Mechanika Płynów
Dr Tomasz Wajman
Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów
Instytut Maszyn Przepływowych PA

Pokój 110, tel. [phone], (24 54)
E-mail: [e-mail]
Statyka płynów
Parcie cieczy
na powierzchnie płaskie
Parcie cieczy na ścianki płaskie
dF
pa
0
p = Á g h =
Ä…
dA
h
dF = Á g h dA
F = Á g
F = Á g
dA
dA
A
A
+"+"h dA
+"+"h dA
A
Moment statyczny powierzchni A
względem powierzchni
A
swobodnej cieczy:
+"+"h dA = hS A
A
+"+"hdA
A
Głębokość środka geometrycznego płaszczyzny A
hS =
A
F = Á g hS A
Wartość siły parcia:
h
S
h
N
h
d
F
x
F
S
S
N
x
0
y
y
0
Parcie cieczy na ścianki płaskie
pa
F Å" yN =
0
+"+"dF Å" y
A
Ä…
h
F = Á g sinÄ… y dA
+"+"
A
dF = Á g sinÄ… y dA
dA
dA
y2 dA
+"+"
Ix
A
yN = =
M
y dA
x
A
+"+"
A
Moment bezwładności powierzchni A względem osi x
2
y2 dA = Ix = Ix0 + A yS = Ix0 + M yS korzystamy z twierdzenia Steinera
x
+"+"
A
Ix0 Moment bezwładności powierzchni A względem osi x
względem osi x0 przechodzącej przez S
y dA = M = yS A
moment statyczny powierzchni A względem osi
x
+"+"
x
A
h
S
h
N
h
d
F
x
F
S
S
N
x
0
y
y
0
Parcie cieczy na ścianki płaskie
pa
0
Ä…
h
dA
dA
A
Ix0
yN = yS +
M
x
Ix0 y0
Ix0y0 Moment dewiacyjny powierzchni A względem osi x0, y0
xN = xS +
M
x
h
S
h
N
h
d
F
x
F
S
S
N
x
0
y
y
0
Paradoks hydrostatyczny
zS
zS
S
S
S
A A A
F = Ág zS A
Parcie cieczy na ścianki zakrzywione
r
r r
r
dFi = dF ni
n = -i nx + j ny - k nz
0
dF = Á g z dA
y x
i
x
j
dFx = Á g z dAnx dFx = Á g z dAx
z
k
n
dF
y
zSx
dFy = -Á g z dAy
Składowe
Składowe
p
pa
dF = Á g z dA
dFz = Á g z dAz
Sx
parcia
dA
A
Fx = Á g zSx Ax ,
Fx = Á g dAx ,
Ax
+"+"z
Ax
z
Fy = -Á g dAy,
Fy = -Á g zSy Ay,
+"+"z
Ciecz znajduje siÄ™ nad powierzchniÄ… A. Powierzchnia
Ay
swobodna cieczy pokrywa się z płaszczyzną x0y. Pod
powierzchnią zakrzywioną A panuje ciśnienie, takie jak
Fz = Á g dAz
Fz = Á gV
nad powierzchniÄ… swobodnÄ…. +"+"z
Az
zsx, zsy  głębokości zanurzenia środków geometrycznych rzutów Ax i Ay.
Parcie cieczy na ścianki zakrzywione
Az
0
Fz = -Ág dAz
x
i
+"+"z
Az
V
k
Fz = -Ág V
dA
dA
A
A
n
Ax
Objętość bryły zawartej pomiędzy
V =
dF
powierzchniÄ… A, a jej rzutem na
+"+"z dAz
powierzchniÄ™ swobodnÄ…
Az
z
Parcie na ciała zanurzone - wypór
0
x
Fz2 + Fz1 = -Ág(V2 - V1)
Fz1
r
Ax
Fx
Fx
W = Ág V
z
Fz2
ró\
nica tych sił  wypiera obiekt do góry powodując jego częściowe
r r
wynurzenie. Stan równowagi zostaje osiągnięty wtedy, gdy cię\
ar
G < W
obiektu zostanie zrównowa\
ony przez wypór jego zanurzonej części i w
tym poło\
eniu obiekt pływa.
r r
G = W obiekt pływa w zanurzeniu
r r
G > W
obiekt tonie
Kinematyka płynów
" Kinematyka płynów - opis i analiza ruchu płynów
w oderwaniu od sił, które powodują ten ruch.
" Ruch płynu jest określony, gdy określone jest w pełni pole
prędkości płynu.
" Metody analizy ruchu płynów:
- Metoda Lagrange a  analiza wędrowna, metoda stosowana
dla przepływów, które w istotny sposób zależą od czasu;
- Metoda Eulera  analiza lokalna, badanie ruchu kolejnych
elementów płynu przepływających przez nieruchomy, wybrany
punkt przestrzeni. (Będzie używana w dalszej części wykładów).
10
Metoda Eulera
" Badanie pól wielkości fizycznych.
