprowadza się do znalezienia wypadkowego
(sumarycznego) potencjału zespolonego, a zwłaszcza części urojonej tego potencjału.
W metodzie wykreślnej natomiast należy nanieść linie �1,�2=const, zachowując między nimi
takie odległości, jakie wynikają z równości strumieni objętości obu przepływów,
a więc :
"V1 = "V2 (17.14)
Utworzona w ten sposób siatka linii prądu może być oznakowana w sposób umowny.
Zagadnienie superpozycji sprowadza się właściwie do sumowania wektorów
prędkości.
Szczególne znaczenie w aerodynamice posiadają przypadki superpozycji przepływu
jednostajnego i z
ródła, lub układu z
ródeł.
18.Zasada zachowania masy. Równanie ciągłości
Równanie ciągłości przepływu w wynika z zasady zachowania masy (niezniszczalności
materii). Równanie ciągłości odnosi się tylko do pól bezz
ródłowych tzn. że w żadnym
punkcie pola masy nie może się tworzyć ani znikać.
Równanie ciągłości przepływu ma charakter kinematyczny i z tej racji jest identyczny dla
płynów nielepkich i lepkich. Warunek ciągłości ma jednak inny sens dla płynów
nieściśliwych i ściśliwych.
Dla płynów nieściśliwych (p=const), w objętości kontrolnej musi być zawarta
w każdej chwili tak sama masa płynu, czyli przez powierzchnię kontrolną musi dopływać
i wypływać taka sama masa płynu. Warunek ten jest taki sam dla przepływów ustalonych
i nieustalonych.
W przepływie ustalonym musi być zachowany powyższy warunek, bo masa zawarta
wewnątrz powirzchni kontrolnej jest niezmienna w czasie. W przepływie nieustalonym
natomiast, mogą mieć miejsca lokalne zmiany gęstości płynu, które wywołują różnicę
w bilansie dopływającym przez powierzchnię kontrolną strumieni masy.
1. Sformułowanie ogólne
Równanie ciągłości zostanie wyprowadzone dla trójwymiarowego nieustalonego
przepływu ściśliwego, w którym został wyodrębniony obszar o objętości V otoczony
zamkniętą powierzchnią kontrolną A.
Przyrost masy na obszarze V w czasie dt może nastąpić na skutek dopływu
z zewnątrz
- dt p * vn * dA
+"+"
A
znak minus wynika stąd, że przyrost masy ma miejsce wtedy, gdy przepływ odbywa się
do środka, czyli przeciwnie do jednostkowego normalnego zewnętrznie skierowanego
wektora n.
r
n
Wyrażenie całkowe jest strumieniem masy.
r r r
p * v * n * dA =
+"+" +"+"+"div( p * v)dV
A V
Przyrost masy może, w przypadku nieustalonego ruchu ściśliwego, nastąpić tylko na
skutek lokalnego przyrostu gęstości
"p
dt * dV
+"+"+"
"t
Z równości obydwu wyrażeń otrzymuje się równanie ciągłości w formie całkowej
V
 (a)
"p
dV + p * vn * dA = 0
+"+"+" +"+"
"t
V A
Drugi wyraz równania można przekształcić zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego. Zgodnie
z tym twierdzeniem
r
+"+"+"div( p * v)dV = +"+"( p * vn )dA
V A
Po podstawieniu otrzymuje się
"p r
+"+"+"[ "t + div( p * v)]dV = 0
V
(18.1)
Przy założeniu ciągłości v i p (brak fal uderzeniowych) i z uwagi na dowolność obszaru całkowania
można zapisać to równanie w formie różniczkowej, czyli dla elementu dV
"(p*vy)
"p "(p*vx) "(p*vz)
+ + + =0;
"t "x "y "z
(b)
Równania (a) i (b) są równaniami ciągłości przepływu w postaci całkowej i różniczkowej w zapisie
wektorowym. W zapisie skalarowym równanie (b) przyjmuje postać
"( p *vy )
"p "( p *vx ) "( p *vz )
+ + + = 0;
"t "x "y "z
(c)
Która obowiązuje w kartezjańskim układzie współrzędnych.
