Mechanika płynów
Dr Tomasz Wajman
Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów
Instytut Maszyn Przepływowych PA

E-mail: [e-mail]
Warstwa przyścienna
Warstwa przyścienna
" Duże wartości Re
" Duże gradienty prędkości = duże siły lepkości.
" Warstwa przyścienna  zmiana prędkości od v = 0 na ściance do wartości
ustalonej v (prędkości przepływu niezakłóconego) z dala od ścianki
y
V V V Umowna grubość
warstwy przyÅ›ciennej ´
v H" 99% v
vx´ H" 99% v
II
II
I
0
x
l
" Grubość warstwy przyściennej << długości opływanego ciała
" W warstwie przyściennej siły lepkości są porównywalne z siłami bezwładności
´
Warstwa przyścienna - przepływ 2D
" Przepływ przyścienny; ruch płaski, ustalony; pomijamy siły masowe
l  grubość opływanej ścianki, v  prędkość przepływu niezakłóconego
Równanie ciągłości
"vx "vy
+ = 0
"x " y
Równanie Naviera Stokesa
ëÅ‚ öÅ‚
"vx "vx 1 " p "2vx "2vx ÷Å‚
ìÅ‚
vx + vy = - +ÅìÅ‚ +
"x " y Á "x "x2 " y2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
"vy "vy "2vy "2vy ÷Å‚
1 " p
vx + vy = - +ÅìÅ‚ +
ìÅ‚
"x " y Á " y "x2 " y2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Przepływ 2D  równanie ciągłości
y
V V V
´ (x)
<<1 Ò!
0 d" x d" l
II
l
0 d" y d" ´ (x)
I
0
x
l
"vx "vy
+ = 0
y
"x " y
"vx v
"vx v
öÅ‚
öÅ‚
v = O(v) v = - dy = OëÅ‚ ´
vx = O(v) vy = - dy = OëÅ‚ ´
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
+"
"x l
íÅ‚ Å‚Å‚
0
"vy
"vx v
v
= OëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ = OëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x l
íÅ‚ Å‚Å‚ " y l
íÅ‚ Å‚Å‚
"vx "vy
+ = 0
"x " y
O(A) - rzędu A
´
Przepływ 2D  równanie N-S (x)
ëÅ‚ öÅ‚
"vx "vx 1 " p "2vx "2vx ÷Å‚
ìÅ‚
vx + vy = - +ÅìÅ‚ +
"x " y Á "x "x2 " y2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2
"2 vx v
" vx v
ëÅ‚ öÅ‚
"vx v2
ëÅ‚ öÅ‚
"vx v2
= OëÅ‚ öÅ‚
= OëÅ‚ öÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= OìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
vx = OìÅ‚ ÷Å‚ vy
" y2 ´2
"x2 l2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
" y l
"x l
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
" vx " vx
(p = O(Áv2))
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 "p Áv2 1÷Å‚ ìÅ‚ v2
<<
ìÅ‚ ÷Å‚
= OìÅ‚ Å" = OìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚
"x2 " y2
Á "x Á l l
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
W warstwie przyściennej siły lepkości są
ëÅ‚ öÅ‚
"2vx v2
ìÅ‚ ÷Å‚
Å = OìÅ‚ ÷Å‚
porównywalne z siłami bezwładności
" y2 l
(człony konwekcyjne po lewej stronie równania)
íÅ‚ Å‚Å‚
"vx "vx 1 " p "2vx
vx + vy = - +Å
"x " y Á "x " y2
Przepływ 2D  równanie N-S (y)
ëÅ‚ öÅ‚
"vy "vy "2vy "2vy ÷Å‚
1 " p
vx + vy = - +ÅìÅ‚ +
ìÅ‚
"x " y Á " y "x2 " y2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
