Mechanika płynów
Dr Tomasz Wajman
Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów
Instytut Maszyn Przepływowych PA

E-mail: [e-mail]
Dynamika gazów
Dynamika gazów - zało\
enia
- przepływ adiabatyczny
- gaz nielepki
- pomijamy siły masowe
- gaz doskonały (termodynamicznie)
p = Á T R
- spełnione równanie stanu Clapeyrona
cp,cv = const.
- stałe ciepła właściwe
u = cv T
energia wen.
entalpia i = cp T
stała gazowa
stała gazowa
R = cp - cv
R = cp - cv
º = c c
º = cp cv
dq
ds =
przyrost entropii
T
przemiana izentropowa
przyrost ciepła
p1 p2
dla adiabatycznego dq = 0 Ò!
=
ds = 0
º º
przepływu nielepkiego
Á1 Á2
Ściśliwość gazu powoduje przemieszczanie się zakłóceń lokalnych
parametrów termodynamicznych gazu ze skończoną prędkością
Á `" const. !!!
(zjawiska falowe, fale uderzeniowe).
Równania zachowania
Równanie ciągłości
" Á " " "
+ (Á vx)+ (Á vy)+ (Á vz )= 0
"t "x "y "z
Równanie Eulera (zachowania pędu) bez sił masowych
r
" r " r " r " r
(Á v)+ (Á vx v)+ (Á vy v)+ (Á vz v)+ "p = 0
"t "x "y "z
"t "x "y "z
Równanie zachowania energii bez pracy sił masowych
" " " "
(Áuc)+ (Á vx ic)+ ( )
Á vy ic + (Á vz ic)= 0
"t "x "y "z
r
v, Á,T, p
Niewiadome: , czyli potrzebne jeszcze jedno równanie (równ. stanu)
Dla zjawisk związanych z nieciągłościami występującymi w gazie będziemy
musieli skorzystać z bilansowych (całkowych) form tych równań.
Prędkość dz
więku w gazie
Prędkość dz
więku a  prędkość rozchodzenia się małych zaburzeń
parametrów (ciśnienia, gęstości, temperatury)
d p
a2 =
dÁ
Rozchodzenie się małego zaburzenia opisane jest poprawnie przy
Rozchodzenie się małego zaburzenia opisane jest poprawnie przy
założeniu przemiany izentropowej:
p
a2 = º = º R T
Á
Dla powietrza mamy: º = 1,4
temperatura w K !
a E" 20 T
dla 0ºC mamy a = 330,5m/s, a dla 20ºC a = 342,4m/s.
Kryterium podobieństwa
Najważniejszym kryterium podobieństwa przepływów w dynamice gazów
jest liczba Macha
v
Ma =
a
Przepływy gazu z punktu widzenia dynamiki jego ruchu dzielimy na:
Przepływy gazu z punktu widzenia dynamiki jego ruchu dzielimy na:
Ma <1
poddz
więkowe
Ma H"1
okołodz
więkowe
naddz
więkowe Ma >1
Liczba macha może być parametrem lokalnym i zmieniać się
w czasie i przestrzeni.
Przepływy pod-, około- i naddz
więkowe
podłużne, kuliste fale zaburzeń ciśnienia i gęstości
a) v = 0 b) v < a
Ma = 0 Ma <1
a + v
01 02
0 v
0
03
vt1
x x
a - v
vt2
vt3
Ma >1
c) v = a Ma =1 d) v > a
stożek Macha
tworzące stożka
linie Macha
01 01 02
03 03
v 0 02 v 0
vt1
x x
a
Ä…M = arc sin
vt2
vt1
v
vt3 vt2
1
= arc sin
vt3
Ma
1
1
t
t
a
a
2
2
t
t
a
a
a
a
t
t
3
3
Ä…
M
1
t
1
t
a
a
2
t
2
t
a
a
a
t
a
3
t
3
Przepływy pod-, około- i naddz
więkowe
ëÅ‚ öÅ‚
v2 dp
ìÅ‚ ÷Å‚
d + - dU = 0
równ. Bernoulliego
ìÅ‚ ÷Å‚
2 Á
íÅ‚ Å‚Å‚
dp
a2 = Ò! dp = a2 dÁ
dÁ
dÁ v2 dv dÁ
vdv = -a2 Ò! = -
Á a2 v Á
dv dÁ
wzrost prędkości powoduje
Ma2 = -
zawsze spadek gęstości
v Á
Ma <<1 Ò! dÁ H" 0
Ma <1 dÁ Á =1.8%
Ma = 0,3
dv v = 20%
Ma H"1 dv v H" dÁ Á
dÁ Á =180%
dv v = 20%
Ma >1 Ma = 3
Parametry statyczne i całkowite
przepływ izentropowy
p
a2 = º = º R T
a2 º p
Á
i = cp T = =
entalpia
R = cp - cv
º -1 º -1 Á
º = cp cv
dla powietrza 1,4
v2
+ cp T = ic
2
2
v2 a2
+ = ic
równ. Bernoulliego
ic - entalpia całkowita
2 º -1
v2 º p
+ = ic
2 º -1 Á
Parametry T, p, Á, a - nazywać bÄ™dziemy statycznymi, mimo tego,
że występują one w obszarach, gdzie istnieją prędkości.
