Elementy mechaniki płynów
Porównanie właściwości sprężystych ciał stałych,
cieczy i gazów
Ciała stałe - duże moduły sprężystości objętościowej i postaciowej
Ciecze - mniejszy moduł sprężystości objętościowej i bardzo mały moduł
sprężystości postaciowej
Gazy - mały moduł sprężystości objętościowej i prawie zerowy moduł
sprężystości postaciowej
Tak więc o cieczach możemy powiedzieć, że zmieniają kształt pod
wpływem bardzo małych sił, nie posiadają sprężystości postaci i posiadają
sprężystość objętościową.
Płyny doskonałe
Wiele praw opisujących zachowanie się cieczy pod wpływem działających
sił podana jest dla przypadku płynów doskonałych.
Model płynu doskonałego  płynem doskonałym nazywa się płyn
nieściśliwy i nielepki, a więc płyn o nieskończenie dużym module
sprężystości objętościowej i zerowym module sprężystości postaciowej.
Podstawowe określenia dotyczące przepływów.
Ruch płynów nazywamy przepływem
Przepływ jest stacjonarny, gdy w określonym punkcie przestrzeni
prędkość przepływu jest stała i niezależna od czasu
Przepływ płynu (lub gazu) jest laminarny gdy wszystkie cząsteczki
płynu (lub gazu) poruszają się po torach równoległych do siebie
Przepływ płynu (lub gazu) jest turbulentny (wirowy) gdy część
cząsteczek nie porusza się po torach równoległych do siebie
Hydrostatyka i hydrodynamika
Hydrostatyka zajmuje się opisem zachowania płynów pozostających w
spoczynku
Hydrodynamika zajmuje się zachowaniem się płynów znajdujących się w
ruchu
Podstawowe prawa hydrostatyki
Prawo Pascala - Ciśnienie pochodzące od sił zewnętrznych
działających na płyn nieściśliwy i nieważki jest we
wszystkich punktach płynu jednakowe.
Płyn nieściśliwy i nieważki nazywany jest również często modelem
Pascala, ciałem Pascala lub cieczą Pascala.
Ciśnienie hydrostatyczne p w cieczach określone jest wzorem:
N
p =� r� g h, [ p] =� =� Pa (paskal),
m2
gdzie r� jest gęstością cieczy, h  głębokością na której zanurzone jest
ciało, natomiast g = 9. 81 m/s2 jest przyśpieszeniem ziemskim.
Ze wzoru na ciśnienie hydrostatyczne wynika, że ciśnienie p rośnie
liniowo wraz z wzrostem głębokości zanurzenia w cieczy i nie zależy
od kształtu naczynia.
Ciśnienie całkowite pc w cieczach określone jest wzorem:
N
pc =� pz +� r� g h, [ p] =� =� Pa (paskal),
m2
gdzie pz jest ciśnieniem zewnętrznym.
Ciśnienie aerostatyczne pa  jest to ciśnienie powietrza na danej
wysokości nad poziomem morza.
Ciśnienie aerostatyczne jest często ciśnieniem zewnętrznym działającym
na ciecz.
r� g hnpm
-�
N
p0
pa =� e , [ p] =� =� Pa (paskal),
m2
gdzie e = 2.72& , r� jest gęstością cieczy, hnpm  wysokością nad
poziomem morza, natomiast p0 = 1,013251�105 Pa ciśnieniem
atmosferycznym nad poziomem morza.
Ze wzoru na ciśnienie aerostatyczne wynika, że maleje ono
wykładniczo wraz ze wzrostem wysokości hnpm.
Prawo Archimedesa  siła wyporu W działająca na ciało zanurzone
w cieczy jest równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało
W =� r� g V , [W] =� N ,
gdzie r� jest gęstością cieczy, g = 9.81 m/s2 przyśpieszeniem
ziemskim, V objętością części ciała zanurzonej w cieczy.
