1. Zadania wytrzymałości materiałów.
a) kontrolne  sprawdzenie czy dany układ (konstrukcja) przenosi obciążenia dopuszczalne
b) kształtowania  zapewnienia konstrukcji odpowiedniej sztywności (wyznaczenia przemieszczeń)
2. Omówić sposób określania sił wewnętrznych w prętach.
Aby wyznaczyć siły wewnętrzne w prętach należy dokonać myślowego przekroju pręta. Następnie
korzystając z warunków równowagi (suma sił i momentów w pręcie musi być równa zero) wyznaczamy
siły wewnętrzne i reakcje.
�
Fxy = 0, �
Fzy = 0, �
Fxz = 0,�
Mzy = 0,�
Mxy = 0,�
Fxz = 0,
Siły wewnętrzne przedstawiają działanie odrzuconej umownie części ośrodka na część rozpatrywaną.
Zgodnie z trzecim prawem Newtona, siły te zawsze są parami przeciwne, działają wzdłuż tej samej
prostej, mają równe wartości bezwzględne, lecz przeciwne zwroty. Aby je wykryć należy dokonać
myślowego przekroju badanego obiektu.
" Układ sił wewnętrznych przyłożonych do części I (z
jakim cześć II działa na część I) jest równoważny
układowi sił zewnętrznych przyłożonych do części II.
" Układ sił wewnętrznych przyłożonych do cześci II, a
pochodzących od działania punktów materialnych
części I, jest równoważny układowi sił zewnętrznych
przyłożonych do części I.
Dla dowolnego przypadku obciążenia układ sił
wewnętrznych zredukowanych do środka ciężkości przekroju sprowadzi się do wektora głównego W i
momentu głównego M. Zasadnicze znaczenie będą miały przede wszystkim rzuty wektora głównego W
i momentu głównego M na kierunki normalny i styczny do przekroju ze względu na skutki fizykalne.
Układ zredukowany do środka ciężkości:
W-wektor główny, zrzutowany na:
" N-siła wewnętrzna normalna
" T-siła tnąca
M-moment główny
" Mg-moment gnący
" Ms-moment skręcający
3. Rozciąganie i ściskanie pręta prostego o stałym przekroju. Prawo Hooke'a.
Rozciąganie - siły wewnętrzne w przekroju poprzecznym pręta zredukowane do środka ciężkści
przekroju sprowadzają się do siły wypadkowej N działającej wzdłuż osi pręta zgodnie z wketorem
�
normlanym n do przekroju.
Ściskani e- siła wypadkowa skierowana jest przeciwnie do wektora normalnego.
Siłę wewnętrzną N obliczyć można zatem jako sumę elementarnych sił wewnętrznych dN=� dA,
n
występujących na powierzchni A jako:
N= dA
+"�
n
A
Gdy założymy, że rozkład naprężeń przekroju pręta jest jednorodny, � const, A=const, jednorodność
n=
materiału pręta, to:
N
� =
n
A
Prawo Hooka:
Pl
"l=
EA
Wniosek: odkształcenie ciała pod wpływem siły jest wprost proporcjonalne do tej siły.
4. Wyprowadzić zależność na całkowite wydłużenie pręta.
Odkształcenia podłużne:
dx'-dx du
�= =
dx dx
l
"l= � dx=� l
+"
x x
0
"l
� =
x
l
Odkształcenia poprzeczne:
dy'-dy du
�= =
dy dy
d
2
" d= � dy=� d
+"
y y
-d
2
"d
� =
y
d
�
N "l
x
Korzystając z � = , � = , � = i N=P, prawo Hooke'a:
n
x x
A l E
Pl
"l=
EA
5. Podać i zilustrować zasadę de Saint  Venanta.
 Jeżeli na pewien niewielki obszar ciała sprężystego pozostającego w równowadze
działają kolejno rozmaicie rozmieszczone, ale statycznie równe obciążenia, to w odległości od obszaru
przewyższającej wyraz
nie jego rozmiary powstają praktycznie jednakowe stany naprężenia i
odkształcenia
Jeśli na sprężyste ciało działa układ sił statycznych
przyłożonych na powierzchni małej w stosunku do
powierzchni całego ciała i zastąpimy ten układ sił
dowolnym innym układem  jednak statycznie mu
równoważnym  to istnieje taki przekrój tego ciała,
dostatecznie odległy od miejsca przyłożenia sił, że
różnice w naprężeniach, odkształceniach
i przemieszczeniach, pochodzących od obu przypadków obciążenia, są dowolnie małe (tzn. wpływ
N
działających sił uśrednia się). � =
n
A
6. Zasada zesztywnienia.
Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod działaniem pewnego układu sił, to również
pozostanie w równowadze ciało doskonale sztywne, identyczne z poprzednim, pod działaniem tego
samego układu sił. Wynika stąd wniosek, że warunek konieczny i wystarczający do równowagi ciała
sztywnego jest tylko warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym do równowagi ciała
odkształcalnego.
Zasada ta, upraszcza badanie równowagi konstrukcji pod działaniem obciążeń, tak, jakby obciążenie
nie powodowało odkształceń a konstrukcja pozostawała w tzw. konfiguracji pierwotnej. Stosując takie
założenie wyznacza się reakcje podpór i siły wewnętrzne, które dopiero w dalszej kolejności
umożliwiają określenie deformacji konstrukcji - jej odkształceń i przemieszczeń. Przemieszczenia
konstrukcji wiążą się także ze zmianą położenia jej obciążeń. W większości przypadków konstrukcji -
wykonanych z materiałów tak sztywnych jak stal czy beton - uzyskuje się zadowalające wyniki.
7. Omówić podstawowe próby doświadczalne badania materiałów (krzywa rozciągania  podać
przykładową krzywą dla stali, próba udarności, próba ściskania).
Próba statyczna rozciągania
Jako podstawowe doświadczenie w wytrzymałości materiałów, mające doprowadzić do określenia
właściwości mechanicznych materiału, uważa się próbę rozciągania. Próbka do badań na rozciąganie
ma zazwyczaj postać pręta okrągłego o określonych normami wymiarach.
Podstawową próbę rozciągania nazywa się statyczną, chociaż obciążenie wolno narasta z określoną
prędkością. Zakłada się jednak, że odpowiadające określonym naprężeniom odkształcenia pojawiają się
natychmiast po zadziałaniu obciążenia, tzn. że istnieje w każdej chwili równowaga w stanie naprężenia
i odkształcenia.
Po ustaleniu odpowiednich parametrów: realizacji obciążenia próbki, pomiaru jej odkształcenia oraz
sposobu rejestracji wyników rozpoczyna się próba rozciągania.
Po osiągnięciu pewnej wartości siły Fe siła mimo wzrastających wydłużeń nie tylko nie wzrasta, ale
może nawet chwilowo zmniejszać się. Ponieważ odkształcenia zachodzą tu bez wzrostu obciążenia,
zachowanie materiału określa się jako płynięcie.
Granica
plastyczności jest to naprężenie, po osiągnięciu którego występuje wyraz
ny wzrost
wydłużenia rozciąganej próbki bez wzrostu lub nawet przy spadku obciążenia (odcinek
EM oraz MU)
Wytrzymałość materiału na rozciąganie Rm jest to stosunek największej siły Fm
przenoszonej przez próbkę do początkowego pola So przekroju próbki.
Granica proporcjonalności R jest to naprężenie, po przekroczeniu którego materiał
H
nie podlega prawu Hooke'a, czyli nie wykazuje proporcjonalności między
przyrostem obciążenia i przyrostem wydłużenia.
Naprężenie rozrywające Ru jest to stosunek siły Fu, przy której następuje zerwanie
próbki, do pola Su przekroju próbki w miejscu zerwania.