"2vy ÷Å‚ ëÅ‚ öÅ‚
"vy "2vy ÷Å‚
"vy ëÅ‚ öÅ‚ v´
ëÅ‚ öÅ‚ v2´ v
v2´
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ = O
ìÅ‚ ÷Å‚ = OëÅ‚ öÅ‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ vy = OìÅ‚ ÷Å‚ = O
ìÅ‚ ÷Å‚ vy = OìÅ‚ ÷Å‚ = OëÅ‚ öÅ‚
vx = OìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
vx = OìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚
"x2 ÷Å‚ íÅ‚ l3 Å‚Å‚ ìÅ‚
"x2 ÷Å‚ íÅ‚ l3 Å‚Å‚ ìÅ‚
" y l2 " y2 ÷Å‚ íÅ‚ l´
" y l2 " y2 ÷Å‚ íÅ‚ l´
"x l2
"x l2
Å‚Å‚
Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 "p v2
ëÅ‚ v öÅ‚
öÅ‚÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= OìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚vy = OëÅ‚ ´
ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ "2vy "2vy
ìÅ‚
l
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Á " y ´
<<
íÅ‚ Å‚Å‚
"x2 " y2
(p = O(Áv2))
W warstwie przyściennej siły lepkości są
"2vy
ëÅ‚ öÅ‚
v2´
ìÅ‚ ÷Å‚
porównywalne z siÅ‚ami bezwÅ‚adnoÅ›ci ½ Å" = OìÅ‚ ÷Å‚
" y2 l2
(człony konwekcyjne po lewej stronie równania)
íÅ‚ Å‚Å‚
"p
= 0
"y
Warstwa przyścienna - przepływ 2D
Å„Å‚
"vx "vy
+ = 0
ôÅ‚
"x " y
ôÅ‚
ôÅ‚
"vx "vx 1 " p "2 vx
ôÅ‚
+ vy = - +Å
òÅ‚v
Równania Prandtla x
"x " y Á "x " y2
ôÅ‚
ôÅ‚"p
= 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół"y
z r. Bernoulliego
z r. Bernoulliego
dv
dvp
ëÅ‚ öÅ‚ 1 dp
ëÅ‚ öÅ‚ 1 dp
v2 dp
v2 dp
pomijając siły masowe
ìÅ‚ ÷Å‚
dìÅ‚ ÷Å‚ + - dU = 0 Ò!
- = vp
i zakładając znany rozkład prędkości
2 Á
Á dx dx
íÅ‚ Å‚Å‚
vp(x)
na brzegu warstwy przyściennej
Warunki brzegowe dla WP
Å„Å‚
"vx "vy
+ = 0
ôÅ‚
vx(x, 0)= vy(x, 0)= 0
"x " y
ôÅ‚
òÅ‚
vx(x, ´)= vp(x)
ôÅ‚v "vx + vy "vx = vp dvp +Å "2vx
x
ôÅ‚
"x " y dx " y2
vx(x0, y)= vx0(y)
ół
Rozwiązanie daje rozkład prędkości vx i vy. Dalej możemy wyznaczyć naprężenia styczny i siły oporu profili.
Oderwanie warstwy przyściennej
Gdy dochodzi do oderwania warstwy przyściennej wyprowadzone wcześniej
równania przestają obowiązywać.
d p
Oderwanie zachodzi gdy występuje dodatni gradient ciśnienia:
> 0
dx
Na ściance vx = 0
y
vp
y
"vx "vx 1 " p "2 vx
vx + vy = - +Å
vx + vy = - +Å
"x " y Á "x " y2
"x " y Á "x " y2
"vx 1 " p
vy = -
" y Á "x
vx
d p
x
A
= 0
Warunek oderwania
x
dx
"vx
"vx
= 0 ëÅ‚ öÅ‚
"vx
"vx
> 0
< 0 ìÅ‚ ÷Å‚ = 0
"y y=0
"y y=0 ìÅ‚ ÷Å‚
"y y=0 "y
íÅ‚ Å‚Å‚y=0
Oderwanie warstwy przyściennej
W strefie wklęsłego rozkładu prędkości występują wiry (niestacjonarne przepływy).
Na miejsce oderwania ma wpływ kształt tylnej części profilu.
Przepływ wokół cylindra
Przepływ wokół profilu dla dwóch
różnych kątów natarcia
Re<2
a)
2b)
A
40100 000Laminarna warstwa przyścienna
Utrata stateczności w l.w.p. = turbulizacja w.p.
Utrata stateczności zachodzi w pewnej odległości x od początku profilu.
- grubość w.p.