Równanie (c) można zapisać w następujący sposób:
�ł �ł
"p "p "p "p "vx "vy "vz
�ł �ł
+ vx * + vy * + vz * + p * + + = 0;
�ł �ł
"t "x "y "z "x "y "z
�ł łł
Pierwsze cztery wyrazy stanowią pochodną substancjalną gęstości, a wyrażenie
w nawiasie jest diwergencj ą wektora prędkości. Zatem równanie (b) przyjmie postać:
(18.2)
"p r
+ p*divv = 0
"t
Dla przepływu ustalonego z równania (b) wynika
(f)
r
div( p * v) = 0
czyli
"( p * vy )
"( p * vx ) "( p * vz )
+ + = 0
"x "y "z
(18.3)
Dla cieczy (p = const) z równania (f) otrzymuje się
(18.4)
r
divv = 0
czyli w układzie kartezjańskim
(18.5)
"vx "vy "vz
+ + = 0;
"x "y "z
Inną formą zapisu wektorowego równania (b) jest
"p r r
+ v * "p + p(" * v) = 0
(18.6)
"t
19.Zasada zachowania pędu. Równanie Eulera i Naviera-Stokesa
Równanie zachowania pędu.
Zasadę zachowania pędu zastosujemy do obszaru płynnego V, ograniczonego
powierzchnią płynną A
Zasadę tę sformułujemy następująco: pochodna pędu płynu zwartego wewnątrz V względem
czasu jest równa sumie sil zewnętrznych działających na ten obszar.
Elementarny pęd płynu zwartego w nieskończenie małej objętości dV jest równy
v *� * dV
Pęd płynu zwartego w całym obszarze płynnym jest równy sumie tych wszystkich
pędów elementarnych, którą wyrażamy za pomocą całki
(ilustracja do równania zachowania pędu )
+"+"+"v *� * dV
v
Siły zewnętrzne działające na obszar V podzielimy na siły powierzchniowe i siły masowe
(objętościowe).
Siłami powierzchniowymi będziemy nazywać siły oddziaływania płynu znajdującego się na
zewnątrz obszaru V na płyn znajdujący się wewnątrz V, przyłożone na powierzchni płynnej A.
Na każdym nieskończenie małym elemencie dA działa jednostkowa siła powierzchniowa
N
3
m
wymiarze naprężenia [ ] zwrócona w kierunku obszaru płynnego. Oznaczamy ją przez pA.
Linia jej działania tworzy w przypadku poruszającego się płynu lepkiego pewien kat różny od
zera z kierunkiem jednostkowego wektora normalnego n. Polem sił pA, które jest polem
tensorowym, zajmiemy się szczegółowo przy wyprowadzaniu równań ruchu płynów lepkich.
W przypadku płynu nieruchomego lub nielepkiego jednostkową siłę powierzchniową
wyrażamy za pomocą ciśnienia i zgodnie z tym ci poprzednio powiedzieliśmy o kierunku siły
powierzchniowej, oznaczamy - n p.