" Można stosować rozwiniętą w fizyce teorię pola.
f = f (t, x, y, z) t, x, y, z - zmienne Eulera
r r
v = v(t, x, y, z)
v = v(t, x, y, z)
Pole prędkości w całej przestrzeni płynu:
Pole prędkości w całej przestrzeni płynu:
Pola wielkości fizycznych: skalarne, wektorowe i tensorowe
Pola ustalone i nieustalone (niestacjonarne)
" Pola jednorodne
" Pola 1D, 2D, 3D
" Powierzchnia kontrolna
" Powierzchnia płynna
11
Tor elementu płynu
Torem elementu płynu - linia, po której porusza się element płynu dV
traktowany jako punkt materialny.
Element toru:
Prędkość:
r
r r
r
r r
ds = i dx + j dy + k dz
v = v(t, x, y, z)
r
r r
r r
r
ds = v dt
v = i vx + j vy + k vz
x y z
vi = vi (x, y, z, t)
dz = vz dt
dy = vy dt
dx = vxdt
dx dy dz
= = = dt
vx vy vz
Przepływ ustalony  przez dowolny punkt przechodzi jeden tor elementu płynu.
Przepływ nieustalony  tory elementów płynu mogą się przecinać.
12
Linia prÄ…du
Linia prądu - linia pola wektorowego prędkości. Element tej linii w każdym
punkcie pola, dla dowolnej chwili czasu, jest równoległy do prędkości
r r
r r
dl || v Ò! dl ×v = 0
r
r r
i j k
i j k
dxl dyl dzl
dxl dyl dzl = 0 = =
vx vy vz
vx vy vz
" Przepływ ustalony  linie prądu są równocześnie torami elementów płynu.
" Przepływ nieustalony  linie prądu mają chwilowy charakter.
13
Pochodna substancjalna
Pochodną substancjalna dla elementu płynu przechodzącego przez punkt o
współrzędnych x, y, z w przestrzeni, dla dowolnej wielkości skalarnej lub
wektorowej f (x, y, z, t)
df "f "f dx "f dy "f dz
= + + +
dt "t "x dt "y dt "z dt
r
r
r r
" " "
df "f "f "f "f
" a" grad a" i + j + k
= + vx + vy + vz
"x "y "z
dt "t "x "y "z
r
r
df "f
= + (v Å"") f
pochodna konwekcyjna
pochodna substancjalna
dt "t
pochodna lokalna
14
Pochodna substancjalna prędkości
r r
r
dvi "vi "vi "vi "vi
r r
d v " v
= + vx + vy + vz
= + (v Å"") v
dt "t "x "y "z
dt "t
dvi "vi 3 "vi
= +
"v "xj
j
dt "t
dt "t "xj
j=1
j=1
dvi "vi "vi
= + vj
Przyspieszenie elementu płynu
dt "t "xj
15
Strumienie objętości i masy płynu
Strumień objętości  strumień pola wektorowego prędkości
r
n
dx = vndt
&
V =
n
+"+"v dA
r
vn
A
v
vn
dA
r r
Ä…
vn = v Å" n
dA
r r
&
V =
dVdA = dxdA = vndt dA
+"+"v Å"n dA
A
A
dVdA
&
VdA = = vn dA
dt
r r
&
m = Áv Å" n dA
Strumień masy
+"+"
A
16
Dywergencja wektora prędkości
z
&
&
V =
n "v dA
n
+"+"v dA VdV =
AdV
A
"vy
"vy "vy
ëÅ‚ öÅ‚ vy + dy
vy
dV
ìÅ‚
vy dx dz - + dy÷Å‚dx dz = dx dy dz
"y
ìÅ‚vy "y ÷Å‚
"y
íÅ‚ Å‚Å‚
dz
y
ëÅ‚ öÅ‚
"vx "vy "vz
& dx
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
VdV = + + dx dy dz
VdV = + + dx dy dz
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
dy
dy
"x "y "z
"x "y "z x
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
r
r "vx "vy "vz r
&
div v = + +
&
VdV = divv dV mdV = div(Á v)dV
"x "y "z
r
&
- wydajność objętościową z
ródła zawartego wewnątrz
V =
+"+"+"divv dV
objętości V ([m3/s])
V
r
&
m =
+"+"+"div(Á v)dV - wydajność z
ródła masy wewnątrz objętości V ([kg3/s])
V
17
Strumienie, a dywergencja
slajd 11
slajd 10
r
r r
&
&
Strumień objętości: V =
V =
+"+"+"divv dV
+"+"v Å"n dA
V
A
r r r
& &
StrumieÅ„ masy: m = Á v Å" n dA m =
+"+" +"+"+"div(Á v)dV
A V
A  zamknięta, nieruchoma powierzchnia obejmująca obszar V
r r r
r r r
+"+"Á v Å" n dA = +"+"+"div (Á v)dV
+"+"v Å" n dA = +"+"+"div v dV
A V
A V
twierdzenie Gaussa-Greena-Ostrogradskiego
r
bezz
ródłowe pole prędkości
div v = 0
18