Ściskanie
Próbę ściskania stosuje się dla celów technicznych do materiałów
kruchych; jest to konieczne również dlatego, że materiały te
wykazują dużo większą wytrzymałość na ściskanie niż na
rozciąganie. Na rysunkach 2.7-2.11 przedstawiono wykresy
rozciągania i ściskania dla różnych materiałów.
Próba udarności
W praktyce laboratoryjnej stosuje się dynamiczną próbę na zginanie udarowe zwaną próbą
udarności (wg PN-79/H-04370). Znormalizowane próbki mają kształt beleczki o przekroju
kwadratowym (rys. 2.16) zaopatrzonej w połowie rozpiętości w jednostronny karb typu U lub
typu V. W przypadku
Podparta w sposób swobodny próbka zostaje w
środkowym przekroju obciążona udarowo
poruszającym się z określoną prędkością ciężkim
wahadłem młota (rys. 2.17). Uderzenie następuje po
stronie przeciwległej karbowi. Urządzenie badawcze,
w którym realizuje się tę próbę, zwane młotem
udarnościowym (Charpy'ego) umożliwia
wyznaczenie pracy K (J) potrzebnej do złamania
próbki. Iloraz tej pracy przez pole S (cm2)
o
osłabionego karbem przekroju próbki zwie się
udarnością i oznacza symbolem KC = K/S (J/cm2).
o
8. Obliczenia wytrzymałościowe prętów na rozciąganie (ściskanie).
W poprawnie zaprojektowanej konstrukcji wytężenie nieliniowymoże nigdzie osiągać stanu
niebezpieczniego. Dlatego w prętach rozciąganych (ściskanych) naprężenia sigma powinny mieć
mniejszą wartość od naprężeń niebezpiecznych.
Warunek bezpieczeństwa:
Re
P
� = d"kr= lubRm ,nm
A ne
kr-naprężenia dopuszczalne
n>1 współczynnik bezpieczeństwa
Warunek sztywności:
Pl
"l= d""ldop
EA
�ądop"ą�ą
,
nieb
�dop = �nieb/n, n  współczynnik bezpieczeństwa, n > 1
9. Omówić problem koncentracji naprężęń.
W przekrojach //-//, ///-///, /1/-/1/ naprężenia normalne są inne niż w przekroju /-/. Naprężenia
nominalne (średnie) w dostatecznej odległości od przekroju, w którym jest przyłożona siłaf^
wynoszą
Jak wykazują badania, rozkład rzeczywistych naprężeń normalnych w tych przekrojach jest
nierównomierny, a największe naprężenie występuje na dnie wycięcia (rys. XI1-11). Im dalej od
miejscowej zmiany przekroju (od wycięcia), tym rozkład naprężeń staje się coraz bardziej równomierny.
Takie lokalne zwiększenie naprężeń występujące w miejscach nagłych zmian przekroju nazywamy
spiętrzeniem naprężeń.
Ostre wcięcia występujące w elementach konstrukcyjnych nazywamy karbami. Karb jest zawsze
przyczyną powstawania spiętrzenia naprężeń.
Największe naprężenia lokalne wywołane działaniem karbu obliczamy wg wzoru
10. Wyznaczyć odkształcenia w pręcie wywołane zmianą temperatury.
Naprężenie normalne wywołane zmianą temperatury zależy od modułu sprężystości wzdłużnej,
współczynnika liniowej rozszerzalności cieplnej oraz od różnicy temperatury. Nie zależy natomiast od
długości pręta ani od jego przekroju poprzecznego.
