Mechanika Płynów
Dr Tomasz Wajman
Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów
Instytut Maszyn Przepływowych PA

Pokój 110, tel. [phone], (24 54)
E-mail: [e-mail]
Wirowe i bezwirowe pola prędkości
r
Pole wirowe jest to takie pole, dla którego niezerowa
rot v `" 0
r
jest operacja rotacji wektora pola prędkości.
r
r " × v `" 0
r r
i j k
r
r " " " rëÅ‚ "vy "vx öÅ‚
r
rëÅ‚ "vz rëÅ‚ "vx "vz öÅ‚
"vy
öÅ‚
r
"× v =
ìÅ‚ - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
" × v = i + j - + k
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"y "z "z "x "x "y
íÅ‚ Å‚Å‚
"x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
v v v
vx vy vz
Wirowe pole prędkości `" wiry
r
r r
r
i j k vx = Éy dz -Éz dy
n Ä„" dr
rotn v
r r r
v = É × d r = Éx Éy Éz
vy = Éz dx -Éx dz
n
dx dy dz
vz = Éx dy -Éy dx
z
rotxv = 2Éx
r r
y
rotyv = 2Éy
rot v = 2É
x
rotzv = 2Éz
r
d
v
r
d
É
r
d
É
É
Cyrkulacja prędkości
Cyrkulację obliczamy po krzywej  otwartej lub zamkniętej.
Dla krzywej otwartej AB mamy:
B B
r r
“ = Å" d s a" ds
s
+"v +"v
Gdzie vs jest składową styczną.
A A
Dla przypadku płaskiego
rotn v
v
B
n vs
rot v
“ =
“ =
x
x
+"(v dx + vy dy)
+"(v dx + vy dy)
ds
A
dA
Cyrkulacja prędkości po krzywej zamkniętej
Twierdzenie Stokesa
S jest równa strumieniowi rotacji (wirowości)
r r r r
przechodzÄ…cemu przez powierzchniÄ™ A
ograniczonÄ… krzywÄ… S.
+"v Å" d s = +"+"n Å" rot v dA
S A
Ruch bezcryrkulacyjny => ruch bezwirowy
Wirowe i bezwirowe pola prędkości
Pole bezwirowe  potencjalne - pole, dla którego rotacja
r
jest równa zero w całej przestrzeni z wyjątkiem izolowanych rot v = 0
punktów lub linii.
y
r r
r
rot v = 2É
É = 0
linie
v
prÄ…du
v
0
0
x
Elementy nie mają prędkości kątowej.
Elementy nie mają prędkości kątowej.
v
Poruszają się po torze bez obrotów wokół własnej osi.
v
Bezwirowość wiąże się z pominięciem lepkości płynu
 lepkość odpowiada za wirowość płynu/
Rotacja pola równa zero => pole można przedstawić jako gradient potencjału.
Pole bezwirowe = pole potencjalne
Ruch lokalny płynu
Bryła sztywna  ruch postępowy oraz obrotowy.
Płyn  ruch postępowy, obrotowy oraz deformacja.
