1. Równanie równowagi
1 "p
X = Å"
Á "x
ëÅ‚ öÅ‚
1 "p 1 "p "p "p dp
Y = Å" Ò! Xdx + Ydy + Zdz = ìÅ‚ dx + dy + dz ÷Å‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
Á "y Á "x "y "z Á
íÅ‚ Å‚Å‚
1 "p
Z = Å"
Á "z
X, Y, Z  siła składowa w określonym kierunku  składowa jednolita
z
Zdm
"p
ëÅ‚
Xdm
p + dxöÅ‚dydz
ìÅ‚ ÷Å‚
"x
íÅ‚ Å‚Å‚
Ydm
pdydz
x
dz dy
dx
y
Element płynu dV=dxdydz jest w równowadze, gdy rzuty sił na osie układu są równe 0
"p
ëÅ‚
Xdm + pdydz - ìÅ‚ ÷Å‚
p + dxöÅ‚dydz = 0
"x
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ "p öÅ‚
Ydm + pdxdz - ìÅ‚ p + dy÷Å‚dxdz = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
"y
íÅ‚ Å‚Å‚
"p
ëÅ‚ öÅ‚dxdy
Zdm + pdxdy - ìÅ‚ ÷Å‚
p + dz = 0
"z
íÅ‚ Å‚Å‚
1
2. Zasada działania manometru U-rurkowego
Manometr u-rurkowy służy do pomiaru różnicy ciśnień na podstawie różnicy wysokości
cieczy manometrycznej
p1 p2
hm
h2
h1
0
"p = hm = h2 - h1
Dla powierzchni ekwipotencjalnej na poziomie 0, równowaga ciśnień:
p1 + gÁhm + gÁmh1 = p2 + gÁmh2
Ám - gÄ™stość cieczy manometrycznej
Á - gÄ™stość mierzonego oÅ›rodka
"p = p1 - p2 = g(Ám - Á)hm
3. Parcie cieczy na ścianę płaską, moment statyczny powierzchni
pa
z dF Ä…
N  środek parcia
zs
S  środek ciężkości
zN F
dA
x
S(xs,ys)
N
xn
yN
y
A
2
Rozpatrujemy parcie cieczy na powierzchnię A1, która jest fragmentem płaskiej ściany
zbiornika
Parcie elementarne wynosi:
"F = phdA = gÁzdA ph  ciÅ›nienie hydrostatyczne
We wzorze pomięto pa bo zbiornik jest otwarty.
Åšciana zbiornika nachylona jest pod kÄ…tem Ä…
F  wypadkowa siła parcia skierowana prostopadle do powierzchni ściany zbiornika jest sumą
parć elementarnych dF
Parcie działa na pow. A o środku ciężkości S
F = phdA = gÁ = gÁzs A = ps A
+"+" +"+"zdA
A A
ps  cieśninie hydrostatyczne na głębokości zs
z = y Å" sinÄ… Ò! F = gÁ sinÄ… ydA
+"+"
A
M = ydA = ys A - Moment statyczny powierzchni A względem osi x, odgrywa rolę w
x
+"
A
I
xo
związku: zn = zs + , gdzie: Ixo - moment bezwładności powierzchni A względem osi x0
M
x
4. Parcie płynu na ciała zanurzone
x Fz2
z
Fx Fx Ax
Fz1
Wypadkowa parcia w poziomie = 0. ponieważ siły się równoważą
W kierunku pionowym:
Fz = Fz1 - Fz 2
Fz1  parcie do góry równe ciężarowi cieczy nad dolną powierzchnią ciała
Fz2  parcie do dołu równe ciężarowi cieczy nad górną powierzchnią ciała
Wypadkowa parcia do góry jest równa ciężarowi cieczy o tej samej objętości co objętość
ciała. Wypadkowa skierowana do góry  wypór
W = Fz = gÁV
Na ciało zanurzone w cieczy działa ciężar ciała Gs oraz wypór Ws
a) Gs < Ws
Ciało będzie się wynurzać, aż do momentu gdy część będzie nad lustrem płynu (jak bryły
lodowe). Stan równowagi zostanie osiągnięty, gdy siła wyporu części zanurzonego ciała
będzie równa ciężarowi ciała  ciało będzie pływać
3
b) Gs = Ws
Ciało pływa na dowolnej głębokości  w teorii. W praktyce ustala się głębność pływania na
podstawie różnicy gęstości będącej funkcją temperatury lub ciśnienia zależną od głębokości
zanurzenia.