Suma sił powierzchniowych działających na całą powierzchnię A będzie określona
całką
pA * dA
+" +"
A
Dla płynu nieruchomego lub płynącego, ale nielepkiego, siła powierzchniowa jest równa
+" +"n * p * dA
A
Siły masowe ( objętościowe ) są to siły wywierane na każdy element masy
q dV zawarty wewnątrz V przez zewnętrzne pola sił ,np. pole grawitacyjne,
elektromagnetyczne gdy płyn jest przewodnikiem elektryczności, odśrodkowe
i Coriolisa - gdy płyn porusza się w wirującym układzie współrzędnych. Załóżmy, że układ
współrzędnych, w który rozpatrujemy ruch jest nieruchomy lub porusza się ruchem
jednostajnym po linii prostej i uwzględniamy tylko siły masowe niezależnie od ruchu płynu
w tym układzie. Reprezentantem pola sił masowych jest siła masowa przypadająca na
jednostkę masy czynnika, czyli mierzymy je w [N/kg] i oznaczamy przez Fm. W przypadku sił
grawitacyjnych będzie to po prostu g, czyli przyspieszenie ziemskie. Suma sił masowych
działających na obszar płynny wynosi zatem
+"+"+"q * Fm * dV
V
Ostatecznie zapisujemy powyższą zasadę zachowania pędu dla całego obszaru
płynnego V, a więc w formie całkowej
pA * dA
+"+"+"q * Fm * dV
+"+" +"+"n * p * dA
V
A A
= =
Zasadę tę wyrazić można również według sformułowania d'Alamberta, które mówi, że
suma sił zewnętrznych i siły bezwładności musi być w każdej chwili równa zeru.
Ponieważ siła bezwładności będzie tutaj równa
dv
- * q * dV
+"+"+"
dt
V
To zamiast powyższego wzoru można zapisać
Z powyższych dwóch równań wynika, że istnieje tożsamość
d dv
+"+"+"q * v * dV = +"+"+"q * dt * dV
dt
V V
Której udowodnienie jest możliwe na innej drodze rozumowania. Należy podkreślić że wyżej
napisana równość (tożsamość) obowiązuje również w przypadku, gdy zamiast v podstawimy
w niej dowolny inny skalar lub wektor.
Analogicznie do zasady zachowania pędu możemy napisać zasadę zachowania krętu.
d
+"+"+"(r � v)q * dV = +"+"(r � pA )dA + +"+"+"q(r � Fm )dV
dt
V A V
Zasada zachowania pędu.
Zasadę zachowania pędu zastosujemy do obszaru płynnego V, ograniczonego powierzchnią
płynną A. Zasadę tę sformułujemy następująco: pochodna pędu płynu zawartego wewnątrz F
względem czasu jest równa sumie sił zewnętrznych działających na ten obszar.
Elementarny pęd płynu zawartego w nieskończenie małej objętości dVjest równy
v * p * dV . Pęd płynu zawartego w całym obszarze płynnym jest równy sumie tych
wszystkich pędów elementarnych, którą wyrażamy za pomocą całki
r
(19.1)
+"+"+"v * p * dV
V
Siły zewnętrzne działające na obszar V podzielimy na siły powierzchniowe i siły
masowe(objętościowe).
Siłami powierzchniowymi będziemy nazywać siły oddziaływania płynu znajdującego się
wewnątrz V, przyłożone na powierzchni płynnej A. Na każdym nieskończenie małym
elemencie dA działa jednostkowa siła powierzchniowa zwrócona w kierunku obszaru
płynnego. Oznaczymy ją przez pA. Linia jej działania tworzy w przypadku poruszającego się
płynu lepkiego pewien kąt różny od zera
z kierunkiem jednostkowego wektora normalnego
r
W przypadku płynu nieruchomego, lub nielepkiego jednostkową siłę powierzchniową
n
r
wyrażamy za pomocą ciśnienia i zgodnie z tym oznaczamy - .p.
n
Suma sił powierzchniowych działających na całą powierzchnię A będzie określana całką.
