2008-11-19
Mechanika i Wytrzymałość
Materiałów
Imię, nazwisko i tytuł prowadzącego:
Mieczysław A
uz
niak, dr inż.
pok. 236B, bud. D  2,
tel. [phone],
e-mail: mieczyslaw.luzniak@pwr,wroc.pl
Materiały do pobrania na stronie:
http://www.iios.pwr.wroc.pl/tablica_ogl/luzniak_m/ogloszenia/pobierz.php
1
2008-11-19
Zaliczenie kursu
KOLOKWIUM
Data: ??
2
2008-11-19
Literatura
" Mechanika ogólna
 Jerzy Leyko
" Statyka i wytrzymałość materiałów
 Jerzy Rżysko
oraz każda inna książka do statyki
i wytrzymałości materiałów dowolnego
autora
3
2008-11-19
Mechanika jako nauka ścisła powstała w Grecji i Egipcie w IV wieku p.n.e. Jej twórcami byli Arystoteles (384 - 322 p.n.e.) i
Archytas z Tarentu (IV wiek p.n.e.). Prace ich dotyczyły maszyn prostych, stosowanych w technice uzbrojenia i budownictwie.
Punktem zwrotnym w rozwoju mechaniki były prace Archimedesa (287 - 212 p.n.e.). Ustanowił on prawa składania i rozkładania
sił równoległych, teorię dz
wigni oraz określił środki ciężkości różnych figur geometrycznych i brył. Od Ptolemeusza - Klaudiusza (II
wiek n.e.) aż do czasów Leonarda da Vinci (1452 - 1519) wystąpił pewien zastój w rozwoju mechaniki. Leonardo da Vinci
zajmował się zagadnieniami dotyczącymi równi pochyłej, tarcia i bloków. Jemu należy przypisywać sformułowanie prawa
równoległoboku i wprowadzenie pojęcia momentu siły.
Nowe problemy układów odniesienia w mechanice postawił polski astronom Mikołaj Kopernik (1473 - 1543), autor słynnego
dzieła "De Revolutionibus Orbitum Coelestium" i twórca zasady równoważności ruchów względnych w układzie heliocentrycznym.
Dalszy postęp w rozwoju mechaniki jest związany z Galileuszem (1564 - 1642), który wprowadził pojęcie przyspieszenia,
opracował prawo bezwładności, prawa ruchu w polu ciężkości, zasady zachowania prac w maszynach prostych, rozwiązał
problem wahadła etc.
Trwałe miejsce w historii mechaniki mają również: Johan Kepler (1571 - 1630), który sformułował trzy prawa ruchu
planetarnego i Kartezjusz (1596 - 1650), który wprowadził prostokątny układ osi współrzędnych, zasadę prac wirtualnych i
rozwiązania rachunkowe zagadnień statycznych. Natomiast zasługą Christiana Huygensa (1629 - 1695) jest określenie pojęcia
reakcji, opracowanie teorii wahadła fizycznego i rewersyjnego, przyspieszenia w ruchu krzywoliniowym oraz uderzenia
sprężystego.
Wielką postacią mechaniki jest Isaac Newton (1642 - 1727), który zebrał i uporządkował naukę mechaniki w epokowym dziele
pt. "Philosophiae naturalis principia mathematica", dając podstawy mechaniki klasycznej, opartej ściśle na faktach
doświadczalnych. Odkrył prawa powszechnego ciążenia i klasycznej dynamiki. Jego rozwiązania dotyczą mechaniki punktu i
układu swobodnego.
Uczonym, który w zasadzie zakończył opracowanie praw statyki, był Pierre Varignon (1654 - 1722). Pojęcie energii kinetycznej
i metody jej zastosowania wprowadził Jan Bernoulli (1667 - 1748). Inni wybitni uczeni to: Michał A
omonosow (1711 - 1765) -
twórca zasady zachowania masy, Leonard Euler (1707 - 1783) - wprowadził analityczne metody rozwiązywania zagadnień ruchu,
mechaniki ciała sztywnego, obrotu ciała sztywnego wokół punktu nieruchomego etc., Jean D'Alembert (1717 - 1783) - odniósł
prawa statyki do dynamiki, Ludwig Lagrange (1737 - 1813) - twórca mechaniki analitycznej, Pierre Laplace (1743 - 1827) -
zajmował się mechaniką ciał niebieskich, Michał Ostrogradski (1801 - 1861) i William Hamilton (1805 - 1865) - twórcy zasad
wariacyjnych.