r
v =vi(x, y, z,t)
prędkość bieguna
r
r r
r
z
vP
"r = i " x + j " y + k " z
vWP
P
v
P (x + " x, y + " y, z + " z, t)
"r
B
r
v
vP = vPi (x + " x, y + " y, z + " z, t)
vP = vPi (x + " x, y + " y, z + " z, t)
0
"vi "vi "vi
vPi =vi + " x + " y + " z
y
B  biegun "x "y "z
x
r r r
vP =v + vWP
"vx "vx "vx
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
Prędkość względną punktu P względem bieguna B
ïÅ‚""x "y "z śł
vy "vy "vy śł
r r r
ïÅ‚
vWP = TÅ" " r = Å" " r
ïÅ‚ śł
"x "y "z
ïÅ‚"v "vz "vz śł
z
ïÅ‚ śł
T  tensor prędkości względnej
"x "y "z
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Tensor prędkości względnej
Tensor prędkości deformacji
(symetryczny)
"vx "vx "vx
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł îÅ‚ "vy "vx 1 ëÅ‚ "vx "vz öÅ‚Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
"vx 1
"y "z
ìÅ‚ ÷Å‚
+ +
ìÅ‚ ÷łśł
ïÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚""x
"x 2 "x "y 2 "z "x
íÅ‚ łłśł
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
vy "vy "vy śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚1 "vy "vx "vy "vy "vz śł
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1
T =
ìÅ‚ ÷łśł
S = +
ïÅ‚ śł ïÅ‚2 ìÅ‚ "x + ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y "z
"y "y 2 "z "y
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ łłśł
ïÅ‚
ïÅ‚
"vz "vz "vz śł
ïÅ‚ "vy "vz śł
ëÅ‚ öÅ‚
1 "vx "vz 1 "vz
ëÅ‚ öÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
+ +
+ +
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "z "x 2 "z "y "z
" " " " "
íÅ‚ Å‚Å‚
"x "y "z
"x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Tensor prędkości obrotu
(antysymetryczny)
T = S + &!
îÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 "vx "vy ÷Å‚ 1 "vx "vz
ëÅ‚ öÅ‚Å‚Å‚
ìÅ‚ -
0
ìÅ‚ - ÷Å‚
ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "y "x 2 "z "x
íÅ‚ łłśł
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
ïÅ‚
"vy "vz
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öłśł
1 "vx "vy 1
&! = 0
ïÅ‚- ìÅ‚ - ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷łśł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 "y "x 2 "z "y
ïÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ łłśł
ïÅ‚ śł
"vy "vz
ëÅ‚ öÅ‚
1 "vx "vz 1
ëÅ‚ öÅ‚
r r r r
0 śł
ïÅ‚- ìÅ‚ - ÷Å‚ - ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
&! Å" "r = É × "r =v
2 "z "x 2 "z "y
íÅ‚ Å‚Å‚
wir.e. p. ïÅ‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Prędkość wirowania elementu płynu wokół własnej osi
Ruch lokalny płynu
"vy
"vx "vz
" x, " y, " z
"x "y "z
Prędkości deformacji liniowej elementu płynu
w kierunku osi x, y i z.
"vy
"vx "vz
µx = , µ = , µz =
y
"x "y "z
Prędkości względnej deformacji liniowej
elementu płynu w kierunku osi x, y i z.
elementu płynu w kierunku osi x, y i z.
r
r
µx + µy + µz = " Å"v
îÅ‚ "vy "vx 1 ëÅ‚ "vx "vz öÅ‚Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
"vx 1 Względna prędkość deformacji
ìÅ‚ ÷Å‚
+ +
ìÅ‚ ÷łśł
ïÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
objętościowej elementu płynu.