"l = ą "t l
N = ą "t E A
11. Momenty bezwładności.
Dla figury płaskiej:
2
Ix= dA
+"y
A
Iy= x2dA
+"
A
2
I0= dA
+"�
A
12. Wyprowadzenie twierdzenia Steinera:
Współrzędne cząstki masy dm w obrębie bryły w układach C oraz O są w następujących
XYZ xyz
związkach:
x=X-a
y=Y-b
z=Z-c
Moment bezwładności Ix, zgodnie z definicją, wynosi:
2
Ix= +z2)dm
+"(y
m
Podstawiając:
2 2
Ix= +Z2))dm-2b
+"((Y +"Ydm-2c+"Zdm++"(b +c2)dm
m m m m
Pierwsza całka-moment bezwładności względem osi centralnej Cx, druga i trzecia równe 0, ostatnia
równa m(b2+c2). Ostatecznie:
Ix=Ix+m(b2+c2)
13. Obliczanie momentu bezwładności przekroju, np: a) prostokątnego, b) teowego.
(koło, prostokąt itp).
14. Wyprowadzić wzór na � przy skręcaniu prętów o przekrojach okrągłych.
Ms
� = �"�
�
I0
Największe naprężenia styczne w danym przekroju występują we włóknach skrajnych dla
d
�=� =
max
2
Ms I0 2I0
� max=Ms�"d = gdzie W0= =
I0 2 W0 d d
2
15. Wyprowadzić wzór na wyznaczenie naprężeń w pręcie skręcanym.
Ms x2 Ms
df
Mobra"Ms; = ; f= �"dx
+"
dx GIo x1 GI0
Ms l
Przyjmuję: x1=0 ; Ms,I0=const; f=
GI0
16. Obliczenia wytrzymałościowe okrągłych prętów skręcanych
Warunek wytrzymałości wału skręcanego:
Ms
�ąMAX=
Ws
4
ąą"d
Is=
32
3
ąą"d
Ws=
16
Ms
�ąDOPąlub=
Ws
4
ąą"śą D4-d źą
Is=
32
4 4
ąą"śąd -d źą
Ws=
16
�ąS
- warunek wytrzymałości na skręcanie
Ws=
r
17. Zginanie czyste  definicja, hipotezy.
Jest to zginanie w którym siła tnąca T = 0 ( występuje Mg )
Zginanie czyste - zginanie w którym siła tnąca równa się 0. W zginaniu czystym tylko moment gnący.
Moment gnący w dowolnym przekroju pręta jest równy sumie momentów względem środka tego
przekroju wszystkich sił oddziałujących na część pręta oddzielonego tym przkrojem.
HIPOTEZY:
1. Płaskich przekrojów-przekroje belki są 4% do osi wzdłużnej pozostają płaski i 4% do tej osi po
zachowaniu momentu zginającego
2. Poszczególne włókna belki nie wywierają na siebie żadnego nacisku, a także pomiędzy włóknami nie występują
żadne siły styczne.
18. Zginanie poprzeczne  definicja.
Zginanie poprzeczne - powodowane przez siłę poprzeczną, czyli sumę algebraiczną wszystkich sił zewnętrznych położonych po
jednej stronie tego przekroju, rzutowanych normalną do osi belki w miejscu przekroju.
19. Wyprowadzić wzór na wyznaczanie naprężeń w pręcie zginanym.
dx (1+� ) � +#"y#" #"y#"
dx
df= = ; =1+� ; � =
� �
� +#"y#" �
Z prawa Hooke' a :� =E�"� ; � =E�"� +#"y#"
�
Warunkirówniania:I. Fx=0; II. My=0 ; III. Mz=0
" " "
I. � dA=0; II. #"y#"� dA+Mg=0 ; III. z � dA=0
+" +" +"
A A A
E E
= #"y#"dA=0 ; #"y#"#"y#"dA+Mg=0 z II.1 =-MG
+" +"
� � �
EIz
A A
� (y )=E(-MG )#"y#"=-Mg�"y#"
#"
EIz Iz
Mg�"ymax
� = =Mg ; Wg-wskaz
wytrzna zgin
max
Iz Wg
20. Wytrzymałość na zginanie.
Wytrzymałość na zginanie - maksymalne naprężenie włókien występujące w próbce tuż przed jej pęknięciem
lub złamaniem. W wypadku materiałów, które nie pękają w próbie zginania, podaje się giętną granicę
plastyczności zamiast wytrzymałości na zginanie. Alternatywnym terminem jest umowna wytrzymałość
na zginanie.