Podstawowe prawa hydrodynamiki
Pojęcie strumienia przepływu
Strumień masy: Śm = m/t, [Fm ] = kg/s,
Strumień objętości ŚV = V/t , [Ś ] = m3/s,
V
Strumień energii ŚE = E/t , [ŚE ] = J/s = W.
Prawo ciągłości strumienia (strugi)
S1 J�1 r�1 D�t =� S2 J�2 r�2 D�t ,
r�1 =� r�2,
S1 J�1 =� S2 J�2 =� const.
Prawo Bernoulliego
Suma energii kinetycznej,
potencjalnej i ciśnienia jednostki
masy (lub objętości) ustalonego
przepływu cieczy doskonałej jest
wielkością stałą
1
p1 +� r� g h1 +� r� J�12
2
1
2
=� p2 +� r� g h2 +� r� J�2 =� const.
2
gdzie
p1 i p2 - ciśnienia statyczne,
r� g h1 i r� g h2  ciśnienia hydrostatyczne,
2 2
r�J� /2 i r�J� /2  ciśnienia dynamiczne.
1 2
Przykłady efektu Bernoulliego w praktyce
1. Rurka o zmiennym przekroju
W miejscu gdzie prędkość przepływu cieczy jest większa występuje
mniejsze ciśnienie statyczne.
2. Skrzydło ptaka (samolotu)
Siła nośna F działająca na skrzydło jest proporcjonalna do różnicy
ciśnień (p1-p2) panujących po obu stronach skrzydła.
3. Złogi w naczyniach krwionośnych
Większa prędkość przepływu krwi w miejscu o mniejszym przekroju
poprzecznym prowadzi do spadku ciśnienia krwi w tym miejscu
a w rezultacie tego do działania sił zaciskających naczynie krwionośne.
4. Wnikanie komórek nowotworowych do krwi
W miejscu gdzie guz przerasta naczynie krwionośne dochodzi do
wnikania substancji wydzielanych przez guz i komórek odrywających
się od guza do krwi.
Ciecze i gazy rzeczywiste - lepkość cieczy i gazów
Ciecze rzeczywiste różnią się od cieczy doskonałych tym, że wykazują
zjawisko tarcia wewnętrznego, czyli lepkości.
Wyjątkiem są bardzo nieliczne ciecze  np. ciekły hel - wykazujące tzw.
nadciekłość w temperaturach bliskich zera bezwzględnego. Nadciekłość
polega na całkowitym zaniku lepkości.
Tarcie wewnętrzne jest zjawiskiem międzycząsteczkowym. W zjawisku
tym sąsiednie warstwy cieczy działają na siebie podczas przepływu.
Siły oddziaływań sprawiają, że od strony warstwy poruszającej się
szybciej działa na warstwę poruszającą się wolniej siła przyśpieszająca.
Odwrotnie  warstwy poruszające się wolniej hamują ruch warstw
poruszających się szybciej.
Wzór Newtona (równanie transportu pędu)
D� J�
T =� -� F =� -�h S ,
D� h
T  siła lepkości,
F  siła wprawiająca w ruch warstwę o powierzchni S,
D�h  odległość między warstwami o różnej prędkości J�1 i J�2,
h  współczynnik lepkości cieczy w paskalosekundach
(Pa��s)
Ponieważ wzór Newtona możemy przekształcić do postaci
d p D� J�
T =� =� -�h S ,
d t D� h
gdzie p jest pędem, więc nosi on również nazwę równania
transportu pędu.
Ciecze stosujące się do prawa Newtona nazywamy cieczami
newtonowskimi.
Krew jest cieczą newtonowską.
Lepkość cieczy zależy od temperatury
D�E
a
k��T
h =� B��e,
gdzie B jest pewnym współczynnikiem, D�Ea  energią
aktywacji, k = 1.38�10-23 J/K jest stała Boltzmanna, T 
temperaturą bezwzględną.
Przepływ laminarny - wzór Poiseuille a (wymawiaj
Puazeja)
D� p R2
J�sr =� ,
8h L
J�sr  średnia prędkość przepływu cieczy przez rurkę kapilarną,
D�p  różnica ciśnień po obu stronach rurki,
R  promień rurki kapilarnej,
h  współczynnik lepkości cieczy w Pa�s,
L  długość rurki kapilarnej.
