x
1. Niech fn(x) = n sin , n " N. Ciąg funkcyjny (fn)n"N:
3n
x
(a) jest zbieżny punktowo do funkcji f(x) = na zbiorze [-3, 1] i nie jest zbieżny jednostajnie
3
do tej funkcji na tym zbiorze.
x
(b) jest zbieżny jednostajnie do funkcji f(x) = na zbiorze [-2, 2].
3
(c) jest zbieżny jednostajnie do funkcji f(x) = 3x na zbiorze [-1, 1].
(d) nie ma granicy jednostajnej na zbiorze [-2, 2].
(e) nie ma granicy punktowej na zbiorze R.
"
n
2. Niech fn(x) = x, n " N. Ciąg funkcyjny (fn)n"N:
(a) jest zbieżny punktowo do funkcji f(x) = 1 na zbiorze [1, 2] ale nie jest zbieżny jednostajnie
do f na [0, 1].
(b) jest zbieżny jednostajnie do funkcji

0 dla x = 0
f(x) = na zbiorze [0, 1].
1 dla x " (0, 1]
n2x3+2x
3. Niech fn(x) = , n " N.
1+n2x2

(a) Ciąg funkcyjny (fn)n"N jest zbieżny punktowo na zbiorze R.
d d
(b) lim fn(x) = ( lim fn(x)).
dx dx
n" n"
"

4. Dany jest szereg xn.
n=1
1
(a) Szereg ten jest zbieżny na zbiorze [0, ] .
2
1
(b) Suma S tego szeregu na zbiorze [0, ] określona jest wzorem
2
S(x) = .
1
(c) Wyrazy tego szeregu można całkować "wyraz po wyrazie" na zbiorze [0, ] .
2
"

(2n)!xn
5. Przedziałem zbieżności szeregu jest [-2, 2].
2nn!
n=1
6. Pochodna kierunkowa funkcji f(x, y) = ln x cos y w punkcie x0 = (1, Ą) w kierunku wektora
h = [2, -3] jest równa lnĄ .
"
7. Pochodna kierunkowa funkcji f(x, y) = x + y w punkcie x0 = (4, 5) w kierunku wektora h = [1, -1]
jest równa . . . .
8. Różniczka zupełna funkcji f(x, y) = xy w punkcie x0 = (1, 4) przy dx = 0.08, dy = -0.04 jest
równa 1, 32.
9. Pochodna cząstkowa funkcji f: f(x, y, z) = cos(x2 + y2 + z2) względem zmiennej y w punkcie x0 =
"f
(1, 0, -1) jest równa (x0) = . . . . . . . . .
"y
10. Pochodną funkcji f(x, y) = 2xy +x2 w punkcie (2, 1) jest operator T : R2 R określony wzorem:
T (x, y) = 6x + 4y.