c) Gs > Ws
Ciało tonie
5. Ruch obrotowy elementu płynu
z
É
zR
zo
za a
-g
r
R
É = const
2
X = rÉ
Y = 0
Z = - g
2
ëÅ‚ öÅ‚
dp r
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
= rÉ dr - gdz Ò! p = Á É - gz + c
+" +" +" ìÅ‚ ÷Å‚
Á 2
íÅ‚ Å‚Å‚
pa = -Ágza + c Ò! c = pa + Ágza
zR - za = 2(zo - za )
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
r2 (rÉ)
(RÉ)
ìÅ‚ ÷Å‚
p = pa + ÁìÅ‚ É2 - gz + gza ÷Å‚ Ò! z = za +
za = zo -
2 2g
4g
íÅ‚ Å‚Å‚
6. Niezmienniki tensora symetrycznego
Przez niezmiennik tensora symetrycznego rozumiemy wyrażenie utworzone ze składowych
tensora. Wartość tego wyrażenia nie zmienia się przy przekształcaniu układu współrzędnych.
W celu znalezienie niezmienników należy rozważyć równanie charakterystyczne tensora
symetrycznego.
det aij -Å›Áij = 0 po rozpisaniu:
3 2
Å› - I1Å› + I2Å› - I3 = 0
I1 = aii = a11 + a22 + a33
1
2 2 2
I2 = (aiiajj - aijaji)= a11a22 + a22a33 + a33a11 - a12 - a23 - a31
2
2 2 2
I3 = det aij = a11a22a33 + 2a12a23a31 - a11a23 - a22a31 - a33a12
4
Wyrażenia I1, I2, I3 noszą nazwę I, II, III niezmiennika tensora. Wszystkie kombinacje
niezmienników są również niezmiennikami. W szczególnym przypadku gdy I niezmiennik
tensora jest równy 0 nazywamy go dewiatorem. Każdy tensor symetryczny można
przedstawić w postaci dewiatora i tensora kulistego (aksjatora) am
1
sij = aij - akk´ij
3
1
am´ii = akk´ij
3
7. Metoda Lagrange'a do opisywania ruchu płynu
Polega na opisywaniu zmian w czasie wielkości fizycznych lub wektorowych w punkcie
który porusza się wraz z badanym ośrodkiem. Za każdym razem opisujemy ten sam punkt
materialny. Niezbędne jest wybranie konkretnej cząstki  można tego dokonać poprzez
opisywanie jej położenia dla chwili t0, a następnie śledzenia jej w czasie t.
z
vx2
2
1
vx1
z2
z1
x
y2
x1 y1
y x2
W punkcie [1] składowe pola prędkości wynosi vx1 natomiast dla punktu [2] vx2
vx = f (x(t), y(t), z(t),t)
Metoda Lagrangea stosowana jest przy opisie układów nieustalonych (zmiennych w czasie),
zmianÄ™ pola opisuje pochodna substencjalna (materialna)
dÈ "È "È "È "È
= + vx + vy + vz
dt dt "x "y "z
Pochodna substencjalna składa się ze składowej opisującej lokalną zmianę w czasie wielkości