Liczba Reynoldsa
W pewnych warunkach przepływ laminarny przechodzi w turbulentny.
Warunki te można ocenić na podstawie znajomości liczby Reynoldsa Re
określonej wzorem:
r� d J�
Re =� ,
h
gdzie r�  jest gęstością cieczy (lub gazu),
d  średnicą rury przez którą płynie ciecz,
J�  prędkością przepływu cieczy,
h  współczynnikiem lepkości cieczy.
Przy liczbach Reynoldsa Re < 2300 mamy przepływ laminarny,
przy liczbach Re > 3000 przepływ turbulentny,
natomiast gdy 2300 < Re < 3000 to nie można ustalić charakteru
przepływu (przepływ może być laminarny albo turbulentny).
Prędkość krytyczna
Re k h
J�k =� ,
r� d
gdzie Rek jest krytyczną wartością liczby Reynoldsa, przy której zmienia
się charakter przepływu cieczy.
Dla wody płynącej przez naczynie o średnicy 2,3 cm przepływ staje się
burzliwy przy prędkościach większych od 0,1 m/s.
Układ krwionośny
Układ krwionośny człowieka jest układem zamkniętym. Krew krąży w
systemie naczyń krwionośnych a serce pełni rolę pompy wymuszającej
przepływ krwi.
Układ ten wraz z układem limfatycznym tworzą układ krążenia.
Krew jest zawiesiną erytrocytów, leukocytów i trombocytów w plazmie.
Podczas krążenia
krew dostarcza komórkom tlenu i substancji odżywczych, a odprowadza
dwutlenek węgla,
rozprowadza ciepło w organizmie (bierze udział w procesie
termoregulacji),
transportuje hormony, witaminy, enzymy i komórki fagocytów.
Przepływ hormonów wraz z krwią można uznać za przepływ informacji
gdyż kontrolują one i integrują czynności całego ustroju, natomiast
przepływ enzymów za transport substancji katalizujących i
kontrolujących przebieg reakcji chemicznych.
Z biofizycznego punktu widzenia krew jest cieczą o współczynniku
lepkości h = 2.084��10-3 [Pa�s] i gęstości r� = 1.059�103 [kg�m-3].
Układ krążenia składa się
z serca,
systemu naczyń krwionośnych,
krwi.
Serce działa jak pompa ssąco-tłocząca przetłaczając krew w dwu
obiegach:
dużym
i małym.
Praca serca
Niech cykl pracy serca rozpoczyna się rozkurczem komory prawej (faza
rozkurczu serca). Wówczas przez prawy przedsionek wpływa do serca
pozbawiona tlenu krew z żyły głównej obiegu dużego. Zastawka
trójdzielna jest wówczas otwarta, a zastawka płucna zamknięta. W fazie
skurczu serca, prawa komora kurczy się i zastawka trójdzielna zamyka
się wówczas a otwiera się zastawka płucna. Krew tłoczona jest do tętnicy
płucnej i systemu krwionośnego płucnego zwanego obiegiem małym.
Z obiegu tego krew wpływa do lewego przedsionka serca.
W fazie rozkurczania się serca krew wpływa z przedsionka lewego do
lewej komory serca. Zachodzi to przy zamkniętej zastawce aorty i
otwartej zastawce dwudzielnej. W następnym etapie lewa komora kurczy
się i przy zamkniętej zastawce dwudzielnej, a otwartej zastawce aorty,
krew wtłaczana jest do aorty. Stąd poprzez zespoły tętnic i naczyń
włoskowatych rozprowadzana jest po całym organizmie. Następnie
dopływa do systemów żylnych i poprzez żyłę główną obiegu dużego
powraca do serca.
