2008-12-17
Mechanika i Wytrzymałość
Materiałów
Wykład 5
1
2008-12-17
Zginanie prętów prostych
Rodzaje umocowań belek:
Øð podparcie przegubowo
przesuwne (ruchowe)
2
2008-12-17
Zginanie prętów prostych
Rodzaje umocowań belek:
Øð podparcie przegubowo
nieprzesuwne (stałe)
3
2008-12-17
Zginanie prętów prostych
Rodzaje umocowań belek:
Øð podparcie w utwierdzeniu
(utwierdzenie)
4
2008-12-17
Czyste zginanie
5
2008-12-17
Czyste zginanie
6
2008-12-17
Czyste zginanie
Stan czystego zginania występuje wówczas, gdy w przekroju
poprzecznym belki działa tylko moment zginający, zaś siła
poprzeczna jest równa zeru Tx.
7
2008-12-17
Czyste zginanie
Omówione obserwacje pozwalają na przyjęcie pewnych założeń:
1. Przekroje poprzeczne płaskie przed odkształceniem pozostają
płaskie po odkształceniu (hipoteza płaskich przekrojów),
2. Istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny
działania pary sił momentu gnącego,
3. Włókna wzdłużne nie wywierają na siebie nacisku  znajdują
się w jednowymiarowym stanie naprężeń,
4. Odkształcenie włókien równoległych do osi pręta i znajdują-
cych się w płaszczyz
nie równoległej do warstwy obojętnej nie
zależą od położenia w tej płaszczyz
nie.
8
2008-12-17
Czyste zginanie
gdzie: rð - promieÅ„ krzywizny
warstwy obojętnej
9
2008-12-17
Czyste zginanie
Układając warunki równowagi otrzymamy
wyrażając powyższe równania poprzez
otrzymamy:
10
2008-12-17
Czyste zginanie
gdzie:
moment statyczny pola przekroju poprzecznego względem osi Z
WNIOSEK: os obojętna przekroju musi przechodzić przez jego
środek ciężkości
11
2008-12-17
Czyste zginanie
gdzie:
moment dewiacji Jyz pola przekroju poprzecznego względem
osi Y i Z
WNIOSEK: równanie jest prawdziwe gdy osie Y i Z są
głównymi centralnymi osiami bezwładności pola przekroju.
12
2008-12-17
Czyste zginanie
moment bezwładności Jz pola przekroju poprzecznego względem osi Z
Na podstawie powyższego równania otrzymamy związek
między krzywizną belki i momentem gnącym i naprężeniem:
13
2008-12-17
Czyste zginanie
Powyższe zależności pozwalają na wyznaczenie naprężeń
normalnych w punktach przekroju poprzecznego belki
oddalonych o y od osi obojętnej.
14
2008-12-17
Czyste zginanie
Wprowadz
my iloraz momentu bezwładności pola przekroju
względem osi obojętnej i odległości najdalej oddalonych
punktów przekroju
stąd wartość największych naprężeń normalnych wynosi:
a Wz określamy jako wskaz
nik wytrzymałości przekroju
na zginanie.
15
2008-12-17
Wskaz
nik wytrzymałości przekroju na zginanie
Moment bezwładności pola prostokąta wynosi
Odległość max oddalonych punktów przekroju
Wskaz
nik wytrzymałości przekroju
prostokÄ…tnego dla osi Z i Y wynosi:
16
2008-12-17
Wskaz
nik wytrzymałości przekroju na zginanie
17
2008-12-17
Wskaz
nik wytrzymałości przekroju na zginanie
18
2008-12-17
Przydatność
profilu do zginania
przy A=const
19
2008-12-17
Wytrzymałość na zginanie
otrzymamy:
20
2008-12-17
Wytrzymałość na zginanie
UWAGA:
1. W przypadku gdy odległości są równe (eI=eII=e) można mówić o jednym
wskaz
niku wytrzymałości przekroju na zginanie.
2. Jeśli materiał ma jednakową wytrzymałość na ściskanie i rozciąganie
podstawą do oceny wytrzymałości pręta zginanego będzie bezwzględnie
największa wartość naprężenia.
PrzyjmujÄ…c jeden wskaz
nik
gdzie emax jest największą odległością skrajnego włókna od
osi obojętnej otrzymujemy:
21
2008-12-17
Wytrzymałość na zginanie
Przykład
22
2008-12-17
Wytrzymałość na zginanie
23
2008-12-17
Wytrzymałość na zginanie
UWAGA:
1. W przypadku belek krótkich obliczenia przeprowadza się niezależnie dla
max naprężeń zginających i max naprężeń stycznych (tnących)
wywołanych siłami poprzecznymi.
Warunki wytrzymałościowe określają nierówności:
Gdzie: T  siła poprzeczna w rozpatrywanym przekroju,
S(y)  moment statyczny względem osi obojętnej części pola przekroju
poprzecznego belki,
b(y) - szerokość warstwy równoległej do osi obojętnej
Jest to tzw. wzór Żurawskiego
24
2008-12-17
Wytrzymałość na zginanie
Przykład
25
2008-12-17
Wytrzymałość na zginanie
26
2008-12-17
Równanie różniczkowe osi ugiętej
Zależności różniczkowe pomiędzy obciążeniem i siłami wewnętrznymi
Pochodna siły poprzecznej względem
współrzędnej x wzdłuż osi pręta jest
równa natężeniu obciążenia ciągłego.
Pochodna momentu gnącego względem
x jest równa sile poprzecznej.
Druga pochodna momentu gnÄ…cego
względem x jest równa natężeniu
obciążenia ciągłego.
27
2008-12-17
Równanie różniczkowe osi ugiętej
Z geometrii różniczkowej krzywiznę dowolnej krzywej płaskiej
przedstawia równanie:
28
2008-12-17
Równanie różniczkowe osi ugiętej
Porównując oba równania otrzymamy:
Równanie te nazywamy równaniem różniczkowym linii ugięcia
Uwzględniając: oraz
otrzymamy:
29
2008-12-17
Równanie różniczkowe osi ugiętej
Po jednokrotnym całkowaniu otrzymujemy:
Całkując powtórnie:
30
2008-12-17
Równanie różniczkowe osi ugiętej
W ten sposób dochodzimy do równań, z których pierwsze określa
równanie kątów obrotu przekrojów
natomiast drugie równanie osi odkształconej belki
31
2008-12-17
Równanie różniczkowe osi ugiętej
Warunki brzegowe do wyznaczania równania osi ugiętej
32
2008-12-17
Równanie różniczkowe osi ugiętej
Przykład
33
2008-12-17
Równanie różniczkowe osi ugiętej
34
2008-12-17
Wyznaczanie odkształceń belek zginanych
Obliczanie wymiarów poprzecznych belki zginanej ze względu na
jej sztywność.
założenie:
35
2008-12-17
Wyznaczanie odkształceń belek zginanych
Przykład
36
2008-12-17
Wyznaczanie odkształceń belek zginanych
37
2008-12-17
Wyznaczanie odkształceń belek zginanych
38