Mechanika płynów
Dr Tomasz Wajman
Dr Tomasz Wajman
Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów
Instytut Maszyn Przepływowych PA

E-mail: [e-mail]
Reakcja hydrodynamiczna
Reakcje na ścianki kanałów
r
r r
Równanie pędu
Á v vn dA = pn dA +
m
+"+" +"+" +"+"+"F Á dV
w ruchu ustalonym
A A V
r r r
A1, Á1, p1 - Á1 vn1 v1dA1 + Á2 vn2 v2dA2 = -
r
r
+"+" +"+" +"+"n p dA
v1 n1
A1 A2 A1+ A2 + Ab
r r r r
1 2
+"+"n p dA = +"+"n p1 dA1 + +"+"n p2 dA2 + +"+"n p dAb
A1+ A2 + A3 A1 A2 Ab
r
R
A2, Á2, p2
r
r
n2
r
Reakcja oddziaływania
R =
b
r +"+"npdA
płynu na ścianki
v2
Ab
Reakcje na ścianki kanałów
r
r r r r
R = Á1 vn1 v1 dA1 - Á2 vn2 v2 dA2 -
1 2
+"+" +"+" +"+"n p1 dA1 -+"+"n p2 dA2
A1 A2 A1 A2
Dla jednorodnych pól parametrów
A1, Á1, p1
r
w przekrojach kontrolnych:
v1 r
n1
r
r
r r r r
r r r r
&
&
R = m(v - v )- n p A - n p A
R = m(v1 - v2)- n1 p1 A1 - n2 p2 A2
r
&
mv1
r
&
- m v2
r
r
r
- n1 p1 A1
R
- n2 p2 A2 r
R
A2, Á2, p2
r
n2
r r
r r r r
v2
&
Rnetto = m(v1 - v2)- n1"p1 A1 - n2 "p2 A2
Reakcje na opływanie ciała
r
r
n2 v2
r r
A2
v1 = v2 = v
pa
AS
r
Ä…
A1 pa n dA = 0
+"+"
A1+ A2 + AS + Ab
r
r r
n1
v1
Rn pa
Ab
Ab
r r r
- Á1 vn1 v1dA1 + Á2 vn2 v2dA2 = -
+"+" +"+" +"+"n p dA
A1 A2 A1+ A2 + AS + Ab
r r r
+"+"n p dA = +"+"n pa dA + +"+"n p dA
A1+ A2 + AS + Ab A1+ A2 + AS Ab
r r r
=
+"+"n pa dA + +"+"n (pa + "p)dA = +"+"n "p dA
A1+ A2 + AS Ab Ab
Reakcje na opływanie ciała
r
r
n2 v2
r r
A2
v1 = v2 = v
pa
r
AS
Ä… pa n dA = 0
+"+"
A1
A1+ A2 + AS + Ab
r
r r
n1
v1 pa
Rn
Ab
Ab
r
r r r r
- Á v1 v1 dA1 + Á v2 v2 dA2 = -
+"+" +"+" +"+"n "p dAb = -+"+"n (p - pa )dAb = -Rn
A1 A2 Ab Ab
r
&
mv1
r
r
r r
r
r
&
Rn = m(v1 - v2)
Rn = r
R
+"+"n (p - pa)dAb
&
n - mv2
Ab
Reakcje na opływanie ciała
& & & & &
m = m2 + m3 m3 < m2
y
r
v2
r r r
A2
v1 = v2 = v3 = v
x
A1
r
Płyn nielepki  składowe styczne
v1
sił równe zero
r
R
n
Ä…
r
r r r
&
Rn = m(v1 - v2 - v3)
r
v3
A3
r
Ä…
&
mv1
r
Rn
r
r
& &
- mv2
Rn = m Å"v Å"sin Ä…
r
&
- mv3
Reakcje na powierzchnie ruchome
r
r
u
w2
y
A2
r
v2
r r r
w1 = v1 - u
x
pa
Ä…
r
r
r
u
v1
w1 r r
w2 = w1
r
R
Rnw
A
A1
pa
ëÅ‚ öÅ‚
u
& &
ìÅ‚
mw = w1 Á A1 = (v1 - u)Á A1 = mìÅ‚1- ÷Å‚
v1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
r
ëÅ‚ öÅ‚ r r
u
&
ìÅ‚
(w1 - w2)
Rnw = mìÅ‚1- ÷Å‚
v1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Podobieństwo zjawisk
przepływowych
przepływowych
Podobieństwo zjawisk fizycznych
Badania eksperymentalne często prowadzi się na obiektach modelowych,
najczęściej zmniejszonych w odniesieniu do obiektów naturalnych.