"x 2 "x "y 2 "z "x
íÅ‚ łłśł
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
ïÅ‚1 "vy "vx "vy "vy "vz śł
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
r 1 r
ìÅ‚ ÷łśł
S Å" "r = + Å" "r
ïÅ‚2 ìÅ‚ "x + ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"y "y 2 "z "y
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ łłśł
ïÅ‚
ïÅ‚ "vy "vz śł
ëÅ‚ öÅ‚
1 "vx "vz 1 "vz
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
+ +
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
2 "z "x 2 "z "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Ruch lokalny płynu
îÅ‚ "vy "vx 1 ëÅ‚ "vx "vz öÅ‚Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
"vx 1
ìÅ‚ ÷Å‚
+ +
ìÅ‚ ÷łśł
ïÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x 2 "x "y 2 "z "x
íÅ‚ łłśł
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
ïÅ‚1 "vy "vx "vy "vy "vz śł
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
r 1
"vy
ìÅ‚ ÷łśł r z
S Å" "r = + Å" "r
ïÅ‚2 ìÅ‚ "x + ÷Å‚ vy + "z
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"y "y 2 "z "y
"z
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ łłśł
ïÅ‚
D P
ïÅ‚ "vy "vz śł
ëÅ‚ öÅ‚
1 "vx "vz 1 "vz
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
+ +
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
d²
2 "z "x 2 "z "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
"r
"z
d²
"vy = "z
dt
"vy
"vy
d²
d²
B
B
" z = " z
" z = " z
"
"y y
C
dt "z
dÄ… "vz
²
" y = " y
dt "y
Åšxy Åšxz
îÅ‚ Å‚Å‚
µx
ïÅ‚ śł
2 2
ïÅ‚Åš
ëÅ‚
"vy "vz Åšyz śł 1 "vi "v öÅ‚
j
dÄ… d²
yx
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
Sij = +
Åšyz = Åšzy = + = + S = µy
ìÅ‚
ïÅ‚ śł 2 "xj "xi ÷Å‚
dt dt "z "y 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚Åšzx śł
Åšzy
Zmiana kÄ…ta DBC, deformacji postaciowa µz śł
ïÅ‚
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
"
y
"
v
z
"
y
v
z
+
d
Ä…
Twierdzenie Helmholtza
r r r
z
vP
vP =v + vWP
vWP
P
v
r r r
vWP = TÅ" " r = (S + &!)Å"" r
"r
B
v
0
r r r r r
y
vP = vB + É×"r + S"r
P B
x
x
Prędkość punktu P znajdującego się w elemencie płynu
mo\
emy przedstawić jako sumę wektorową
prędkości postępowej bieguna B
plus prędkości względnej wynikającej z obrotu wokół B
i deformacji.
Dynamika
płynów
płynów
Siły powierzchniowe, tensor naprę\
eń
r
r
r
pn
Wektor naprężenia
px
z
k
r
r
i
r r r
r
j r r
dAx
r
px ,py ,pz
- i ,- j,-k
n
pn
r
py
r r r r
pn dA - px dAx - py dAy - pz dA = 0
z
dAy
lokalna równowaga sił powierzchniowych
lokalna równowaga sił powierzchniowych
y
y
dA
dAz
r
r r
r
x
n = i nx + j ny + k nz
r
pz
r
r r
r
Å„Å‚
px = i pxx + j Ä + k Ä
xy xz
ôÅ‚
r
r r
Å„Å‚
dAx = dAnx
r
ôÅ‚
r r r r
ôÅ‚dA = dAny
pn = px nx + py ny + pz nz òÅ‚ py = i Ä yx + j pyy + k Ä yz
òÅ‚
y
r
r r
ôÅ‚
r
ôÅ‚dA = dAnz
pz = i Ä + j Ä + k pzz
ôÅ‚
zx zy
ół z ół
Siły powierzchniowe, tensor naprę\
eń
r
r r
r
r r r r
Å„Å‚
px = i pxx + j Äxy + k Äxz
pn = px nx + py ny + pz nz
ôÅ‚
r
r r
r
ôÅ‚
py = i Äyx + j pyy + k Äyz
òÅ‚
r
r r
ôÅ‚
r
Å„Å‚
pnx = nx pxx + ny Äyx + nz Äzx
pz = i Äzx + j Äzy + k pzz
ôÅ‚
ół
ôÅ‚
pny = nx Äxy + ny pyy + nz Äzy
òÅ‚
ôÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
pxx Äyx Äzx
pnz = nx Äxz + ny Äyz + nz pzz
ół
df
śł
p Ä
"= ïÅ‚ Ä
"= ïÅ‚ Äxy pyy Äzy śł
ïÅ‚ śł
r r
ïÅ‚
Äxz Äyz pzz śł
pn = n 
Wektor naprężenia ðÅ‚ ûÅ‚
Tensor naprężeń powierzchniowych
można pokazać, że jest to
tensor symetryczny: Äxz = Äzx Äyx = Äxy Äyz = Äzy
Przy braku ruchu płynu (statyka) oraz
pxx = pyy = pzz = p
podczas przepływu płynu nielepkiego