È oraz skÅ‚adowej konwekcyjnej zmiany tej wielkoÅ›ci
5
8. Odkształcenie elementu płynu, tensor prędkości deformacji, tensor rotacji.
Miarą odkształcenia elementu płynu jest tensor prędkości deformacji dij
W chwili t prędkość elementu płynu w pkt O(x,y,z)opisana jest jako:
vx(x, y, z) vy(x, y, z) vz(x, y, z)
dla tej samej chwili w punkcie oddalonym o dx, dy, dz prędkość płynięcia wynosi
"vx "vx "vx
vx1 = vx + dx + dy + dz
"x "y "z
"vy "vy "vy
vy1 = vy + dx + dy + dz
"x "y "z
"vz "vz "vz
vz1 = vz + dx + dy + dz
"x "y "z
O deformacji decydują gradienty prędkości, które mogą być zapisane w postacie tensora
"vx "vx "vx
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y "z
ìÅ‚ ÷Å‚
"vy "vy "vy ÷Å‚
"vi ìÅ‚
Gij = Ò! Gij =
ìÅ‚ ÷Å‚
"xj "x "y "z
ìÅ‚ ÷Å‚
"vz "vz "vz ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
Tensor ten można rozłożyć na tensor symetryczny i antysymetryczny
a) tensor symetryczny jest tensorem prędkości deformacji i określa odkształcenie elementu
płynu
ëÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
"vx 1 "vx "vy 1 "vx "vz
ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚ + ÷Å‚ +
ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x 2 "y "x 2 "z "x
ìÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
"vy "vx "Vy "vy "vz
1 "vi "vj öÅ‚ ìÅ‚ 1 ëÅ‚ öÅ‚ 1 ëÅ‚ öÅ‚÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
dij = + = ìÅ‚ + ÷Å‚ ìÅ‚ + ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚
2 "xj "xi ÷Å‚ ìÅ‚ 2 "x "y "y 2 "z "y
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚
ëÅ‚
1 "vz "vx 1 "vz "vy öÅ‚ "vz ÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ + ìÅ‚ + ÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "x "z 2 "y "z "z
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
b) tensor antysymetryczny określa prędkość kątową obrotu elementu płynu
ëÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 "vx "vy 1 "vx "vz
ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚
ìÅ‚
0 ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ - ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "y "x 2 "z "x
ìÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
"vy "vx "vy
ëÅ‚
1 "vi "vj öÅ‚ ìÅ‚ 1 ëÅ‚ öÅ‚ 1 "vz öÅ‚÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
Éij = - = ìÅ‚ - ÷Å‚ 0 ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚
2 "xj "xi ÷Å‚ ìÅ‚ 2 "x "y 2 "z "y
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ëÅ‚
1 "vz "vx 1 "vz "vy öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ - ÷Å‚ 0 ÷Å‚
ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "x "z 2 "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
6
9. Tensor naprężenia elementu płynu
ëÅ‚ pxx Ä Ä öÅ‚
xy xz
ìÅ‚ ÷Å‚
pij = Ä pyy Ä
ìÅ‚ ÷Å‚
yx yz
ìÅ‚Ä Ä pzz ÷Å‚
zx zy
íÅ‚ Å‚Å‚
Pierwszy indeks oznacza kierunek normalny do ścianki, a drugi kierunek składowy siły
powierzchniowej; Siły powierzchniowe działają na każdą ściankę elementu płynu. Na każdej
Å›cianie wystÄ™puje jedno naprężenie normalne (pii) i dwa naprężenia styczne (Ä )
ij
"Ä
zx
Ä + dz
zx
"z
"pzz
pzz + dz
z
"z
"Ä
zy
Ä + dz
zy
"z
Ä pyy
yx
Ä
xy
pxx Ä 4
yz
8 5
7
Ä 9 6
xz
x
Ä
zy
Ä
zx
pzz
y
"Ä
"Ä "pxx
xy
xz