Warunki podobieństwa:
- geometryczne (skala podobieństwa geometrycznego)
- kinematyczne (podobieństwo pól prędkości)
- dynamiczne
Główne twierdzenie
o podobieństwie zjawisk
Zjawisko fizyczne jest opisywane przez zestaw pól parametrów fizycznych.
Każde pole fizyczne można przedstawić w postaci bezwymiarowej, dzieląc funkcję
opisującą to pole przez wybraną charakterystyczną wartość tej funkcji.
Dla pola prędkości np. używamy prędkości przepływu niezaburzonego
lub średniej prędkości przepływu przez kanał.
Dwa pola fizyczne nazywamy podobnymi, jeśli przedstawione w postaci
bezwymiarowej (w opisany powyżej sposób) są identyczne.
Jeśli dwa porównywalne zjawiska opisane są w formie
bezwymiarowej identycznym układem równań różniczkowych
i warunków brzegowych, to zjawiska te są podobne.
Główne twierdzenie
o podobieństwie zjawisk
Równanie Naviera-Stokesa dla płynu nieściśliwego
r
r µ = const. = ÅÁ
r
dv 1
r
= Fm - grad p +Å"2v
div v = 0
dt Á
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
"vx "vx "vx "vx 1 "p " vx " vx " vx ÷Å‚
"vx "vx "vx "vx 1 "p "2vx "2vx "2vx ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚
+ v + v + v = X - +Å + +
+ vx + vy + vz = X - +Å + +
ìÅ‚
"t "x "y "z Á "x "x2 "y2 "z2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Charakterystyczne wielkości odniesienia:
l0 - liniowy wymiar charakterystyczny, np. średnica kanału,
t0 - czas charakterystyczny, np. okres dla zjawisk periodycznych,
v0
- prędkość odniesienia, np. prędkość średnia w kanale,
- ciśnienie i gęstość odniesienia odpowiadająca prędkości,
p0, Á0
- przyspieszenie ziemskie, parametr odniesienia dla sił masowych.
g
Główne twierdzenie
o podobieństwie zjawisk
Parametry bezwymiarowe:
Ć
geometryczne - x = x l0 , w
= y l0 , Ä™ = z l0
czasu - tĆ = t t0
Ć Ć Ć
prędkości - vx = vx v0 , vy = vy v0 , vz = vz v0
Ć
sił masowych - X = X g
Ć Ć
ciÅ›nienia i gÄ™stoÅ›ci - p = p p0 , Á = Á Á0
Ć
x = lox
Ć Ć
"vx vo "vx "2vx Å vo "2vx
= Å =
t = totĆ
2
Ć
"t to "tĆ "x2 lo "x2
Ć
vx = vovx
Kryteria podobieństwa przepływów
2
Ć Ć Ć Ć
ëÅ‚ öÅ‚
vo "vx vo Ć "vx Ć "vx Ć "vx
+ ìÅ‚vx + vy + vz ÷Å‚ =
÷Å‚
Ć
to "tĆ lo ìÅ‚ "x "w
"Ä™
íÅ‚ Å‚Å‚
Ć Ć Ć Ć
ëÅ‚ öÅ‚
po 1 "p Å vo ìÅ‚ "2vx "2vx "2vx ÷Å‚
Ć
= g X - + + +
2
Ć Ć Ć
lo Áo Á "x lo ìÅ‚ "x2 "w
2 "Ä™2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ Ć Ć Ć Ć
lo ÷Å‚ "vx Ć "vx Ć "vx Ć "vx
ìÅ‚
+ vx + vy + vz =
ìÅ‚
Ć
vo to ÷Å‚ "t "x "w
"Ä™
íÅ‚ Å‚Å‚
Ć
ëÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ Ć ëÅ‚ öÅ‚ Ć Ć
g lo ÷Å‚ Ć ìÅ‚ po ÷Å‚ 1 "p Å "2vx "2vy "2vx öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= X - + + +
2 2
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚
Ć Ć Ć
vo ÷Å‚ Áo vo ÷Å‚ Á "x vo lo ÷Å‚ ìÅ‚ "x2 "w
2 "Ä™2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
lo 1 g lo 1 po 1 Å 1
= , = , = , =
2 2
vo to St vo Fr Áo vo Eu vo lo Re
Kryteria podobieństwa przepływów
Liczba Strouhala - informuje o proporcji sił wynikających z konwekcyjnych sił
bezwładności do sił powodowanych przez lokalne przyspieszenia.
