Lab6 97 v2 (2) doc

LABORATORIUM FIZYCZNE

GRUPA LAB.

Kolejny nr ćwiczenia :4

Nazwisko i imię :

Wydział

Symbol ćwiczenia :

Frydrychowicz Jacek

ETI

Temat :

Wyznaczanie modułu sztywności metodą\

Dynamiczną Gaussa.

Data odr. ćwiczenia:

Sem.

Data odd. sprawozdania:

Grupa st.

Ocena

Podpis asystenta

Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną Gaussa.

Wstęp teoretyczny.

Przesunięcie proste

Moduł sztywności związany jest z tzw. odkształceniem przesunięcia prostego (ścinanie), które powstaje po przyłożeniu do ciała ścinającej sily stycznej F_t. W skali mikroskopowej odkształcenie przesunięcia prostego tłumaczy się skrzywieniem komórek siatki krystalicznej. Jony zajmują położenia wynikające z równowagi sił działających między nimi. Wskutek działania siły F_t między jonami działają siły, które po zaprzestaniu działania F_t pozwalają komórkom wrócić do położenia równowagi.

Prawo Hook'a - Przyrost długości Δl jakiego doznaje ciało sprężyste rozciągane z siłą F, jest wprost proporcjonalny do wielkości siły i do długości początkowej l0 ciała oraz odwrotnie proporcjonalny do pola przekroju poprzecznego S, a ponadto jest on zależny od rodzaju materiału.

- naprężenie

gdzie E-moduł Younga (moduł sprężystości podłużnej)

Czyli: wydłużenie przy rozciąganiu jest wprost proporcjonalne do wartości naprężenia.

gdzie P_t - naprężenie styczne, τ - moduł sztywności, ψ - odkształcenie względne

Skręcenie

Pod wpływem momentu siły M' pręt ulega skręceniu o pewien kąt ϕ, tzn. dla wybranego elementu dV powierzchnia ds. przesuwa się z położenia A do A' a krawędzie równoległe do BA zajmują położenie równoległe do BA'. DV ulega względnemu przesunięciu
. Ponieważ AA'=ρϕ więc naprężenia styczne
, co odpowiada elementarnemu momentowi sił.

Całkowity moment M' wynosi:

gdzie
- powierzchniowy moment bezwładności pręta wzg. osi OO'

gdzie
- moduł skręcenia pręta.

Przy skręceniu pręta o kąt ϕ przyłożeniem zewn. momentu sił M' pojawia się moment wewn. sił M

Jeśli dolny koniec pręta obciążymy ciałem symetrycznym wzg. osi OO' to ruch tego ciała jest opisany zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona:

(Jeżeli na ciało działa niezrównoważona siła to ciało będzie poruszać się ruchem jednostajnie zmiennym, z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do działającej siły i odwrotnie proporcjonalnie do masy tego ciała)

- I moment bezwładności ciała

Równanie to określa ruch drgający prosty o częstości
, a więc okresie

Zasada i przebieg pomiarów

Wyznaczanie modułu sztywności τ metodą dynamiczną Gaussa polega na pomiarze koresów drgań: nieobciążonego T₁ oraz wibratora obciążonego ciałem o prostych kształtach geometrycznych- T₂.

0x01 graphic
gdzie I₀ znany moment bezwładności zawieszonego ciała.

Po przekształceniach otrzymujemy:

gdzie:
i
- (d-śr. drutu, D₁-śr. wew. obręczy, D₂-śr. zewn. obręczy, m-masa obręczy)

Ostatecznie:

0x01 graphic

Pomiary

Masa pierwszej obręczy (lewej) m₁=1,320±0,005kg

Masa drugiej obręczy (prawej) m₂=0,670±0,0005kg

Pomiar średnicy drutów.

l.p.	d₁ [m] *10^-3	Δd₁ [m] *10^-3	d₂ [m] *10^-3	Δd₂ [m] *10^-3
1	0,595	0,001	1,175	0,007
2	0,595	0,001	1,170	0,002
3	0,589	0,005	1,165	0,003
4	0,592	0,002	1,165	0,003
5	0,592	0,002	1,165	0,003
6	0,588	0,006	1,170	0,002
7	0,602	0,008	1,168	0,000
8	0,589	0,005	1,165	0,003
9	0,598	0,004	1,168	0,000
10	0,598	0,004	1,165	0,003

Średnice drucików wynoszą:

Pomiar długości drutów

l.p.	l₁ [m] *10^-3	Δl₁ [m] *10^-3	l₂ [m] *10^-3	Δl₂ [m] *10^-3
1	961	0,6	958	0,4
2	960	0,4	959	0,6
3	961	0,6	958	0,4
4	960	0,4	959	0,6
5	960	0,4	958	0,4

Pomiar średnic wewnętrznych D₁ i zewnętrznych D₂ obręczy

0x08 graphic
Pierwsza obręcz

l.p.	D₁₁ [m] *10^-3	ΔD₁₁ [m] *10^-3	D₁₂ [m] *10^-3	ΔD₁₂ [m] *10^-3
1	269,6	0,12	296,9	0,08
2	269,5	0,02	296,9	0,08
3	269,4	0,08	297,0	0,02
4	269,5	0,02	296,9	0,08
5	269,4	0,08	297,2	0,22

0x08 graphic
Druga obręcz

l.p.	D₂₁ [m] *10^-3	ΔD₂₁ [m] *10^-3	D₂₂ [m] *10^-3	ΔD₂₂ [m] *10^-3
1	269,2	0,04	297,3	0,08
2	269,2	0,04	297,3	0,08
3	269,1	0,06	297,2	0,02
4	269,2	0,04	297,1	0,12
5	269,1	0,06	297,2	0,02

Pomiar okresów drgań (T₁ - bez obciążenia, T₂₁ - z obciążeniem ciężkim(1), T₂₂ - z obciążeniem lekkim(2))

Pierwszy drut

l.p.	T₁₁ [s]	Δ T₁₁ [s]	T₁₂₁ [s]	Δ T₁₂₁ [s]	T₁₂₂ [s]	Δ T₁₂₂ [s]
1	15,8	0,04	36	0,32	28,2	0,20
2	15,6	0,24	36,8	0,48	27,2	1,20
3	16,0	0,16	36,2	0,12	29,8	1,40
4	16,0	0,16	36,8	0,48	28,0	0,40
5	15,8	0,04	35,8	0,52	28,8	0,40

Drugi drut

l.p.	T₂₁ [s]	Δ T₂₁ [s]	T₂₂₁ [s]	Δ T₂₂₁ [s]	T₂₂₂ [s]	Δ T₂₂₂ [s]
1	3,4	0,12	7,6	0,28	5,8	0,12
2	3,2	0,08	7,8	0,08	5,4	0,52
3	3,4	0,12	7,8	0,08	6,0	0,08
4	3,2	0,08	8,0	0,12	6,0	0,08
5	3,2	0,08	8,2	0,32	6,4	0,48

Obliczenia i analiza błędów

Obliczenie modułu sztywności τ pierwszego drutu:

0x01 graphic

Dla pierwszego drutu z cięższą obręczą:

Dla pierwszego drutu z lżejszą obręczą:

Dla drugiego drutu z cięższą obręczą:

Dla drugiego drutu z lżejszą obręczą:

Obliczanie błędu pomiaru

Błąd pomiaru wartości τ obliczamy jako błąd maksymalny, gdyż uzyskuje się w wyniku podstawienia wartości średnich pomiarów cząstkowych średnic, długości i okresów drgań. Metodą różniczki zupełnej otrzymujemy:

Przy czym z uwagi na liczbę i sposób wykonania poszczególnych pomiarów cząstkowych:

Δd - jest potrójnym błędem standardowym wartości średniej d,

Δl, ΔD₁, ΔD₂, ΔT₁ i ΔT₂ - są błędami maksymalnymi wartości średnich.

0x08 graphic

Potrójny błąd standardowy Δd liczymy ze wzoru:

0x08 graphic
Maksymalne błędy wartości średnich:

Wartość błędu pomiaru dla pierwszego drutu z pierwszą (cięższa) obręczą

0x08 graphic

Wartość błędu pomiaru dla pierwszego drutu z drugą (lżejszą) obręczą

0x08 graphic
Wartość błędu pomiaru dla drugiego drutu z pierwszą (cięższą) obręczą

0x08 graphic
Wartość błędu pomiaru dla drugiego drutu z drugą (lżejszą) obręczą

Wnioski

Obliczony błąd pomiaru jest znikomy co w praktyce się nie zdarza. Jednakże moduł sztywności tego samego drutu różni się przy pomiarach dla różnych obciążeń. Różnica może wynikać z tego iż pod większym obciążeniem drut się bardziej rozciąga i jego sztywność się zmienia.