Iz Mg
Wg= ; � = d"�
max dop
�
max
W
21. Zginanie ukośne. Wyznaczyć kierunek osi obojętnej.
Zginanie ukośne - jeśli wektor momentu gnącego nie pokrywa się z kierunkiem jednej z głównych osi
bezwładności przekroju, to taki przypadek obciążenia zwie się zginaniem ukośnym.
Kierunek osi obojętnej:
Mgy Mgz
� = zn- In oś obojętna� =0
a A
Iy Iz
Iy Ia siną
siną Mgcosą
Mg �"2a- �"Ia=0 ; =
Iy Iz Iz 2a cos ą
Iy Iz
tgą= tg� ; tg� = tgą
Iz Iy
Kierunek osi obojętnej przy zginaniu ukośnym nie pokrywa się z kierunkiem wektora momentu
gnącego.
22. Wyprowadzić wzór Żurawskiego. Wyznaczyć rozkład � dla przekroju: a) prostokątnego, b)
kołowego.
dMg Mg�"y dMg�"y
T= =const ; � = ; d� =
dx Iz Iz
(� +d� )dA '- %isigmadA '-� dx�"b(y)=0
+" +"
yx
A A
dMg�"IdA'
+"
'
+"d� ' dA '-� dx�"b(y )=0 ; � =A
yx yx
dx�"b (y)
A
WYZNACZENIE DLA PRZEKROJÓW JEST NA ZDJ
CIU DSC01494, za dużo wzorów, nie chce mi
się przepisywać w formułach ;)
23. Wyprowadzić dla odcinka belki prostej obciążonej q, zależność pomiedzy M, T, q.
dt (dx)2
Fy :-T+qdx+T+dt=0 ; =-q ; M: Tdx+Mg-q -Mg-dMg=0
" "
dx 2
24. Podać założenia przy wyznaczaniu osi ugiętej pręta.
a) M (+),
b) y > 0
d ' y
"ą0
c)
d x2
25. Wyznaczyć równanie osi ugiętej i podać interpretację (znak).
W zginaniu prostym oś ugięta jest krzywą płaską. W układzie prostokątnym, w którym oś ,v pokrywa
się z nieodkształconą osią pręta, oś ugiętą określa równanie osi ugiętej y = f(x): jej krzywiznę natomiast
wyraża wzór:
Z geometrii różniczkowej krzywiznę dowolnej krzywej płaskiej v = f(x) przedstawia równanie
Po podstawieniu otrzymujemy
Jest to równanie osi ugiętej w postaci różniczkowej. Całkowanie równania może nastręczać znaczne
trudności. W praktyce technicznej najczęściej, wskutek dużej sztywności prętów ich odkształcenia są
małe, a promienie krzywizny osi ugiętej bardzo duże, w wyniku czego przemieszczenia liniowe i
kątowe są również małe. Z dostateczną więc dokładnością przyjmuje się, że współrzędna v wyraża
całkowite przemieszczenie liniowe osi pręta i zwykle wielkość tę nazywa się krótko ugięciem. Kąt
zawarty między osią pręta nie odkształconego x a styczną do osi ugiętej jest przemieszczeniem
kątowym; nazywa się go zwykle kątem ugięcia. Jeżeli zakłada się. że przemieszczenia kątowe są
bardzo małe, to należy również uwzględnić, że (y )2 << 1, stąd można przyjąć, że mianownik po
prawej stronie równy jest w przybliżeniu 1.