UzupeÅ‚nieniem mechaniki jest mechanika kwantowa, którÄ… zapoczÄ…tkowali: Max Planck (1858 - 1947), Erwin Schrödinger
(1887 - 1961) i Paul Dirac (ur. 1902). Twórcą mechaniki relatywistycznej, opartej na teorii względności, jest Albert Einstein
(1879 - 1955).
Spośród polskich uczonych szczególnie zasłużonych w rozwoju mechaniki należy wymienić: Maksymiliana Tytusa Hubera i
Stefana Banacha.
4
2008-11-19
Zakres wykÅ‚adu Jð
" zasady statyki, siła, moment, więzy.
" układy sił, redukcja, warunki równowagi.
" siły zewnętrzne i wewnętrzne: kratownice, belki,
ramy, obliczanie cięgien.
" geometria mas, momenty bezwładności
powierzchni płaskich.
" tarcie.
" określanie własności mechanicznych materiałów.
" analiza jednoosiowego i płaskiego stanu
naprężenia, rozciągania i ściskania.
5
2008-11-19
Zakres wykÅ‚adu Jð
" obliczenia wytrzymałościowe prętów prostych,
rozciąganych i ściskanych.
" zginanie proste, ukośne i z uwzględnieniem
naprężeń stycznych.
" wytrzymałość złożona, hipotezy
wytrzymałościowe.
" zbiorniki cienkościenne.
" wyboczenie, ścinanie, skręcanie.
" zmęczenie materiału.
6
2008-11-19
Zakres wykÅ‚adu Jð
" energia odkształcania sprężystego
" ruch punktu na płaszczyz
nie, ruch obrotowy
i płaski, ruch złożony punktu. .
" doświadczalna analiza naprężeń.
" podstawy dynamiki.
7
2008-11-19
Efekty kształcenia
" rozumienia ogólnych praw ruchu i
równowagi ciał materialnych oraz zjawisk
fizycznych, którym podlegają odkształcane
ciała stałe poddane działaniu obciążeń
zewnętrznych;
" stosowania wiedzy z zakresu mechaniki i
wytrzymałości materiałów w projektowaniu
urządzeń dla potrzeb inżynierii środowiska.
8
2008-11-19
Podstawowe pojęcia i założenia
" Punkt materialny
" Ciało doskonale sztywne
" Siła skupiona
" Siła powierzchniowa
" Siła objętościowa
9
2008-11-19
Podstawowe pojęcia i założenia
Zasady Newtona
" Punkt materialny, na który nie działa żadna siła, pozostaje
w spoczynku lub porusza siÄ™ ruchem jednostajnym po linii
prostej.
" Przyspieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do
siły działającej na ten punkt i ma kierunek siły.
" Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów
materialnych są równe co do wartości i są przeciwnie
skierowane wzdłuż prostej łączącej oba punkty.
10
2008-11-19
Jednostki masy i siły
" Od 30.12.1966 w Polsce obowiÄ…zuje
międzynarodowy układ jednostek SI
Długość  [m]
Czas  [s]
Masa  [kg]
Siła  [N]
m
1N =ð 1kg ×ð1
s2
11
2008-11-19
Aksjomaty statyki (1)
" Dwie siły mające jedną linię działania,
jednakowe moduły i przeciwne zwroty
stanowię układ równoważny zeru lub
inaczej układ zerowy
12
2008-11-19
Aksjomaty statyki (2)
" Ruch swobodnego ciała sztywnego nie
ulegnie zmianie, jeśli do działającego
układu sił dodamy lub od niego odejmiemy
układ sił równoważny zeru
13
2008-11-19
Aksjomaty statyki (3)
" Wypadkowa dwóch sił
działających w jednym
punkcie ciała sztywnego
przyłożona jest w tym
punkcie i jest siłą o
module równym
odpowiedniej przekÄ…tnej
równoległoboku i leży
na tej przekÄ…tnej
14
2008-11-19
Aksjomaty statyki (4)
" Siły, którymi działają na siebie wzajemnie
dwa ciała, mają równe moduły, są
skierowane wzdłuż jednej prostej i
zwrócone są w przeciwne strony
15
2008-11-19
Aksjomaty statyki (5)
" Jeśli ciało odkształcalne znajduje się w
równowadze pod działaniem pewnego
układu sił, to również zostanie w
równowadze ciało nieodkształcalne
identyczne z poprzednim, pod działaniem
tego samego układu sił
Aksjomat nie działa w drugą stronę
16
2008-11-19
Aksjomaty statyki (6)
" Każde ciało nieswobodne można
rozpatrywać jako ciało swobodne, jeśli
oswobodzimy je myślowo z więzów,
zastępując ich działanie siłami reakcji
17
2008-11-19
Stopnie swobody
" Stopniem swobody nazywa się możliwość
wykonania ruchu ciała niezależnego od innych
ruchów.