Odgrywa ona znaczącą rolę przy badaniu przepływów niestacjonarnych i związanych
z tym zjawisk, przede wszystkim przepływów pulsacyjnych (np. samowzbudnych drgań
konstrukcji w niestacjonarnym opływie, opływ struny, ruch śmigła).
vo to lo fo
St = = idem St =
l v
lo vo
Liczba Froude a - podaje proporcję pomiędzy konwekcyjnymi siłami bezwładności
i siłami grawitacyjnymi. Dotyczy głównie zjawisk ruchu cieczy w ziemskim polu
grawitacyjnym z obecnością swobodnej (pofalowanej) powierzchni cieczy.
Ma ona znaczenie w badaniu modeli okrętów oraz np. badaniu wiatru w górach.
2
vo
Fr = = idem
lo g
Kryteria podobieństwa przepływów
Liczba Eulera - podaje dla cieczy proporcję pomiędzy siłami ciśnienia i konwekcyjnymi
siłami bezwładności, ponieważ dla cieczy gęstość i ciśnienie są niezależne od siebie.
W budowie maszyn wodnych liczba ta ma zastosowanie przy analizie zjawisk kawitacji.
po
Eu = = idem
2
Áo vo
Liczba Macha - jest najważniejszym kryterium w dynamice gazów.
Liczba Macha - jest najważniejszym kryterium w dynamice gazów.
2
cp
po 1 ao 1 1
2
ao = º , º = Eu = = = idem
2
Áo cV º vo º Ma2
Liczba Reynoldsa - podaje proporcję pomiędzy konwekcyjnymi siłami bezwładności
i siłami lepkości. Odgrywa ona kluczową rolę w badaniu przepływów płynów lepkich.
lo vo lo vo Áo
Re = = = idem
Å µ
Kryteria podobieństwa przepływów
Z równania energii w formie bezwymiarowej wynikają dwie dodatkowe liczby
podobieństwa:
Liczba Prandtla - podaje dla cieczy proporcję pomiędzy molekularnym współczynnikiem
dyfuzji pędy a molekularnym współczynnikiem dyfuzji energii (ciepła).
Odgrywa rolę w procesach konwekcyjnej wymiany ciepła.
cµ Å Á
cµ Å Á
a  wsp. wyrównywania temp.
a  wsp. wyrównywania temp.
Pr = = = idem, a =
Pr = = = idem, a =
  wsp. przewodzenia ciepła
 a c
c  ciepło właściwe
Liczba Nusselta - Odgrywa rolę w opisie zjawisk przejmowania ciepła z płynu przez
ściankę.
ą  wsp. przejmowania ciepła
Ä… lo
Nu = = idem

Twierdzeniem  (Buckinghama)
Zależności matematyczne pomiędzy wielkościami fizycznymi wyrażające prawa
fizyki nie zależą od wyboru układu jednostek, a wymiar obu stron równań
jest taki sam dla danego układu jednostek.
Jeśli wśród n wielkości fizycznych opisujących dane zjawisko
jest k wielkości wymiarowo niezależnych, to można utworzyć z nich
(n - k) niezależnych bezwymiarowych iloczynów potęgowych.