r
p * dA
+"+"
Dla płynu nieruchomego, lub płynącego, ale nie lepkiego, siła
A
A
powierzchniowa jest równa
r
- * p * dA
+"+"n
A
(19.3)
Siły masowe(objętościowe) są to siły wywierane na każdy element masy p *dV zawarty
wewnątrz V przez zewnętrzne pola sił, np. pole grawitacyjne, elektromagnetyczne-gdy płyn
jest przewodnikiem elektryczności, odśrodkowe i Coriolisa-gdy płyn porusza się w wirującym
układzie współrzędnych. Załóżmy, że układ współrzędnych, w którym rozpatrujemy ruch jest
nieruchomy, lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej i uwzględniamy tylko siły
masowe niezależne od ruchu płynu
w tym układzie. Reprezentantem pola sił masowych jest siła masowa przypadająca na
jednostkę masy czynnika, czyli mierzymy jaw [N/kg] i oznaczamy przez Fm. W przypadku sił
grawitacyjnych będzie to po prostu g, czyli przyśpieszenie ziemskie. Suma sił masowych
działających na obszar płynny wynosi zatem
(19.4)
r
p * Fm * dV
+"+"+"
V
Ostatecznie zapisujemy zasadę zachowania pędu dla całego obszaru płynnego V w formie
całkowej
r
d r r
pA * dA +
+"+"+"v * p * dV = +"+" +"+"+"Fm * p * dV
dt (19.5)
V A V
Zasadę tę można wyrazić również według sformułowania d'Alemberta, które mówi, że suma
sił zewnętrznych i sił bezwładności musi być w każdej chwili równa zero.
Ponieważ siła bezwładności będzie tutaj równa
r
dv
- * p * dV ;
+"+"+"
dt
V
(19.6)
to zamiast (19.5) można zapisać
r
r
dv r
* p * dV = pA * dA +
+"+"+" +"+" +"+"+"Fm * p * dV
(19.7)
dt
V A V
Z równań (19.5) i (19.6) wynika, że istnieje tożsamość
r
d r dv
p * v * dV = p * * dv
(19.8)
+"+"+" +"+"+"
dt dt
V V
Tożsamość (19.8) obowiązuje również w przypadku, gdy zamiast v podstawimy w niej
dowolny inny skalar, lub wektor.
2.Równanie Eulera.
Zasadę zachowania pędu w postaci całkowej podaje równanie (19.7). Dla płynu nielepkiego,
gdy podstawimy pA =-n* p, otrzymamy
r
r
dv r
* p * dV + * p * dA -
+"+"+" +"+"n +"+"+"Fm * p *dV = 0
(19.9)
dt
V A V
Stosując twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego do przekształcenia całki wyrażającej
siły powierzchniowe na całkę objętościową, czyli
r
+"+"n * p * dA = +"+"+"gradp * dV
(19.10)
A V
otrzymujemy
r
r
dv
�ł
+"+"+"�ł p * dt + gradp - p * Fmłł * dV = 0
�ł śł
�ł
V
(19.11)
Ze względu na dowolność w wyborze obszaru całkowania V, dla każdego elementu
dV funkcja podcałkowa musi się zerować, czyli dla przepływu o ciągłych zmianach v, p, p
r
będzie
dv r
+ div( p * v) = 0
(19.12)
dt
Równanie (19.12) nazwane równaniem Eulerajest bilansem sił bezwładności, ciśnienia
i sił masowych dla nieskończenie małego elementu płynu o objętości dV podczas ruchu tego
płynu.
Równanie to łącznie z równaniem ciągłości w formie różniczkowej stanowi zamknięty
układ równań wystarczający do rozwiązywania zadań dotyczących przepływów cieczy
nielepkiej. Mamy wtedy cztery niewiadome �x, �y,�z, p i cztery równania skalarne.
Przepływy gazu doskonałego opisujemy za pomocą układu
(19.13)
dp r
+ div( p * v) = 0
dt
r
r
dv 1
+ gradp = Fm
(19.14)
dt �
3.Równania Naviera-Stokesa.