4)Ä + dx 5) pxx + dx 6)Ä + dx
xz xy
"x "x "x
"Ä "Ä "pyy
yx yz
7)Ä + dy 8)Ä + dy 9) pyy + dy
yx yz
"y "y "y
pab:
a  oś prostopadła do płaszczyzny
b  kierunek działania
7
10. Równania Naviera-Stokesa
Równania opisują ruch płynu lepkiego i ściśliwego
"vx 1 "p µ µ "
= X - + ("2vx)+ (divv)
dt Á "x Á 3Á "x
"vy 1 "p µ
µ "
= Y - + ("2v )+ (divv)
y
dt Á "y Á 3Á "y
"vz 1 "p µ µ "
= Z - + ("2vz)+ (divv)
dt Á "z Á 3Á "z
11. Równania ciągłości przepływu
Wyraża prawo zachowania masy. Rozpatrujemy objętość kontrolną V, ograniczoną
powierzchnią A. Dla objętości V możemy napisać, że strumienie masy przepływającej
(dopływ-odpływ) przez powierzchnię A muszą równać się akumulacji masy
&
m = dt
+"+"ÁvdA
A
masa zakumulowana w objętości V jest
równa:
" Á
m = V dt
" t
Dodając do siebie te dwie wielkości
otrzymujemy równania ciągłości
przepływu
"Á 1
+
+"+"ÁvdA = 0
"t V
A
Interpretacja geometryczna:
z
mz+dm
C G
B F
my
mx mx+dm
D
x
my+dm H
A
E
mz
y
8
12. Strumień objętości i masy płynu
îÅ‚ Å‚Å‚
m3
Strumień objętości jest iloczynem skalarnym prędkości v i odpowiednio
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
zorientowanego wektora elementu powierzchni dA [rysunek z zad. 11]
&
V = =
n
+"+"vdA +"+"vndA = +"+"v dA = +"+"vdAcosÄ…
A A A A
kg
îÅ‚ Å‚Å‚
Strumień masy płynu
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
&
m =
n
+"+"ÁvdA = +"+"ÁvndA = +"+"Áv dA = +"+"ÁvdAcosÄ…
A A A A
13. Strumień pędu i reakcja płynu przepływającego przez przewód krzywoliniowy
Wyznaczenie sił jakimi działa płyn będący w ruchu na ścianki przewodu lub na ciała
zanurzone w płynie jest możliwe z równań ruchu. Pomijając siły masowe, strumień pędu
płynu będącego w ruchu można:
pAdA
n
+"+"Ávv dA = +"+"
A A
OznaczajÄ…c przez R przeciwnÄ… co do kierunku
działania siłę z jaką płyn działa na ściankę
R = v1vn dA1 - v2vn dA2 - p1dA1 - p2dA2
1 2 1 2
+"+"Á 1 +"+"Á 2 +"+"n +"+"n
A1 A2 A1 A2
Dla jednorodnych pól prędkości, ciśnień i gęstości
można zapisać:
.
&
R = m(v1 - v2) - n1p1A1 - n2 p2A2
Dla jednowymiarowego przepływu ustalonego:
.
&
Rx = - m(v2 - v1) + p1A1 - p2A2
14. Równanie Bernoulliego
W kilku przypadkach możliwe jest rozwiązanie analityczne rownania ruchu Eulera i
uzyskanie związków miedzy prędkością przepływu i ciśnieniem. Dla ruchu ustalonego:
"v
= 0
"t
w przypadku płynu barotropowego, gęstość płynu zależy tylko od ciśnienia
1
gradp = gradP
Á
Przez P oznaczono funkcję ciśnienia. Ponieważ pole sił masowych jest polem potencjalnym, o
potencjale U
F = gradU
m
9
Dla ruchu bezwirowego:
ëÅ‚ öÅ‚
v2 dp
ìÅ‚ ÷Å‚
dìÅ‚ ÷Å‚ + - dU = 0
2 Á
íÅ‚ Å‚Å‚
U podczas ruchu w ziemskim polu grawitacyjnym:
U = -gz
Współrzędna z jest skierowana pionowo do góry. Całkując równanie Bernoulliego:
v2 p
+ + gz = const
2 Á
Równanie dla płynów doskonałych ma formę równanie zachowania energii. Mnożąc pierwszy
człon przez masę m otrzymujemy energię kinetyczną płynu:
ëÅ‚ öÅ‚
v2
ìÅ‚ ÷Å‚
mìÅ‚ ÷Å‚ = Ek , a trzeci czÅ‚on mgz = Ep - energiÄ™ potencjalnÄ…
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Suma tych energii stanowi energię mechaniczną płynu, która zmieni się w wyniku zmiany
ciśnienia.
Pomnożony drugi człon przez masę to praca sił ciśnienia, która zamyka bilans energii.