Przy wymienionych założeniach
upraszczających równaniu nadaje się
następującą postać:
Przyjęcie w równaniu znaku minus lub plus jest
zależne od ustalenia znaku momentu gnącego i
od orientacji układu osi. Stosując znakowanie
momentu gnącego i układu osi jak w rozdz. 9
pisze się równanie różniczkowe osi ugiętej w
postaci
26. Podać warunki brzegowe przy wyznaczaniu osi ugiętej pręta dla typowych zamocowań
(podpora stała, podpora ruchoma, przegub itp.)
Przykładowe wrunki brzegowe:
a) podpora stała (utwierdzenie)
b) podpora przegubowa (stała i ruchoma)
y(x = 0) = 0
c) przegub
27. Podać wytyczne w metodzie Cleb
a) zaczynamy od jednego krańca belki i po kolejki wypisujemy wszystko co działa na tę belkę w postaci:
O(x-a)o
O  siła.
a  odległość siły od krańca belki
o  potęga zależna od rodzaju siły.
o dla momentów wynosi 0, dla sił 1 dla obciążeń ciągłych 2(dodatkowo wartość obciążenia ciągłego
należy podzielić przez dwa).
Rodzaj Wartość (O) Potęga (o) Zapis w metodzie Clebscha
Moment M 0 M(x - a)0
Siła P 1 P(x - a)1
Obciążenie ciągłe q 2
b) Przy całkowaniu nie rozwijamy wyrazów w nawiasach odpowiedzialnych za położenie. np.
28. Podać interpretację fizyczną stałych całkowania w metodzie Clebscha.
Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych:
C
� = - kąt ugięcia na początku układu
0
EI
D
y0 = - kąt ugięcia w początku układu
EI
29. Podać definicję naprężenia, tensora stanu naprężenia, schemat postępowania przy
wyznaczaniu osi głównych i naprężeń głównych.
Naprężenie  miarą gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym.
Jest podstawową wielkościa mechaniki ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.
Naprężenie w dowolnym punkcie zależy od kierunku, w którym jest rozpatrywane. Mimo iż pole
powierzchni przekroju A dąży do zera, czyli przekrój dąży do punktu, istotne jest jaki kierunek miała
normalna do powierzchni przekroju:
lim F
s=
A
Zmieńmy prostokątny układ osi O xyz na podobny o osiach Ox'y'z'. Kierunki osi x',y', z' określają
odpowiednie kosinusy kierunkowe
(l = cos(x x'), l = cos(x y'),...)
1 2
Korzystając z wzorów:
można wyznaczyć naprężenie w układzie Ox'y'z ze wzorów 4.7 :
Wielkość określoną trzema wektorami p , p , p , która przy zmianie układu osi transformuje się według
x y z
wzorów (4.7), nazywa się tensorem, a p . p , p są wektorami składowymi tensora stanu naprężenia.
x y z
Tensor ten może być również określony dziewięcioma składowymi algebraicznymi, które zapisuje się w
postaci macierzy, zwanej reprezentacją tensora
Schemat postępowania przy wyznaczaniu osi głównych i naprężeń głównych:
Można znalez
ć układ osi (0,1,2,3) dla którego naprężenia poprzeczne wynoszą zero.
Taki układ osi nazywamy osiami głównymi.
30. Omówić postulat Boltzmana.
Postulat Boltzmana  składowe naprężeń stycznych prostopadłych do krawędzi przecięcia się z drugim
przekrojem elementu wzajemnie peostopadłego są sobie równe.
(�zy dxdy) dz  (�yz dxdz) dy = 0
�zy = �yz
�xz = �zx
�yx = �xy
31. Podać definicję głównych osi stanu naprężęnia, naprężeń głównych. Płaski stan naprężęnia.
Płaszczyzny, dla których wartości naprężeń stycznych równają się zero, tzn. naprężenie normalne jest
całkowitym naprężeniem w tej płaszczyz
nie nazywa się płaszczyznami głównymi.
Kierunki normalne dla tych płaszczyzn nazywają się kierunkami głównymi naprężenia, a naprężenia
występujące w płaszczyznach głównych naprężeniami głównymi.