Parametry statyczne i całkowite
Parametry caÅ‚kowite (parametry spiÄ™trzenia) Tc, pc, Ác, ac  wystÄ™pujÄ… w tych
miejscach (punkty, linie, powierzchnie), gdzie prędkość gazu jest równa zeru.
Mogą one występować na powierzchniach opływanych ciał, w których
prędkość została wyhamowana do zera, ale również w zbiornikach, z których
gaz będzie wypływał.
v2 v2
+ cp T = ic Ò! Tc = T +
2 2cp
2 2cp
2
2
v2 a2 v2 a2 ac
ac ic Tc º -1
ëÅ‚ öÅ‚
+ = ic Ò! + = Ò!
= = =1+ Ma2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 º -1 2 º -1 º -1
a i T 2
íÅ‚ Å‚Å‚
º º º
º
ëÅ‚ öÅ‚
pc Ác ic Tc º -1
ëÅ‚ öÅ‚º -1 ëÅ‚ öÅ‚º-1 ëÅ‚1+
= ìÅ‚ ÷Å‚ = = = Ma2 öÅ‚º-1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
p Á i T 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Parametry statyczne i krytyczne
Prędkość gazu, równą lokalnej prędkości dz
więku, nazywamy
prędkością krytyczną:
v = a = a"
2
º +1 º p" a"
2
ic = a" i" = cp T" = =
2 (º -1) º -1 Á" º -1
2
2
a i T 2 º -1
a" i" T" 2 º -1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚1+ öÅ‚
= = = Ma2 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a i T º +1íÅ‚ 2
íÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
º
º
º
p" ëÅ‚ öÅ‚ T" îÅ‚ 2 º -1 Å‚Å‚º -1
Á"
ëÅ‚ öÅ‚º -1 ëÅ‚1+
= ìÅ‚ ÷Å‚ = = Ma2 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷łśł
ïÅ‚º +1íÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
p Á T 2
íÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
º
º
2 º
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚º
a" 2 p" ìÅ‚ Á" ÷Å‚ ìÅ‚ T" ÷Å‚ -1 2
ëÅ‚ öÅ‚º -1
ìÅ‚ ÷Å‚
= = = =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ac º +1 pc ìÅ‚ Ác ÷Å‚ ìÅ‚ Tc ÷Å‚ º +1Å‚Å‚
íÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Liczba Lavala  współczynnik prędkości
2
ac ic Tc º -1
ëÅ‚ öÅ‚
= = = 1+ Ma2
ìÅ‚ ÷Å‚
a i T 2
íÅ‚ Å‚Å‚
º º º
º
ëÅ‚ öÅ‚
pc Ác ic Tc º -1
ëÅ‚ öÅ‚º-1 ëÅ‚ öÅ‚º-1 ëÅ‚1+
= ìÅ‚ ÷Å‚ = = = Ma2 öÅ‚º-1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
p Á i T 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ma - lokalna liczba Macha
zależna od lokalnych
2
parametrów
a" i" T" 2 º -1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚1+
= = = Ma2 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ º
a* - zależy od i i , a one
c
c
*
a i T º +1íÅ‚ 2
a i T º +1íÅ‚ 2
zależą praktycznie tylko
zależą praktycznie tylko
íÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
º
º
Tc
od , a te sÄ…
º
p" ëÅ‚ öÅ‚ T" îÅ‚ 2 º -1 Å‚Å‚º -1
Á"
praktycznie stałe w wielu
ëÅ‚ öÅ‚º -1 ëÅ‚1+
= ìÅ‚ ÷Å‚ = = Ma2 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷łśł
zagadnieniach.
ïÅ‚º +1íÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
p Á T 2
íÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2
2
º +1 Ma2
v
º +1
2 =
 = Ma2 =
º -1
º -1
2
a"
1+ Ma2
1- 2
2
º +1