Równanie zachowania pędu płynu lepkiego w postaci całkowej dla skończonego obszaru
płynnego V podałem jako równanie (19.7). W przypadku obszaru V, w którym występują
ciągłe zmiany parametrów , p,pitd., równanie zachowania pędu można wyrazić dla
elementów objętości dV, czyli w formie różniczkowej. Przejście z formy (19.7) do
różniczkowej wymaga przedstawienia wszystkich występujących w (19.7) sił jako sił
objętościowych. W równaniu (19.7) siłą powierzchniową jest
r
pA * dA
+"+"
A
r r r
v
Korzystając z zależności znanych A
p = px * nx + py * ny + pz * nz
i analizy wektorowej wzorów na przekształcenie całek powierzchniowych na objętościowe,
r
r r
�ł �ł
r r r "px "py "pz
(pX * nX + py * ny + pz * nz )dA =
+"+" +"+"+"�ł "x + "y + "z �ł
�ł �łdV
A V �ł łł
mianowicie
możemy (19.7) zapisać w następującej formie
r
r
r r
r
�ł
�ł �ł
"px "py "pz łł
dv
(19.15)
+"+"+"�ł p * dt - p * Fm - �ł "x + "y + "z �łśł * dV = 0
�ł �łśł
�ł
V �ł łł
�ł �ł
Z powyższego równania widać, że wyrażenie typu jest
charakterystyczne dla siły powierzchniowej, przypadającej na jednostkę objętości.
Ze względu na dowolność obszaru V musi być spełniony warunek zerowania się funkcji
podcałkowej, czyli
r
r r r
r
"px "py "pz
dv
p * = p * Fm + + +
dt "x "y "z
Jest to najogólniejsze równanie zachowania pędu w formie różniczkowej. Zwane ono jest
również równaniem pędu w naprężeniach. Można je przepisać jako trzy równania skalarne
wykorzystując związki
r
r r
r
px = i * pxx + j *� + k *�
xy xz
r
r r
r
otrzymujemy
py = i *� + j * pyy + k *�
yx yz
r
r r
r
pz
zx pxx "� * "�
zy
dvx= i *� + j"*� + k xy pzz xz
p * = p * X + + +
dt "x "y "z
dvy "� "pyy "�
yx yz
p * = p *Y + + +
dt "x "y "z
"�
dvz "� "pzz
zy
zx
p * = p * Z + + +
dt "x "y "z
(19.16)
Aby uzależnić występujące w tym równaniu składowe naprężeń od parametrów przepływu musimy
skorzystać z hipotez dotyczących związku między naprężeniami i odkształceniami elementu płynu,
które są wyrażone poprzez pola prędkości. Hipotezy te pochodzą z obserwacji empirycznych.
Skorzystamy z hipotezy Newtona mówiącej, że naprężenia w poruszającym się płynie są
proporcjonalne do prędkości deformacji elementu płynu. Gdy zastosujemy prosty newtonowski
r
"px
model przepływu między dwoma warstwami cieczy T = � * i porównamy go z ogólniejszym
"x
odkształceniem postaciowym elementu płynu, to zauważymy, model Newtona opisuje szczególny
przypadek odkształcenia.
Z
"Vy
Vy +
dz
"z
dz Vz=0
d�
�
�
�
dą
ą=0
ą
ą
Vy Y
"� "�
W modelu Newtona Z X Y Y i wszystkie wyrazy tensora prędkości
� =� = = = 0
"x "y
deformacji elementu płynu sprowadzają się zgodnie ze wzorami
�ł �ł
d ą + d � 1 " v " vY 1
Z
= �ł + �ł = Ś
X
�ł �ł
2 dt 2 " y " z 2
�ł łł
dvy "vx
do członów
+ = Śz
dx "y
"vX "vZ
+ =ŚY
"z "x
"vy
1
+
2 "z
(19.17)
Hipoteza Newtona mówi w tym przypadku, że naprężenie �yz wynosi
"v
y
� = � *
yz
"z
(19.18)
Jeśli przyjmiemy, że naprężenia zawsze proporcjonalne do prędkości deformacji, czyli w tym
przypadku na podstawie (19.17)
1 "vz
� = k1 * * ,
yz
2 "z
(19.19)
gdzie k1-współczynnik proporcjonalności między tensorem deformacji i naprężeń.