" Punkt materialny ma na płaszczyz
nie dwa, a w
przestrzeni trzy stopnie swobody.
" Ciało doskonale sztywne ma na płaszczyz
nie trzy,
a w przestrzeni sześć stopni swobody.
18
2008-11-19
Więzy
Przegub walcowy.
Ciało sztywne jest osadzone na
walcowym sworzniu przechodzÄ…cym przez
kołowy otwór wykonany w tym ciele. Po
pominięciu siły tarcia jako małej w
porównaniu z siłą normalną R do
powierzchni styku linia działania tej reakcji
będzie przechodziła przez oś sworznia.
Występujące dwie reakcje Rx i Ry stanowią
dwie niewiadome i umożliwiają
wyznaczenie wartości reakcji R i jej
kierunku.
19
2008-11-19
Więzy
Przegub kulisty
W celu unieruchomienia punktu podparcia
w przestrzeni stosuje siÄ™ przeguby kuliste,
które krępują swobodę przesunięć, ale
umożliwiają obrót wokół dowolnej osi. Ich
zakończenie jest wykonane w kształcie
kuli, która jest osadzona w łożysku
kulistym. W wyniku pominięcia sił tarcia w
przegubie kulistym powstaje reakcja R o
dowolnym kierunku w przestrzeni,
przechodząca przez środek kuli i mająca
trzy niezależne składowe R , R i R .
x y z
20
2008-11-19
Więzy
Podpora przegubowa przesuwna (rolkowa).
W przypadku zastosowania podpory przegubowej stałej koniec podparcia
ciała sztywnego może się obracać dookoła osi przegubu, ale nie może
się przemieszczać w dwóch kierunkach. Przy założeniu, że w przegubie
nie ma tarcia, linia działania reakcji R przechodzi przez punkt A. Powstają
dwie niezależne od siebie składowe reakcje R iR . Rozważając podporę
x y
przegubową stałą w przestrzeni należy zauważyć, że koniec podparcia B
nie może się przemieszczać w trzech kierunkach i dlatego występują trzy
niezależne składowe reakcje Rx, Ry iR .
z
21
2008-11-19
Więzy
Podpora przegubowa stała.
W przypadku zastosowania podpory przegubowej stałej koniec podparcia
ciała sztywnego może się obracać dookoła osi przegubu, ale nie może
się przemieszczać w dwóch kierunkach. Przy założeniu, że w przegubie
nie ma tarcia, linia działania reakcji R przechodzi przez punkt A. Powstają
dwie niezależne od siebie składowe reakcje R i R . Rozważając podporę
x y
przegubową stałą w przestrzeni należy zauważyć, że koniec podparcia B
nie może się przemieszczać w trzech kierunkach i dlatego występują trzy
niezależne składowe reakcje R , R i R .
x y z
22
2008-11-19
Więzy
Zawieszenie na cięgnach wiotkich.
Podwieszenie ciała za pomocą wiotkich
cięgien stwarza tzw. podpory kierunkowe
jednostronne, bo cięgna mogą być tylko
rozciągane. Reakcje S1 i S2 działają na ciało
wzdłuż tych cięgien, zgodnie z rysunkiem.
23
2008-11-19
Więzy
Oparcie o gładką i chropowatą powierzchnię.
W przypadku oparcia ciała o gładką powierzchnię (styk punktowy) występuje
jedna reakcja RA, prostopadła do powierzchni styku. Jeżeli powierzchnia
będzie chropowata, to wystąpią dwie składowe reakcji RA: normalna do
powierzchni N i styczna siła tarcia T.
24
2008-11-19
Więzy
Utwierdzenie całkowite.
