Mechanika płynów
Dr Tomasz Wajman
Zespół Maszyn Wodnych i Mechaniki Płynów
Instytut Maszyn Przepływowych PA

E-mail: [e-mail]
Przepływy laminarne
i turbulentne
i turbulentne
Średnioustalone przepływy turbulentne
r
&
Bardzo często zachodzi sytuacja gdy: m = const. i R = const.
2
vx = vx + vx
vx
2
vy = vy + vy
vx'
2
vz = vz + vz
vx
t2
2
1
1
vx =
+"
+"v dt
t2 - t1 t1 x
t2
t1 t2 t
1
2
vx =
+"v2 dt = 0
2
p = p + p
t2 - t1 t1 x
- wartość średnia parametru 2 2 2
p vy = vz = p = 0
2
p - pulsacje (fluktuacje) wartości parametru
Średnioustalone przepływy turbulentne
2
(vx')
2 2 2
(vx )2, (vy )2, (vz )2 `" 0
2 2 2 2 2 2
vxvy, vxvz, vzvy `" 0
2 2
2 2
v v = v v = 0
vxvx = vx vx = 0
t
t
t t
t1 t2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 2
"vx "vx
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= = 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"t "t
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Miara względnej intensywności turbulencji
2 2
vxvx = (vx + vx )(vx + vx )
2
= vx vx + (vx )2
2
(vy )2
2 2
(vx )2 (vz )2
µ = , µ = , µz =
x y
vx vy vz
Reynoldowskie uśrednione równania N-S
(zapis wskaz
nikowy  sumowanie
Ciecze - przepływ nieściśliwy
po powtarzajÄ…cym siÄ™ wskaz
niku)
i, j = 1, 2, 3
"vi
Równanie ciągłości = 0
"xi
"xi
Równanie N-S (bez uwzględnienia sił masowych)
îÅ‚
ëÅ‚
"(Á vi ) " "p " "vi "vj öÅ‚Å‚Å‚
÷łśł
+ ( ) + µìÅ‚ +
Á vjvi = -
ïÅ‚
"t "xj "xi "xj ïÅ‚ ìÅ‚ "xj "xi ÷łśł
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Reynoldowskie uśrednione równania N-S
" " " "
2 2
( ) = (Á vj vi)+ (Á vjvi)
Á vjvi = Á
2 2
(vj )
"xj "xj + vj)(vi + v i "xj "xj
2 2
vx vx = vx vx = 0
"vi
"vi
= 0
= 0
"t
Równania uśrednione - RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes)
"vi
= 0
"xi
îÅ‚
ëÅ‚
" " p " "vi "vj öÅ‚Å‚Å‚ "
ìÅ‚ ÷łśł -
2 2
(Á vi vj)= - + ïÅ‚µ + (Ávj vi)
"xj "xi "xj ïÅ‚ ìÅ‚ "xj "xi ÷łśł "xj
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Reynoldowskie uśrednione równania N-S
Przepływ nieściśliwy
Równania ogólne
îÅ‚
ëÅ‚
"(Á vi ) " "p " "vi "vj öÅ‚Å‚Å‚
"vi
÷łśł
+ ( ) + µìÅ‚ +
Á vjvi = -
ïÅ‚
= 0
"t "xj "xi "xj ïÅ‚ íÅ‚ "xj "xi łłśł
"t "xj "xi "xj ïÅ‚ ìÅ‚ "xj "xi ÷łśł
"xi
"xi
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Równania uśrednione RANS
îÅ‚
ëÅ‚
"vi
" " p " "vi "vj öÅ‚Å‚Å‚ "
ìÅ‚ ÷łśł -
= 0 2 2
(Á vi vj)= - + ïÅ‚µ + (Ávj vi)
"xj "xi "xj ïÅ‚ ìÅ‚ "xj "xi ÷łśł "xj
"xi
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Tensor naprÄ™\
eń turbulentnych
îÅ‚
ëÅ‚
" " p " "vi "vj öÅ‚Å‚Å‚ "
ìÅ‚ ÷łśł -
2 2
(Á vi vj)= - + ïÅ‚µ + (Ávj vi)
"xj "xi "xj ïÅ‚ ìÅ‚ "xj "xi ÷łśł "xj
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Porównując ostatni człon z równaniami Eulera widzimy, że mamy do
czynienia z pochodnymi naprężeń.
Naprężenia te związane są z pulsacjami turbulentnymi.
Naprężenia te związane są z pulsacjami turbulentnymi.
2 2
- Ávj vi
Naprężenia można przedstawić w postaci tensora naprężeń
turbulentnych (tensor Reynoldowski)
îÅ‚
2 2 2 2 2 2
Ávxvx Á vx vy Á vx vz Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
pxx Äyx Äzx
df
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
2 2 2 2 2 2
T = -ïÅ‚Á vy vx Ávyvy Á vy vz śł
= Äxy pyy Äzy śł
"
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ïÅ‚
2 2 2 2 2 2
Á vz vx Á vz vy Ávzvz śł
Äxz Äyz pzz śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
NaprÄ™\
enia laminarne i turbulentne
îÅ‚
2 2 2 2 2 2
Ávxvx Á vx vy Á vx vz Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
pxx Äyx Äzx
df
ïÅ‚ śł
2 2 2 2 2 2
T = -ïÅ‚Á vy vx Ávyvy Á vy vz śł " ïÅ‚
= Äxy pyy Äzy śł = L
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
2 2 2 2 2 2 ïÅ‚
Á vz vx Á vz vy Ávzvz śł
Äxz Äyz pzz śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚
îÅ‚
ëÅ‚
ëÅ‚
" " p " "vi "vj öÅ‚Å‚Å‚ "
" " p " "vi "vj öÅ‚Å‚Å‚ "
ìÅ‚ ÷łśł -
ìÅ‚ ÷łśł -
2 2
2 2
(Á v v )= - + ïÅ‚µ + (Áv v )
(Á vi vj)= - + ïÅ‚µ + (Ávj vi)
"xj "xi "xj ïÅ‚ ìÅ‚ "xj "xi ÷łśł "xj
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ëÅ‚
"vi "vj öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
(ÄL) = µ + (ÄT) = - Ávi vj
ij ij
ìÅ‚
"xj "xi ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"(ÄL) "(ÄT )
" " p
ij ij
(Á vi vj)= - + +
"xj "xi "xj "xj
NaprÄ™\
enia laminarne i turbulentne
"(ÄL) "(ÄT)
" " p
ij ij
(Á vi vj)= - + +
"xj "xi "xj "xj
"(ÄL) "(ÄT)
ij ij
...+ +
"xj "xj
" " "
" " "
( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )
...+ (pxx + (ÄT ) )+ (Äxy + (ÄT ) )+ (Äxz + (ÄT) )
xx xy xz
"x " y "z
" " "
...+ (Äyx + (ÄT) )+ (pyy + (ÄT) )+ (Äyz + (ÄT ) )
yx yy yz
"x " y "z
" " "
...+ (Äzx + (ÄT ) )+ (Äzy + (ÄT) )+ (pzz + (ÄT) )
zx zy zz
"x " y "z
Brakuje jeszcze sześciu równań
określających składowe tensora naprężeń turbulentnych.