Jeżeli jedno z naprężeń głównych jest równe zeru, to stan naprężenia nazywa się płaskim; wówczas
niezależnie od obranego układu osi niezmiennik s = 0. Jest to wystarczającym warunkiem dla
III
stwierdzenia płaskości stanu naprężenia.
Płaską, cienką tarczę (rys. 4.11a) obciążono na krawędziach siłami działającymi w jej płaszczyz
nie xy.
W dostatecznej odległości od krawędzi naprężenia rozkładają się jednostajnie na jej grubości, przekroje
zaś prostopadłe do osi z są wolne od jakichkolwiek naprężeń. Na ściankach wydzielonego elementu
działają naprężenia (rys. 4.11b). Pozostałe składowe stanu naprężenia są równe zeru
Dla tak określonego stanu naprężenia niezmiennik s wynosi
III
s
III
W każdym obciążonym przedmiocie panuje w warstwie zewnętrznej wolnej od bezpośredniego
działania sił zewnętrznych płaski stan naprężenia. Kierunek prostopadły do powierzchni ciała jest
kierunkiem głównym odpowiadającym naprężeniu zerowemu.
Naprężenia główne osiągają wartości ekstremalne z wszystkich możliwych, przy obrocie prostokątnego
układu osi. Wartość poszukiwanych naprężeń głównych można wyznaczyć z wyprowadzonego
uprzednio równania wiekowego.
Wyznaczmy niezmienniki s , s , s dla płaskiego stanu naprężenia
I II III
Po uwzględnieniu s = 0 otrzymujemy równanie kwadratowe i wyznaczamy jego pierwiastki
III
Jeżeli podstawimy za s i s obliczone wartości, otrzymujemy
I II
Są to dwa naprężenia główne, które wraz z trzecim równym zeru określają stan naprężenia. Nie biorąc
pod uwagę zerowego naprężenia głównego, pozostałe naprężenia główne oznaczamy symbolami
, zastosowanymi w powyższym równaniu.,
32. Przedstawić dany stan obciążenia za pomocą koła Mohra.
Koło Mohra dla naprężeń:
ąą
�max dla 2ą =
2
1 ąą
�max = |�| dla ą =
2 4
1
�max = |� - � ||
1 2
2
Koło Mohra dla odkształceń:
33. Zilustrować z zastosowaniem koła Mohra szczególne stany naprężeń: jednoosiowe
rozciąganie, jednoosiowe ściskanie, ścinanie.
Jednoosiowy stan naprężęń:
Rozciąganie:
Ścinanie:
34. Tensor stanu odkształcenia.
Graficznie:
Stan odkształcenia (w 3D) określa 6 wielkości: Ex, Ey, Ez, ł xy, ł xz, ł yz.
35. Płaski stan odkształcenia. Odkształcenie główne. Koło Mohra.
Ogólnie, linie proste przed odkształceniem mogą po odkształceniu ulec skrzywieniu, w odniesieniu
jednak do odcinka wyznaczonego przez punkty M, N ze względu na jego nieskończenie małą długość
należy uważać, że odcinek ten pozostaje po odkształceniu nadal prosty.
Odkształcenie płaskiego elementu określają trzy wielkości: wydłużenia względne � � oraz kąt
x y
odkształcenia postaciowego ł , zwany również odkształceniem poprzecznym lub posunięciem,
xy
wyrażający się zmianą kąta między bokami elementu (w mierze łukowej). Stosowane określenia kąta y
wymagają pewnego wyjaśnienia.