Z fizycznego punktu widzenia przepływ krwi odbywa się dzięki energii
skurczu mięśni serca. Podczas wzrostu ciśnienia krew wtłaczana jest do
aorty i tętnicy płucnej. Wszystkie tętnice i tętniczki są naczyniami
sprężystymi i przy wyższych ciśnieniach rozszerzają się sprężyście.
Dzięki temu w chwili gdy serce kurczy się a zastawki aorty i tętnicy
płucnej są zamknięte, krew tłoczona jest dalej pod wpływem ciśnienia
pochodzącego od sił sprężystości kurczących się tętnic. Proces ten trwa
aż do chwili ponownego aktu kurczenia się serca. W ten sposób, mimo
że serce tłoczy krew jedynie podczas skurczu, w tętnicach, naczyniach
włoskowatych i żyłach płynie ona w sposób ciągły.
Ciągły przepływ krwi ma duże znaczenie dla prawidłowego
funkcjonowania centralnego układu nerwowego i mózgu.
Można więc powiedzieć, że przemieszczanie się krwi jest wynikiem
rytmicznego kurczenia się zarówno serca, jak i całego systemu tętnic.
Serce jako pompa ssąco-tłocząca
Rys. 18.15 w książce Biofizyka pod red. F. Jaroszyka
Fizyczny model serca z tętnicą pełniącą rolę powietrzni (zbiornik energii
potencjalnej) i żyłą w roli pojemnika (zbiornika objętościowego).
Właściwości sprężyste naczyń krwionośnych
Naczynia krwionośne są sprężyste o module sprężystości zależnym od
naprężenia i szybkości zmian ciśnienia krwi.
Wzrost modułu sprężystości wraz ze wzrostem naprężenia zapobiega
nadmiernemu rozszerzaniu się naczyń.
Rozszerzanie się naczyń zmienia opór naczyniowy.
Tętnice pełnią rolę powietrzni, natomiast żyły rolę zbiornika.
Różna sprężystość tętnic i żył.
Fala tętna
Podczas wtłaczania krwi do tętnicy ulega ona rozszerzeniu z uwagi na
jej właściwości sprężyste.
Powstałe odkształcenie przemieszcza się wzdłuż tętnicy tworząc fale
tętna.
Prędkość J� fali tętna (5-8 m/s) jest większa od prędkości krwi (0.5 m/s).
Długość fali tętna wynosi około 4 m.
Eh
J� =� ,
2 r� r
E  moduł Younga ścian naczynia,
h  grubość ścian naczynia,
r�  gęstość,
r  promień przekroju poprzecznego.
Rozszerzenie tętnicy (fala tętna) zasysa krew i umożliwia jej dalszy
ruch w chwili gdy serce jest w fazie rozkurczu
Przepływ krwi
Szybkość przepływu krwi w czasie wyrzutu z lewej komory osiąga
wartość do 140 cm/s (w aorcie wstępującej  przepływ turbulentny).
W miarę oddalania się od serca krew zaczyna płynąć bardziej
równomiernie (przepływ ciągły i laminarny w tętniczkach).
Opór naczyniowy
Zakładając, że przepływ krwi w naczyniach krwionośnych jest laminarny
należy przyjąć, że strumień objętości, FV, krwi przepływającej przez
poprzeczny przekrój naczynia krwionośnego jest określony wzorem:
V p� R4 D� p
FV =�=� ,
t 8h L
D� p
FV =� ,
Rlep
8h L
Rlep =� ,
p� R4
gdzie Rlep jest oporem hydrodynamicznym (naczyniowym) przepływu
krwi w naczyniach krwionośnych.
Opór naczyniowy Rn pochodzący od n równolegle połączonych
tętniczek o promieniu ri , i = 1,2,3,& ,n wynosi
Rn =� n �� R,
gdzie R jest oporem naczyniowym tętnicy o polu przekroju
poprzecznego równym sumie pól przekrojów poprzecznych wszystkich
tętniczek małych.