Gdy chodzi o zupełne unieruchomienie ciała, wtedy stosuje się utwierdzenie
całkowite. Ciało sztywne na płaszczyz
nie ma trzy stopnie swobody, a więc
wystąpi reakcja R o dwóch składowych R i R oraz moment utwierdzenia M.
x y
Rozważając całkowite unieruchomienie ciała w przestrzeni, należy zastosować
takie utwierdzenie, które przedstawia sześć więzów. Wystąpi wtedy reakcja R o
trzech składowych R , R i R oraz moment utwierdzenia M o trzech składowych
x y z
Mx, My i M .
z
25
2008-11-19
Więzy
Ciało podparte na prętach zamocowanych przegubowo na
obu końcach (prętach przegubowych).
Ciało sztywne można także unieruchomić
przez podparcie na prętach zakończonych
przegubami. Jeżeli pominiemy ciężary
własne prętów i tarcie w przegubach, to
reakcje na ciało będą działać wzdłuż tych
prętów SA, SB i SC , zgodnie z rysunkiem.
26
2008-11-19
Płaski układ sił zbieżnych
Płaski układ sił zbieżnych P1, P2,..., Pn
przyłożonych do punktu O można zastąpić
siłą wypadkową P równą sumie
geometrycznej tych sił i przyłożoną również
w punkcie O.
27
2008-11-19
Płaski układ sił zbieżnych
W analitycznym sposobie wyznaczania
wypadkowej korzystamy z twierdzenia o
rzucie sumy wektorów, według którego
rzut sumy geometrycznej wektorów na
dowolną oś jest równy sumie rzutów tych
wektorów na tę samą oś. Przyjmując
układ współrzędnych 0xy, oznaczamy
odpowiednio przez að1, að2,..., aðn kÄ…ty
nachylenia poszczególnych sił do osi 0x.
Wypadkowa tych sił działa wzdłuż
prostej l przechodzÄ…cej przez punkt o i
nachylonej do osi 0x pod kÄ…tem að.
28
2008-11-19
Płaski układ sił zbieżnych
W geometrycznym sposobie
wyznaczania wypadkowej należy
zbudować wielobok sił, w którym wektory
sił odkładamy równolegle do ich linii
działania. Z punktu O odkładamy wektor
P1, a z jego końca wektor P2 i tak kolejne
wektory aż do Pn.
29
2008-11-19
Płaski układ sił zbieżnych
Warunki równowagi
Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli sumy rzutów
wszystkich sił na osie układu są równe zeru i moment wszystkich sił
względem dowolnego punktu 0 płaszczyzny działania sił jest równy zeru.
30
2008-11-19
Wektor główny
Dowolny układ sił, działających na
ciało sztywne, o liniach działania
leżących w jednej płaszczyz
nie
Wartość wektora głównego oraz
możemy zastąpić wektorem głównym
kÄ…t að, jaki wektor ten tworzy z osiÄ… Ox,
R, przyłożonym do dowolnie
wyznaczamy ze wzorów
wybranego środka redukcji O oraz
momentem głównym Mo względem
środka redukcji O. Wektor główny R
jest równy sumie geometrycznej
wszystkich sił układu
31
2008-11-19
Moment główny
Moment główny M względem środka redukcji 0 jako początku układu
o
współrzędnych 0xy jest równy sumie momentów danych sił układu
względem punktu 0.
32
2008-11-19
Co to jest moment?
Wyrażenie
gdzie: F jest siłą działającą wzdłuż prostej l, a r jej ramieniem
nazywamy momentem siły względem dowolnego punktu 0.
33
2008-11-19
Co to jest moment cd
Jest to wektor mający następujące cechy:
" wartość liczbowÄ… równÄ… iloczynowi (F · r) wartoÅ›ci siÅ‚y F i jej ramienia r
" kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez linię działania
siły oraz biegun
" zwrot momentu przyjmujemy zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej
34
2008-11-19
Co to jest moment cd
Parą sił nazywamy układ dwóch sił równej wartości i równoległych
(o jednakowych kierunkach), lecz o przeciwnych zwrotach.
Iloczyn wartości jednej z sił i ramienia pary nazywamy momentem pary sił.
35
2008-11-19
Co to jest moment cd
Moment pary sił uważamy za dodatni, jeżeli para dąży do obrócenia
swego ramienia w stronę przeciwną do ruchu wskazówek zegara. Jeżeli
para dąży do obrócenia swego ramienia w stronę zgodną z ruchem
wskazówek zegara, to jej moment uważamy za ujemny.
KażdÄ… parÄ™ siÅ‚ możemy zastÄ…pić wektorem momentu siÅ‚ i odwrotnie -ð każdy
wektor momentu sił możemy zastąpić parą sił, jeśli tylko iloczyn wartości siły i
odległości między siłami wynosi M
36