Inna postać równania Bernoulliego:
ëÅ‚ öÅ‚
v2
ìÅ‚ ÷Å‚
ÁìÅ‚ ÷Å‚ + p + Ágz = pc = const
2
íÅ‚ Å‚Å‚
po kolei: ciśnienie dynamiczne + ciśnienie statyczne + ciśnienie hydrostatyczne
15. Wypływ płynu do atmosfery przez dyszę, siły działające na kołnierz dyszy
[opracowane na podstawie przykładu 4.1 - Orzechowski]
1
d1 2
v1 v2
p2
p1
A2
A1
Woda wypływa do atmosfery przewodem zwężającym się (dyszą). By wyznaczyć siłę
działającą na śruby łączące kołnierz dyszy z przewodem dolotowym o średnicy d1 musimy
2 2
v1 p1 v2 p2
rozpatrzeć równanie Bernoulliego dla przekrojów [1] i [2] w postaci: + = +
2 Á 2 Á
Ä„d12
Znamy również powierzchnię przekroju A1 = . Korzystając z równania ciągłości:
4
A1v1 = A2v2 i ze zmierzonego ciśnienia w przekroju [1] i [2] (p1 - p2) jesteśmy w stanie
wyliczyć prędkość v2.
Siła działająca na śruby równa jest reakcji R wywieranej przez wodę na dyszę:
R = -Áv1A1(v2 - v1)+ p1 A1 - p2 A2
(Jeśli znane jest tylko nadciśnienie p1 to p2=0)
10
16. Zaburzenia przepływu przy opływaniu przegród
W przepływach rzeczywistych ciecze charakteryzują się lepkością co prowadzi do zaburzeń
przepływu. W wyniku działania sił lepkości warstwy cieczy przylegające do przeszkody
posiadają mniejszą prędkość niż to wynika z przepływów cieczy idealnej. W rezultacie
tworzy się warstwa o określonej grubości która zazwyczaj zwiększa swoją grubość wraz z
przebytą drogą przez płyn. Ponieważ jednak przez przeszkody zewnętrzne warstwy płynu
przyśpieszają, grubość warstwy o prędkości niższej od średniej nie zwiększa się. Za
przegrodą następuje zwolnienie prędkości płynu.
17. Kawitacja, przyczyny powstawania, skutki eksploatacyjne
Kawitacja jest zjawiskiem polegającym na tworzeniu się w cieczy pęcherzy gazu a następnie
ich znikania. Zjawisko to powstaje tam gdzie ciśnienie cieczy spadnie do poziomu ciśnienia
parowania. W rezultacie powstają pęcherze par cieczy, które po przejściu do stref o wyższym
ciśnieniu znikają. W rezultacie powstają silne efekty dynamiczne prowadzące do obniżenia
sprawności systemu tłoczenia oraz do szybkiego zużywania się elementów układów
hydraulicznych przewodów tłoczących. (W momencie zaniku pęcherzy powstają lokalne
skoki ciśnienia sięgające wartości 800 MPa. W rezultacie występuje w tych miejscach szybkie
zużycie ścian, kanałów, łopatek turbin, zaworów itd.)
mała prędkość
woda
T=20oC
duża prędkość
Vo
prędko
krytyczne podciśnienie
18. Podobieństwo zjawisk przepływowych
Przepływy są podobne gdy spełniają podobieństwa:
- geometryczne (definiowane współczynnikiem skali podobieństwa  określa on stosunek
wymiarów modelu do wymiarów obiektu rzeczywistego)
- kinematyczne (odnosi się do pól prędkości modelu i obiektu tzn. linie płynięcia powinny
przebiegać identycznie, przy zachowaniu współczynnika skali)
- dynamiczne (spełniona analiza wymiarowa i bezwymiarowa)
Duże znaczenie praktyczne ma analiza bezwymiarowa  głównie twierdzenie o
podobieństwie zjawisk  jeżeli dwa porównywalne zjawiska są opisywane w postaci
bezwymiarowej identycznym układem równań i warunków brzegowych to zjawiska te są
podobne.