Praca i moc serca
Praca wykonywana przez mięsień serca zużywana jest na
przepompowywanie pewnej objętości krwi, D�V, oraz na nadanie tej
objętości krwi pewnej prędkości J�
1
2
W =� psr �� D�V +� r�J� D�V ,
2
gdzie psr jest średnią różnicą ciśnienia w komorach i przedsionkach
serca, natomiast r� jest gęstością krwi.
Dla komory lewej WL = 0.924 + 0.006 [J/skurcz]
Dla komory prawej WP = 0.139 + 0.006 [J/skurcz]
Całkowita moc serca P = 1.4 [W]
Wpływ ciśnienia hydrostatycznego na ciśnienie krwi
w naczyniach krwionośnych
Rys. 18.3 z książki Biofizyka pod red. F. Jaroszyka
Efekt hydrostatyczny nie ma wpływu na krążenie. Wpływa natomiast na
wartości ciśnienia w partiach ciała położonych powyżej i poniżej serca.
Napięcie powierzchniowe
Warstwa powierzchniowa cieczy jest napięta przez niezrównoważone
oddziaływania międzycząsteczkowe.
Praca, W, potrzebna na powiększenie powierzchni cieczy o D�S jest
proporcjonalna do D�S i wyraża się wzorem
W =� s� D� S ,
gdzie s� jest współczynnikiem napięcia powierzchniowego cieczy.
Współczynnik napięcia powierzchniowego
Współczynnik napięcia powierzchniowego s� zależy od rodzaju cieczy
i temperatury.
Dla wody w temperaturze pokojowej s� = 0.072 N/m,
dla alkoholu etylowego s� = 0.022 N/m.
Wartości współczynnika s� dla wody są bardzo duże w porównaniu do
innych cieczy.
Zakrzywiona powierzchnia cieczy
Pod powierzchnią zakrzywioną cieczy istnieje inne ciśnienie
molekularne niż pod powierzchnią płaską.
Ciśnienie, p, pod zakrzywioną powierzchnią cieczy opisane jest wzorem
Laplace a o postaci
��
1 1
p =� p0 +� s� +�
��
R1 R2 ��,
Ł�ł�
gdzie p0 jest ciśnieniem molekularnym pod powierzchnią płaską, R1 i R2
są głównymi promieniami krzywizny powierzchni zakrzywionej.
W przypadku gdy promienie R1 i R2 są równe, czyli gdy R1 = R2 = R
mamy
2 s�
p =� p0 +�.
R
Układ oddechowy
Jest odpowiedzialny za utrzymanie stałej wymiany gazów między
organizmem a środowiskiem.
Oddychanie jest jedną z najważniejszych czynności życiowych i
podstawowym przejawem życia.
Wdychany tlen jest wykorzystywany przez komórki jako paliwo do
produkcji energii, a wydychany dwutlenek węgla jest pozostałością tego
procesu (jego nadmiar jest w organizmie toksyczny).
Układ oddechowy składa się z
dróg doprowadzających powietrze (nos, gardło, krtań, tchawica,
oskrzela),
płuc,
narządów pomocniczych umożliwiających wprowadzanie powietrza do
płuc i wyprowadzanie powietrza z płuc.
Wymiana powietrza w płucach
W płucach ciśnienie wewnątrzpłucne, pw, jest niższe od atmosferycznego,
pa. Równowaga jest utrzymywana dzięki sprężystości pęcherzyków
płucnych.
Model obrazujący pracę płuc
Równowaga w płucach jest utrzymywane dzięki sprężystości
pęcherzyków płucnych. Siły sprężystości pęcherzyków płucnych
wytwarzają ciśnienie ps.
Podczas wdechu pęcherzyki płucne ulegają rozciągnięciu gdyż
ciśnienie ps maleje poniżej atmosferycznego.
Podczas wydechu sprężystość pęcherzyków powoduje skurczenie się
ich. Właściwości sprężyste pęcherzyków uzupełniane są działaniem
sulfakantów.
Napięcie powierzchniowe sulfakantu zależy od grubości jego warstwy w
pęcherzyku. Dla warstw grubych wynosi 0.05 N/m, natomiast dla
cienkich 0.5 N/m.