Porównując (18) i (19) widzimy, że:
k1 = 2� (19.20)
Jeśli przeniesiemy ten rezultat na ogólne przypadki płynu, opisanych członami Ś tensora
deformacji
1 1
� Ś Ś
z z y
2 2
1 1
[T ] = Ś � Ś ,
d z y x
2 2
1 1
Ś Ś �
y x z
2 2
to porównując tensory
r r
pA = n*[ ]
p � �
xx yx zx
[  ] = � p � ,
xy yy zy
� � p
xz yz zz
i
"vy "vx
�ł �ł
"vx "vx "vzŚ
1 1
�ł �ł
�ł �ł
+ +
�ł �ł
�ł �ł
"x 2 "x "y 2 "z "x
�ł łł
�ł łł
"vy "vx "vy
�ł �ł
1 1
�ł �ł
[Td ]= + Ś ,
x
�ł �ł
2 "x "y "y 2
�ł łł
1 1
Ś Ś �
y x z
2 2
otrzymamy:
" v
�ł �ł
" v
y
x
�ł �ł
� = � * + ,
xy
�ł �ł
" x " y
�ł łł
" v
�ł �ł
" v
y
z
�ł �ł
� = � * + ,
yz
�ł �ł
" x " y
�ł łł
" v " v
�ł �ł
x z
� = � * + ,
�ł �ł
zx
" z " x
�ł łł (19.24)
Wyjaśnimy teraz strukturę naprężeń normalnych pxx , pyy , pzz , występujących
przekątnej tensora naprężeń.
Przyjmiemy, że ciśnienie musi być zwarte we wzorach określających pxx , pyy , pzz .
r
Gdy pędkość czynnika , to naprężenia normalne są sobie równe i
v = 0
równe ciśnieniu, a więc
pxx+pyy+pzz= -3p
(19.25)
Znak minus przy ciśnieniu wiąże się z wyjaśnionym już związkiem: dla v=0 jest
r r
pA = -n * p Jednoczenie suma naprężeń normalnych na podstawie ogólnych
twierdzeń rachunku tensorowego jest stała i wynosi -3p również, gdy
r
v `" 0
Prędkości wydłużeń elementu płynu Ex , Ey , Ez muszą się wiązać
z naprężeniami normalnymi. Dla cieczy, gdzie divv =0, naprężenia normalne
możemy następująco uzależnić od prędkości wydłużeń:
" v
X
p = - p * k * � = - p + 2 � *
XX 1 X
" x
" v
Y
p = - p * k * � = - p + 2 � *
YY 1 Y
" y
" v
Z
p = - p * k * � = - p + 2 � *
ZZ 1 Z
" z
(19.26)
Miarą dodatkowego odkształcenia objętości gazów jest różna od zera wartość
divv. Przyjmujemy zatem, że dla gazów naprężenia normalne dodatkowo zależą od
divv,
a więc:
r
p = - p + k * � + k * div v
XX 1 X 2
r
p = - p + k * � + k * div v
YY 1 Y 2
r
p = - p + k * � + k * div v
ZZ 1 Z 2
(19.27)
Sumując stronami równanie (19.27) z uwzględnieniem (19.25) otrzymamy
- 3 p = -3 p + k1 * divv + 3k2 * divv,
stąd
k 2
1
k = - = - �
2
3 3
(19.28)
Ostatecznie piszemy związki naprężeń normalnych z polem prędkości dla gazów:
" v 2 r
X
p = - p + 2 � * - � * div v
XX
" x 3
" v 2 r
Y
p = - p + 2 � * - � * div v
YY
" y 3
" v 2 r
Z
p = - p + 2 � * - � * div v
ZZ
" z 3
(19.29)
Dla cieczy zależności te sprowadzają się do (19.26). Do równania (19.16)
podstawimy związki naprężeń z polem prędkości i ciśnień. Dla pierwszego z równań
(19.16) otrzymujemy w wyniku drobnych przekształceń przy założeniu, że � = const,
(19.30)
�ł �ł �ł �ł
"vX "p "2vX "2vX "2vX �ł �ł "2vX "2vX "2vX �ł 2 " r
�ł
p * = p * X - +� *�ł + + +� *�ł + + - � * *divv
�ł
"t "x "x2 "y2 "z2 �ł �ł "x2 "x"y "x"z 3 "x
�ł łł łł
stąd:
dv 1 "p 1 " r
X 2
= X - * + v + " * v + v * * divv
X
dt p "x 3 "x
(19.31)
gdzie lepkość kinematyczna
�
v =
p
Analogicznie można zapisać równanie dla kierunku y i z.