11
 W przypadku przepływów model i obiekt rzeczywisty musza spełniać ten sam układ
równań Naviera-Stokesa
Parametry bezwymiarowy:
x y z
Ć
x = , w
= , Ä™ =
L0 L0 L0
vx vy vz
Ć Ć Ć
vx = ,vy = ,vz =
v0 v0 v0
t p Á
Ć Ć
tĆ = , p = , Á =
t0 p0 Á0
2
ëÅ‚ öÅ‚ Ć ëÅ‚ öÅ‚ Ć ëÅ‚ öÅ‚îÅ‚ Ć Ć Ć Å‚Å‚
L0 dvx gL0 X p0 ÷Å‚ 1 "p ½ vx "2vx "2vx
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ïÅ‚"
= Å" - ìÅ‚
Å" Å" + + +
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚
Ć Ć Ć
v0t0 dtĆ v0 g Á0v0 ÷Å‚ Á "x L0v0 ÷Å‚ "x2 "w
2 "ę2 śł
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ðÅ‚ ûÅ‚
Gdzie wyrażenia w nawiasach są liczbami podobieństwa
v0t0
St = - liczba Strouhala (odgrywa role w przepływach nieustalonych czyli takich z
L0
przyspieszeniami lokalnymi)
2
v0
Fr = - liczba Froude a (określa stosunek sił bezwładności do sił masowych decyduje o
gL0
zjawiskach na powierzchni cieczy)
p
Eu = - liczba Eulera (stosunek ciśnienia statycznego do dynamicznego odgrywa rolę
2
Á0v0
przy dużych prędkościami przepływu)
v0L0
Re = - liczba Reynoldsa (wyraża stosunek sił bezwładności do sił lepkości (Ważna w
½
przepływach lepkich)
19. Przepływ laminarny w przewodzie płaskim
Charakteryzuje się znaczną przewagą sił lepkości nad siłami bezwładności. Poszczególne
warstwy przemieszczają się równolegle względem siebie.
Przepływ między nieruchomymi ścianami płaskimi jest wywołany różnicą ciśnień na wejściu
i wyjściu do kanału.
"p pstr
= - L  droga przebyta przez płyn
"x L
Cechy przepływu:
vy = 0 - brak przepływu w poprzek kanału
vz = 0 - linie prądu równoległe do osi x
vx = v - wypadkowa prędkość
"vx
= 0 - przepływ jest ustalony
"t
"vx
= 0- prędkość vx nie zależy od kierunku x
"x
12
Siły masowe pomija się.
2
d v pstr
Równanie Naviera-Stokesa przyjmuje postać = - , µ =½Á - współczynnik lepkoÅ›ci
dz2 µL
dynamicznej
Po całkowaniu otrzymujemy:
pstr
v = z(s - z) - równanie płaskiego przepływu laminarnego
2µL
pstr
vmax = s2
8µL
2 pstr
v = vmax = s2
3 12µL
20. Przepływ laminarny w przewodzie o przekroju kołowym
W przypadku przepływu laminarnego brak jest ruchu płynu w kierunku prostopadłym do lini
płynięcia. Nie występuje spadek ciśnienia dynamicznego w kierunku prostopadłym do linii
płynięcia i suma ciśnienia strat i ciśnienia hydrostatycznego jest stała.
d
Gradient ciÅ›nienia - (p + Ágz)= const w przekroju przewodu. Naprężenie styczne równe
ds
dv
jest 0 w osi przewodu, a na Å›ciance osiÄ…ga maksimum: Ä = µ . Ze wzglÄ™du na przeciwny
dy
dv dv
zwrot współrzędnych r i y: = - , rozkład prędkości przyjmuje postać:
dy dr
dv - r d r02 - r2 d
îÅ‚-
îÅ‚-
= (p + Ágz)Å‚Å‚ Ò! v = (p + Ágz)Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
dr 2µ ds 4µ ds
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Strumień objętości wynosi:
Ä„r04 d
îÅ‚-
&
V = (p + Ágz)Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
8µ ds
ðÅ‚ ûÅ‚
Średnia prędkość wynosi:
r02 d
îÅ‚-
v = (p + Ágz)Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
8µ ds
ðÅ‚ ûÅ‚
Strata ciśnienia:
d 8µv 8µvL
(p + Ágz)= - Ò! pstr =
ds r02 gÁr02
13
21. Spływ cieczy po ścianie pionowej
W warunkach jednostajnego laminarnego spływu cieczy po ścianie pionowej prędkości w
kierunku prostopadłym do ściany i w kierunku szerokości są równe zero. Nie występują
również zmiany ciśnienia w żadnym kierunku. W rezultacie pozostaje jedynie równanie
Naviera  Stokesa dla kierunku z w postaci:
2
µ d vz ´ ,µ, Á = const
0 = Z + Å"
Á dx2
Z = g
Ág
vz = - x2 + C1x + C2
2µ
warunki :
x = 0 Ò! vz = 0
üÅ‚
ôÅ‚ Ág
Ò! C2 = 0 '" C1 = ´x
dvz żł
x = ´x Ò! vz = vmax Ò! = 0ôÅ‚ µ
dx þÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
Ág x2
vz = ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚´xx ÷Å‚
2µ 2
íÅ‚ Å‚Å‚
´
x
1 Ág
2
v = dx = ´x
+"v
´x 0 z 3µ
Ág
3
&
V = ´v = ´x
3µ
´x - grubość spÅ‚ywajÄ…cej warstwy cieczy
Z przeprowadzonych badań wynika, że otrzymane zależności są słuszne dla niewielkich liczb
Reynoldsa, do zakresu w którym następuje powstawanie fal na powierzchni swobodnej
cieczy.