´
y
v Å" x
dla profili smukłych
Ä0 - naprężenia na Å›ciance
Rex =
Ä0
Rex kr = 300 000 ÷ 500 000
Å
V
Dla płaskiej płyty  rozwiązanie równań metodą
0
0
Pohlhausena daje przybliżone wzory
Pohlhausena daje przybliżone wzory
x
x
x
l
Å x 5,85 x
´ (x) = 5,85 =
v
Rex
v3 µ Á vÅ
Ä0 = 0,34 = 0,34V Å" Á
x x
x
Å
Fx = 2 dx Å"b = 1,37b Á v2 Å" x gdzie b  szerokość pÅ‚ytki
0
+"Ä
vx
0
´
Turbulentna warstwa przyścienna
y
vx
0
x
x
x
x
"vx "vy
Równ. ciągłości dla prędkości uśrednionych
+ = 0
"x " y
"(ÄL)
ëÅ‚
"vx "vx öÅ‚ " p "
xy
Równ. pędu w kierunku x
÷Å‚
2 2
ÁìÅ‚vx + vy = - + - (Ávx vy)
ìÅ‚ ÷Å‚
"x " y "x " y " y
íÅ‚ Å‚Å‚
naprężenia
" p
Równ. pędu w kierunku y
= 0
turbulentne
" y
Turbulentna warstwa przyścienna
"vx
Naprężenia laminarne
(Ä ) = µ
L
xy
" y
"vx
Naprężenia turbulentne
2 2
(ÄT) = -Ávx vy = µT
xy
" y
"vx "vy
+ = 0
"x " y
ëÅ‚ îÅ‚
"vx "vx öÅ‚ " p "
x
ìÅ‚ ÷Å‚
ÁìÅ‚vx + vy ÷Å‚ = - + (µ + µT )"v Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
"x " y "x " y " y
íÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
" p
= 0
" y
Turbulentna warstwa przyścienna
TWP bez oderwania
TWP z oderwaniem
a) b)
y y
"w(´)
w
IV
~ ln(´)
IV
IV
III
vx vx
II
I
I  strefa podwarstwowa lepka
wewnętrzna
II  strefa pośrednia
warstwa stałego naprężenia stycznego
III  strefa logarytmicznego rozkładu prędkości
ok. 20% grubości całej warstwy
turbulencje drobnoskalowe
IV  zewnętrzna
Turbulentna warstwa przyścienna
v" - prędkość dynamiczna charakteryzuje skalę prędkości strefy wewn.
ëÅ‚ öÅ‚
"vx ÷Å‚
2
v" Å" Á = Ä0 ìÅ‚
Ä0 = µìÅ‚
÷Å‚
" y
íÅ‚ Å‚Å‚y=0
Rozkład prędkości w turbulentnej WP
v+
35
"w
vx
vx
30
v+ =
v+ =
v"
25
+
2,5 ln y +5
20
y v"
y+ =
15
+
v = y+
Å
10
5
IV
II III
I
1 101 102 103 104 y+
5 30 500
Turbulentna warstwa przyścienna
I. Podwarstwa laminarna
- bardzo cienka (<1% ´)
- dominuje naprężenie laminarne (lepkie)
Ä = Ä0 = const.
y+ d" 5
Ä d v
Ä0 d vx
v v Å" y
vx v" Å" y
= Å
=
Á d y
v" Å
v+ = y+
II. Warstwa buforowa
- naprężenia laminarne równorzędne turbulentnym
5 < y+ d" 30
Turbulentna warstwa przyścienna
III. Warstwa logarytmicznego rozkładu prędkości
- dominują naprężenia turbulentne
30 < y+ d" 300 ÷500
µT = v" Å"l Å" Á
l = º y
l = º y
droga mieszania Prandtla º - staÅ‚a Karmana (º = 0,4)
droga mieszania Prandtla º - staÅ‚a Karmana (º = 0,4)
" vx
2
µT = Á(y º)
" y
1
v+ = ln y+ + C
4.9 d" C e" 5.5
º
IV. Warstwa zewnętrzna (ok. 80% grubości w.p.)
y+ > 300 ÷500
Turbulentna warstwa przyścienna
Aproksymacja Khuna i Nielsena
" w+ Ä„ Å" y
ëÅ‚1- cos öÅ‚
v+ = (2,4 y+ +3 - (3,44+ + 5)e-0 y+ +
ln 5
ìÅ‚ ÷Å‚
154244) 139 y4244,37
4
3
´
III I+II 12 íÅ‚42444Å‚Å‚
44 3
IV
+
w
+ +
"w = -[(2,5ln´ + 5)-(3,39´ + 5)e ]
"w+ = -[(2,5ln´ + 5)-(3,39´ + 5)e-0,37´ ]
y
y
v
v"
"w(´)
v" ´
+ w
´ =
½
IV
~ ln(´)
III
vx
II
I