Niech teraz odkształcenie nastąpi wskutek posunięcia się poszczególnych warstw po sobie w
taki sposób, że krawędz
BC przeszła w B C Oczywiście posunięcie takie nie wpłynie na pole
powierzchni elementu, zmienia natomiast jego kształt, długość boku BC (czego w uprzednich
wywodach nie uwzględniono) i kąt naroża B. Miarą tego odkształcenia jest posunięcie CC , odniesione
do jednostki długości boku BC, a więc poch. u / poch. y (ponieważ druga krawędz
nieruchoma poch.
v / poch. x = 0). Dla bardzo małych odkształceń wyrażenie to może być również miarą kąta
ł = poch. u /poch y .
xy
Tak właśnie wyobrażamy sobie mechanizm odkształcenia zwanego posunięciem.
Przykładowe rysowanie koła Mohra dla odkształcenia
Dane:
Wyznaczyć odkształcenia główne: � �
1 2
Rozwiązanie:
36. Uogólnione prawo Hooke'a/płaski i przestrzenny stan/.
Dla płaskiego: ( dla naprężenia i odkształcenia na osiach głównych nie ma odkształcenia postaciowego
ł i naprężenia stycznego � )
xy xy
Dla przestrzennego: ( dla głównych podobna sytuacja jak dla płaskiego )
37. Co to jest wytężęnie. Naprężenie zredukowane.
Wytężenie materiału  w wytrzymałości materiałów stan materiału obciążonego siłami zewnętrznymi,
w którym istnieje niebezpieczeństwo przejścia w stan plastyczny  przekroczenie granicy sprężystości,
jeśli materiał taką posiada  lub utrata spójności (pękniecie, przełom, dekohezja).
Wytężenie materiału określa się przez redukcję złożonego stanu naprężenia do jednego naprężenia
zredukowanego lub zastępczego. To naprężenie może być porównane z podstawowymi
wytrzymałościowymi stałymi materiałowymi wytrzymałości na rozciągnie Rm lub naprężeniem
rozrywającym Ru, które uzyskuje się w czasie statycznej próby rozciągania. Do redukcji złożonego
stanu naprężenia stosuje się hipotezy wytężeniowe. Najczęściej stosowana jest hipoteza energii
właściwej odkształcenia postaciowego (sformułowana przez polskiego uczonego Maksymiliana T.
Hubera, oraz niezależnie przez Austriaka Richarda von Misesa), która zakłada, że ciało jest doskonale
sprężyste, i że praca naprężenia zredukowanego równa jest sumie prac wszystkich naprężeń
składowych:
śą�ąx-�ą źą2�ąśą�ąy-�ą źą2�ąśą�ą -�ązźą2
y z z
�ąredukowana= �ą�ą2 �ą�ą2 �ą�ą2
XY YZ ZX
2
ćą
Podstawą obliczeń wytrzymałościowych jest upewnienie się, iż naprężenie zastępcze jest mniejsze od
naprężenia dopuszczalnego k
�red < k
38. Hipoteza Hubera Misesa  energia odkształcenia jest miarą  zależności...
Jest to hipoteza największej energii odkształcenia postaciowego.
Miarą natężenia materiału jest gęstość energii odkształcenia postaciowego.
Tytus Maksymilian Huber podał postać tej hipotezy w 1904 roku. W 1913 roku von Mizes
zaprezentował identyczną hipotezę (a w 1934 Henkey)
Energia sprężysta odkształcenia postaciowego w złożonym stanie naprężeń:
1+Ń
2 2 2
�(1) = [(�x -� )2 + (� -�z )2 + (�z -�x)2 +� (� +� +� )]
f y y xy yz zx
� E
Energia sprężysta odkształcenia postaciowego w stanie rozciągania jednoosiowego:
1+Ń
�(2) = 2�zred.2
f
� E
Porównanie:
(2)
�(1) = �
f f
W płaskim stanie naprężeń �z = 0
2 2 2
�zred = �x + � -�x� + 3�
y y xy
Powierzchnią graniczną jest walec równo pochylony na osi �1,�2,�3 Hipoteza Hubera w
najbardziej wiarygodny sposób określa poziom wytężenia materiału.
Konstrukcja zaprojektowana zgodnie z hipotezą Hubera będzie lżejsza i równie bezpieczna.