22. Podstawowe parametry przepływu turbulentnego
Jego cechą jest przestrzenny charakter, w którym elementy płynu poruszają się w sposób
nieustalony . Zaburzenia są wynikiem sił tarcia na powierzchnię ścian przewodu. Utrata
stateczności rozpoczyna się od brzegu strugi i rozprzestrzenia na całą objętość.
Å„Å‚ 2 üÅ‚
vx = vx + vx
ôÅ‚ ôÅ‚
2 2
- parametry przepływu: = vy + vy żł vx - uśredniona składowa prędkości, vx - składowa
òÅ‚v
y
ôÅ‚v = vz + vz ôÅ‚
2
ół z þÅ‚
prędkości pulsacji dla kierunku x
t2
1
- średnia składowa prędkości: vx =
+"v dt , gdzie t2 - t1to przedział czasu
t2 - t1 t1 x
t2
1
2
- średnia składowa pulsacji: vx =
+"v2 dt = 0(składowe są zawsze dodatnie)
t2 - t1 t1 x
- turbulencję przepływu można scharakteryzować za pomocą parametrów bezwymiarowych
- intensywność turbulencji przepÅ‚ywu µ (ogólnie)
2 2
v
µ =
v
14
23. Rozkład prędkości w przepływie turbulentnym
Trudne do określenia na drodze teoretycznej, przy dużych prędkościach zbliżony do rozkładu
prostokątnego charakterystycznego dla przepływu płynów doskonałych (nielepkich).
1
r
öÅ‚n
RozkÅ‚ad prÄ™dkoÅ›ci opisujemy wzorem Prandtla v = vmaxëÅ‚1- ÷Å‚
ìÅ‚
R
íÅ‚ Å‚Å‚
n  zależy od Re i wynosi 6-10 dla przewodów gładkich i 4-5 dla chropowatych.
2
3
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1- ëÅ‚ z öÅ‚2 śł
Rozkład prędkości w przekroju strugi vx = (vx )
ìÅ‚ ÷Å‚
max
ïÅ‚ śł
b
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
gdzie:
(vx ) - prędkość maksymalna w danym przekroju strugi
max
z  rzędna
b  grubość warstwy granicznej
r
1,0
R
0,8
0,6
0,4
0,2
0
v
1,0 0,8 0,6 0,4 0,3 0,2 0
vmax
24. Laminarna warstwa przyścienna - opory przepływu
Laminarną warstwę przyścienną można opisać równaniami Naviera Stokesa.
