EGZAMIN gr.A
1. Obliczyć pierwiastki 2-go stopnia z liczby z:
z = -5i + (-2 + i)(1 - 2i) + 2 - 2
i
2. Sprawdzić, rozwiązując odpowiedni układ równań metodą eliminacji Gaussa czy wektory a, b, c, d tworzą bazę przestrzeni
.
a = (1, 0, -1, 1)
b = (1, 1, -2, 0)
c = (2, 1, 0, 1)
d = (1, 1, 1, 0)
3. Zbadać określoność formy kwadratowej.
4. Wyznaczyć ekstrema funkcji
5. Obliczyć
D: trójkąt o wierzchołkach A = (0,0), B = (2,0), C = (2,1)
6. Rozwiązać równanie różniczkowe (o zmiennych rozdzielonych)
ROZWIĄZANIE
Zadanie 1.
Zadanie 2.
Wektory a, b, c, d nie tworzą bazy przestrzeni
ponieważ są liniowo zależne.
Zadanie 3.
Forma nieokreślona.
Zadanie 4.
więc:
Punkty krytyczne to:
Macierz drugiej pochodnej:
nieokreślona - brak ekstremum
Określona dodatnio - minimum w punkcie (5,6)
Zadanie 5.
=
Zadanie 6.
Porównanie ułamków - ponieważ powyższe ułamki mają taki sam mianownik więc żeby były równe ich liczniki muszą być sobie równe. Otrzymamy równanie:
Zatem:
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ROZWIĄZUJE SIĘ JESZCZE METODĄ
1. Równań jednorodnych
Mnożąc przez x otrzymamy ostateczny winik:
2. Równań liniowych
Przykład:
Stronę z wyrażeniem
przyrównujemy do 0
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.
Zakładając, że C zależy od x otrzymamy:
(*) całka ogólna równania jednorodnego
Obliczone wielkości wstawiamy do równania wyjściowego i otrzymujemy:
(*) całka szczególna równania niejednorodnego
tu podstawiamy sumę równań z (*)
Otrzymaliśmy całkę ogólną równania niejednorodnego.