Te spośród nich, które są zbudowane z wielkości fizycznych będących stałymi,
są parametrami podobieństwa.
Przepływ w rurze kołowej
Ustalony przepływ cieczy w rurze chropowatej o przekroju kołowym zależy od
następujących parametrów:
d - średnicy rury,
v - średniej prędkości transportu masy,
Á - gÄ™stoÅ›ci cieczy,
µ - lepkoÅ›ci dynamicznej cieczy,
"pst/l - spadku ciśnienia (strat tarcia) odniesionego do jednostki jej długości,
k - średniej chropowatości powierzchni wewnętrznej rurociągu.
" pst
ëÅ‚d, v, Á, µ, öÅ‚
f , k = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
l
íÅ‚ Å‚Å‚
µ ~ M1 L-1 T-1
(a4)
Å„Å‚
d ~ L1,
(a1)
ôÅ‚
" p
(a2)
~ M1 L-2 T-2 (a5)
òÅ‚v ~ L1 T-1,
L
ôÅ‚Á ~ M1 L-3,
(a3)
ół (a6)
k ~ L1
Przepływ w rurze kołowej
"p
x1 1 1 x2 2 2 x3 3 3
1 = d vy Áz µ; 2 = d vy Áz ; 3 = d vy Áz k
l
x1 y1 z1
1 = (L0 M0 T0)= (L1) (L1 T-1) (M1 L-3) (M1 L-1 T-1)
x1 + y1 - 3 z1 -1 = 0
x1 + y1 - 3 z1 -1 = 0
Å„Å‚ x1 = -1
Å„Å‚ x1 = -1
Å„Å‚
Å„Å‚
µ 1
µ 1
-1
ôÅ‚
ôÅ‚
1 = d v-1 Á-1µ = =
òÅ‚z +1 = 0
1 òÅ‚y = -1
1 v d Á Re
ôÅ‚y +1 = 0
ôÅ‚z = -1
ół 1
ół 1
"pst d k
2 = 3 =
l Á v2 d
ëÅ‚ öÅ‚ "pst d v2 L
1 "pst d k
= ft ëÅ‚Re, öÅ‚
Õ ìÅ‚ , , ÷Å‚ = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Á k 2 d
Re L Á v2 d
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Opływ ciała gazem lepkim
Zjawisko opływu ciała (niesmukłego) gazem lepkim zależy od:
d - charakterystycznego wymiaru tego ciała,
v - prędkości napływu,
Á - gÄ™stoÅ›ci gazu, w znacznej odlegÅ‚oÅ›ci od ciaÅ‚a
µ - lepkoÅ›ci dynamicznej gazu,
a - prędkości dz
więku,
F - siły działającej na to ciało ze strony gazu.
f (d, v, Á, µ, a, F)= 0
Å„Å‚
d ~ L1, (a1)
µ ~ M1 L-1 T-1 (a4)
ôÅ‚
(a2)
òÅ‚v ~ L1 T-1,
a ~ L1 T-1 (a5)
ôÅ‚Á ~ M1 L-3,
(a3)
F ~ M1 L1 T-2 (a6)
ół
Opływ ciała gazem lepkim
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 = dx vy Áz µ; 2 = dx vy Áz Å"a; 3 = dx vy Áz F
x2 y2 z2
2 = (L0 M0 T0)= (L1) (L1 T-1) (M1 L-3) (L1 T-1)
x2 + y2 - 3z2 +1 = 0
a 1
a 1
z = 0
z2 = 0
 = a d0 v-1 Á0 = =
2 = a d0 v-1 Á0 = =
v Ma
- y2 -1 = 0
x2 = 0
1 F
y2 = -1
1 = ; 3 =
Re Áv2d2
z2 = 0
ëÅ‚ 1 1 F öÅ‚
v2
ÕìÅ‚ , , ÷Å‚ = 0 cx = f(Re, Ma)
Fx = cxÁ Ax
ìÅ‚
Re Ma Áv2d2 ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