Kąt środkowy i wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 180 stopni. Jaka jest miara kąta środkowego?
Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku O. Wiadomo, że miara kąta BAO wynosi 50 stopni, a miara kąta OAC równa się 25 stopni. Wyznacz miarę kąta ACB.
Dany jest trójkąt ABC, w którym AC=BC oraz miara kąta ACB wynosi 100 stopni. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wyznacz miarę kąta AOC.
Dany jest czworokąt wypukły ABCO, w którym kąt AOC ma miarę 130 stopni, a kąt OAB ma miarę 40 stopni. Okrąg o środku O przechodzący przez punkt A przechodzi także przez punkty B i C. Wyznacz miarę kąta BCO.
Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Miary kątów AOC i BOC wynoszą po 110 stopni. Wyznacz miarę kąta ACB.
Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt BAC jest prosty, a miara kąta ABC wynosi 25 stopni. Punkt M jest środkiem boku BC. Oblicz miarę kąta AMC.
Dany jest trójkąt ABC. Punkt O, leżący wewnątrz tego trójkąta, jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Miary kątów AOB i OCB wynoszą odpowiednio 100 i 20 stopni. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.
Trójkąt ABC, w którym miara kąta przy wierzchołku A wynosi 105 stopni, jest wpisany w okrąg o środku O. Miara kata CAO równa się 35 stopni. Wyznacz miarę kąta ACB.
Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o środku O. Wiadomo, że punkt O leży na przekątnej BD. Ponadto miara kąta BOC wynosi 60 stopni, a miara kąta ABD równa się 45 stopni. Wyznacz miary kątów czworokąta ABCD.
Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o środku O. Miary kątów DOA, AOB i BOC wynoszą odpowiednio 92, 88 i 34 stopnie. Wyznacz miary kątów wewnętrznych czworokąta ABCD.
Pięciokąt wypukły ABCDE jest wpisany w okrąg o środku O. Miary kątów EOA, AOB, BOC i COD wynoszą odpowiednio 80, 40, 45 i 65 stopni. Wyznacz miary kątów pięciokąta ABCDE.
Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku O w tej właśnie kolejności. Miara kąta BCD wynosi 110 stopni, a miara kąta AOD równa się 72 stopnie. Oblicz miarę kąta AOB.
Punkty A, B, C, D leżą na okręgu w w tej właśnie kolejności. Okrąg w' przechodzący przez punkt C przecina odcinki BC i AC odpowiednio w punktach E i F. Punkty F, E, C oraz G leżą na okręgu w' w tej właśnie kolejności. Wiedząc, że miara kąta EGF wynosi 33 stopnie, oblicz miarę kąta ADB.
Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Punkty X, Y leżą na odpowiednio na odcinkach OC i OA. Punkt D jest środkiem odcinka XY. Środek okręgu opisanego na trójkącie OXY pokrywa się z punktem D. Wyznacz miarę kąta ABC.
Punkty A, B, C leżą w tej właśnie kolejności na okręgu o środku O. Okrąg w o środku B przecina odcinki BC i AB odpowiednio w punktach X, Y. Punkt D leży na łuku YX okręgu w. Wiedząc, że miara kąta XDY wynosi 31 stopni, oblicz miarę kąta AOC.
Styczna do okręgu
1. Dany jest odcinek PQ o długości 10 oraz okręgi: jeden o środku P i promieniu 3, a drugi o środku Q i promieniu 4. Okręgi te leżą po jednej stronie prostej k, która jest do nich styczna odpowiednio w punktach A i B. Oblicz długość odcinka AB.
2. Dany jest okrąg o środku O i promieniu 3. Przez punkt P leżący na zewnątrz tego okręgu poprowadzono prostą, która jest styczna do danego okręgu w punkcie A. Wiedząc, że długość odcinka AP wynosi 4, oblicz długość odcinka OP.
3. Dany jest okrąg o środku O oraz punkty A, C leżące na nim. Styczna do tego okręgu w punkcie C przecina prostą AO w punkcie B. Wiedząc, że miara kąta ABC wynosi 24 stopnie, oblicz miarę kąta CAB.
4. Dany jest trójkąt ABC, o kącie przy wierzchołku C równym 50 stopni. Okrąg przechodzący przez punkty A i B styczny do prostej AC w punkcie A, przecina bok BC w punkcie D. Udowodnij, że jeśli AD=CD, to trójkąt ABC jest równoramienny.
5. Dany jest trójkąt ABC, w którym miara kąta ACB wynosi 45 stopni. Punkt O jest środkiem okręgu w opisanego na tym trójkącie. Styczne do okręgu w w punktach A i B przecinają się w punkcie P. Wykaż, że czworokąt APBO jest kwadratem.
6. Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C oraz odpowiednio promieniach długości 1, 2, 3. Każdy z tych okręgów jest styczny zewnętrznie do obu pozostałych. Oblicz pole trójkąta ABC.
7.