dvY 1 "p 1 " r
= Y - * + v * "2 * vY + v * * divv
dt p "y 3 "y
r
r
dv 1 r 1 r
= Fm - gradp+ v *"2 *v + v * graddivv
dt p 3
(19.32)
Układ (19.31) i (19.32) możemy zapisać w postaci wektorowej
dv r
1 "p 1 "
Z 2
= Z - * + v * " * vZ + v * * divv
dt p "z 3 "z
(19.33)
Jest to równanie zachowania pędu płynu lepkiego, ściśliwego w formie
różniczkowej, tzw. Równanie Naviera-Stokesa. Dla cieczy odpada ostatni człon
równania ze względu na to,ze divv = O. Dla płynu nielepkiego v = O i równanie
(19.33) przechodzi w równanie Eulera (19.12).
Równanie (19.33) jest najogólniejszym równaniem pędu jakie znamy dla
nieustalonych trójwymiarowych przepływów lepkiego płynu newtonowskiego.
Fizycznie uzasadnionym warunkiem brzegowym, który stosuje się przy
rozwiązywaniu równań N - S jest znikanie prędkości na nieruchomych ściankach
kanałów lub ciał opływanych. Gdy ścianka porusza się, prędkość płynu na niej
równa się prędkości ścianki.
Rozwiązanie analityczne równania (19.33) jest możliwe tylko dla bardzo
uproszczonych jego postaci. Metody numeryczne i wykorzystanie maszyn
cyfrowych umożliwiają rozwiązanie tego równania w szerszym zakresie. Jednakże
nawet metody numeryczne nie zezwalają obecnie na teoretyczne rozwiązywanie
dowolnych przepływów lepkich w oparciu o równanie N - S. Problemy te zostaną
szczegółowiej omówione w dalszym ciągu tego rozdziału. Równanie N- S jest
podstawą w badaniu zjawisk podobieństwa przepływu płynów bez potrzeby ich
rozwiązywania.
20. Równanie Daniela Bernoulliego
Przy następujących założeniach :
1. Płyn jest nielepki ( m�, = 0 )
2. Przepływ jest stacjonarny
3. Pole sił masowych ma potencjał II ( f = -grad II )
4. Płyn jest barotropowy ( m�=m�(p) )
Równanie za chowania ilości ruchu można zapisać następująco:
2
�ł łł
du u
+ grad + P( p) + śł = u � rotu
�ł
dt 2
�ł �ł
Trójmian
u2
E = + P( p) + 
2
nazywamy trójmianem Bernoulliego.
Jest pięć przypadków stałości tego trójmianu:
gradE = u � rotu
1.
dE
gradE * I = = 0
ds
I - wektor jednostkowy
dE
= 0
ds
dE
gradE * Iw = = 0
dw
2.
Iw,- wektor styczny do linii wirowej
dE
= 0
dw
3. rotu = u
u � rotu = u � u
stąd
grad E = 0
4. rotu=0
grad E = 0
5. Dla u=0
E = P( p) +  = const
Stałość trójmianu Bernoulliego wykazana dla pięciu przypadków, stanowi podstawę
do sformułowania równania Bernoulliego. Ma ono postać:
u2
+ P +  = const = E
2
ERROR: syntaxerror
OFFENDING COMMAND: --nostringval--
STACK:
(ZALICZENIE Z MECHANIKI PŁYN W _Czarno-Bia! e_Wojnar Brak )
/Title
()
/Subject
(D:20041124224136)
/ModDate
()
/Keywords
(pdfcreator Version 0.8.0)
/Creator
(D:20041124224136)
/CreationDate
(root)
/Author
-mark-