Zagadnienia dwuwymiarowe
zaawansowanej mechaniki ciał stałych
(na podstawie O.T. Bruhns, Advanced
Mechanics of Solids)
Przygotowali:
Adrian Grabowski
Dawid Galczak
I. Naprężenia i
odkształcenia w
dwuwymiarowych
zagadnieniach
II. Wpływ sił masowych
pochodzÄ…cych z
potencjału
III. Zagadnienia
Prof.. Otto Timmo
dwuwymiarowe w
Bruhns
układzie biegunowym
IV. Przykłady zadaniowe
¨ð Tarcza o maÅ‚ej gruboÅ›ci h
¨ð Wykonana z materiaÅ‚u o
własnościach
sprężystych
¨ð Obciążona równomiernie
na krawędzi
Nieskończenie długi walec o tworzących równoległych do osi z oraz o
wszystkich obciążeniach i siłach masowych prostopadłych do tejże
osi.
Tensor naprężeń (odkształceń) jest
reprezentowany przez macierz 3x3 i
zawiera 9 składników z których 6 jest
niezależnych co wynika z symetrii
macierzy, która go reprezentuje.
Składowe tensora z indeksem z są
pomijalnie małe więc można przyjąć, że
tensor naprężeń jest reprezentowany
przez macierz 2x2 i zawiera 4
składników z których 3 są niezależne co
wynika z symetrii macierzy, która go
reprezentuje.
Składowe tensora z indeksem
z są pomijalnie małe więc
można przyjąć, że tensor
naprężeń jest reprezentowany
przez macierz 2x2 i zawiera 4
składników z których 3 są
niezależne co wynika z
symetrii macierzy, która go
reprezentuje.
Płaski stan naprężeń: Płaski stan odkształceń:
Ze znanych nam związków:
Robert Hooke
Po zastosowaniu uogólnionego Prawa Hooke a otrzymujemy dla PSN:
I dla PSO:
gdzie F (x,y)  funkcja Airy
Równania biharmoniczne:
PSN:
PSO:
Jeżeli ciało znajduje się w otoczeniu o stałej
temperaturze, czyli "¸=0 wzór sprowadza siÄ™
do poniższej równości dla obu płaskich
przypadków:
PSN: PSO:
"Åš=0
Równanie różniczkowe zwyczajne
niejednorodne  Równanie Eulera
Całka ogólna równania różniczkowego wyraża
się wówczas wzorem:
Gdzie
Ci  stałe całkowania
Całka
szczególna
Zakładamy długi grubościenny cylinder o
promieniu wewnętrznym a i promieniu
zewnętrznym b . Cylinder jest poddany
działaniu wewnętrznego ciśnienia gorącego
gazu p .
Polecenie: Znajdz
wartość naprężenia w
cylindrze dla zadanych parametrów.
Dane:
Założenie: Liniowy rozkład temperatury
w przekroju ściany cylindra:
Przykład rozpatrzymy jako Płaski
Stan Odkształceń.
Całka szczególna równania różniczkowego
niejednorodnego ma postać:
Całka ogólna równania różniczkowego
niejednorodnego
Związki pomiędzy naprężeniami a funkcją Airy:
Warunki brzegowe:
Wykres naprężeń
promieniowych i
obwodowych
względem stosunku
r/a dla przykładu.
W celu zredukowania ekstremalnych naprężeÅ„ obwodowych ÃĆĆ pierÅ›cieÅ„
może zostać wykonany z dwóch pierścieni, które w normalnych warunkach
nachodziÅ‚yby na siebie na gruboÅ›ci 2´. Dlatego w momencie spajania
konstrukcji pierścień zewnętrzny jest ogrzewany, aby wywołać jego
rozszerzenie.
Polecenie: Określić naprężenie
pc na obwodzie w odległości c
od środka pierścieni - na styku
obu pierścieni, po
ochłodzeniu.
Równania naprężeń w układzie biegunowym z
funkcji Airy.
Przemieszczenie w kierunku radialnym:
Warunki brzegowe:
Warunek kompatybilności:
Ciśnienie to powoduje naprężenia obwodowe ściskające w wewnętrznym
pierścieniu i rozciągające naprężenia obwodowe w zewnętrznym pierścieniu.
Załóżmy płytę kołową o promieniu a i
jednakowej grubości na całej powierzchni,
która zostaje ogrzana do temperatury ¸0 i
temperatura to zostaje utrzymana.
Polecenie: Obliczyć rozkład naprężeń
w płycie i przesunięcia krawędzi,
korzystając z poniższych danych:
Założono rozkład temperatury na
powierzchni wyrażony funkcją
kwadratowÄ…:
Przykład rozpatrzymy jako Płaski Stan Naprężeń.
Całka szczególna równania różniczkowego
niejednorodnego ma postać:
Warunek brzegowy:
Wykres rozkładu naprężeń
promieniowych i obwodowych
względem odległości od środka
płyty kołowej:
Po podstawieniu:
PrzechodzÄ…c na przemieszczenia:
Plane Stress  Płaski Stan Naprężeń
Plane Strain  Płaski Stan Odkształceń
Generator  tworzÄ…ca
Mass forces  siły masowe
Equlibrium conditions - warunki równowagi
Compatibility equations  warunki zgodności
Equilibrium equations  równania równowagi
Displacments  przemieszczenia
Partial derivatives  pochodne czÄ…stkowe
General solution  całka ogólna
Particular solution  całka szczegółna
Differenta equation  równanie różniczkowe
Buckling of - wyboczenie
1. O. T. Bruhns, Advanced of Solids
1. J. Chróścielewski, M. Skowronek, W. Witkowski,
Wykłady z kursu Wytrzymałości Materiałów