"vx "vz
+ = 0
"x "z
ëÅ‚ öÅ‚
"vx "vx 1 "p "2vx "2vx ÷Å‚
ìÅ‚
vx + vz = - +½ +
ìÅ‚
"x "z Á "x "x2 "z2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
"vz "vx 1 "p "2vz "2vz ÷Å‚
ìÅ‚
vx + vz = - +½ +
ìÅ‚
"x "z Á "z "x2 "z2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Z równań tych otrzymuje się układ równań Prandtla dla laminarnej warstwy przyściennej
"vx "vz
+ = 0
"x "z
"vx "vx 1 "p "2vx
vx + vz = - +½
"x "z Á "x "z2
"p
= 0
"z
15
Rozwiązanie tego układu równań umożliwia znalezienie rozkładu prędkości na powierzchni, a
"vx
stÄ…d naprężenie stycznego: Älam = µëÅ‚ öÅ‚ , znajomośćÄlam umożliwia obliczenie oporu
ìÅ‚ ÷Å‚
"z
íÅ‚ Å‚Å‚z=0
"p x
przepÅ‚ywu. Dla = 0 grubość warstwy laminarnej wynosi: ´ = 5 , gdzie:
"x
Rex
3
v"x Áµv"
Rex = zaÅ› naprężenie na powierzchni: Älam = 0,332
½ x
25. Turbulentna warstwa przyścienna - opory przepływu
Przy samej powierzchni wystÄ™puje cienka podwarstwa laminarna o gruboÅ›ci ´lam. Powyżej
podwarstwy laminarnej rozkład prędkości ma charakter logarytmiczny. Naprężenie styczne w
turbulentnej warstwie przyściennej są sumą naprężeń laminarnych i naprężeń turbulentnych.
Ä = Älam +Äturb , gdzie Älam - skÅ‚adowa laminarna naprężenia stycznego, Äturb - skÅ‚adowa
turbulentna naprężenia stycznego
W podwarstwie naprężenie styczne jest w przybliżeniu stałe, w rezultacie rozkład prędkości w
tej podwarstwie jest w przybliżeniu liniowy.
W turbulentnej części warstwy (rdzeniu turbulentnym), naprężenie wynosi:
2
"vx
Äturb = ÁL2ëÅ‚ öÅ‚ , gdzie: L - droga mieszania
ìÅ‚ ÷Å‚
"z
íÅ‚ Å‚Å‚
26. Współczynnik tarcia w warstwie przyściennej, wpływ chropowatości przewodu
Straty ciśnienia wskutek tarcia obliczane są ze wzoru Darcy-Weisbacha
L Áv2
pstr =  , gdzie  - współczynnik tarcia wewnętrznego płynu w przewodzie
D 2
prostoliniowym o średnicy D i długości L, inaczej:
64L Áv2
pstr =
Re D 2
64
Współczynnik tarcia:  =
Re
Wpływ chropowatości na wartość współczynnika , a więc i na opory tarcia jest złożony.
Grubość podwarstwy laminarnej decyduje o tym, czy przewód może być uznany za
hydraulicznie gładki
a) k < ´lam (czyli chropowatość bezwzglÄ™dna k mniejsza od gruboÅ›ci podwarstwowej warstwy
laminarnej)  brak wpływu chropowatości na współczynnik tarcia.
b) k > ´lam (zakres przejÅ›ciowy)  wpÅ‚yw chropowatoÅ›ci zmienia siÄ™ wraz ze zmianÄ… liczby
Reynoldsa
c) k >> ´lam (chropowatość bezwzglÄ™dna dużo wiÄ™ksza niż grubość warstwy laminarnej)  w
pełni rozwinięty wpływ chropowatości  współczynnik tarcia  nie zależy od Re.
Chropowatość bezwzględna to średnia wysokość nierównomierności ścian rury.
16
27. Straty ciśnienia podczas tarcia
Straty ciśnienia są wywołane tarciem wewnętrznym płynu w obszarze warstwy przyściennej.
Straty te nazywane też są stratami liniowymi.
L Áv2 L v2
Straty ciśnienia pstr =  zstr = 
t t
D 2 D 2g
Wzór ten umożliwia obliczenie strat ciśnienia wskutek tarcia, dotyczy przepływu laminarnego
i turbulentnego, ale współczynnik  w obu przypadkach przyjmuje inną wartość
28. Straty ciśnienia w wyniku oporów miejscowych
Opory miejscowe są spowodowane zmianą wartości i kierunku prędkości. Zmiany te
zachodzą w różnych miejscach przewodu i są spowodowane takimi przeszkodami, jak kolana,
przewężenia, rozszerzenia, rozgałęzienia.
Áv2
pstr = ¾
m
2
Przy przepływie cieczy stratę często wyraża się w metrach słupa danej cieczy, a mianowicie:
v2
zstr = ¾
m
2g
Współczynniki strat miejscowych ¾ sÄ… okreÅ›lone na drodze doÅ›wiadczalnej.
opracowanie na podst. wykładów: kszyh
17