Teoria pola
Niech
- obszar przestrzenny,
;
- pole skalarne,
;
- pole wektorowe,
.
Wektorowym operatorem różniczkowym (operatorem Hamiltona) nazywamy symboliczny wektor
,
.
Korzystając z symbolu
łatwo podać definicje funkcji pola skalarnego F i wektorowego
:
gradient pola F
,
dywergencja pola
rotacja pola
Niech S - powierzchnia dwustronna,
.
Strumieniem pola wektorowego
przez powierzchnię S w kierunku wersora
nazywamy całkę powierzchniową zorientowaną
Niech K - krzywa zamknięta
Cyrkulacją pola
wzdłuż krzywej zamkniętej K nazywamy całkę krzywoliniową skierowaną
, gdzie
- wersor styczny do krzywej K
skierowany zgodnie z tą krzywą.
Wzór Stokesa
, gdzie krzywa K i powierzchnia S mają
zgodną orientację.
Wzór Gaussa - Ostrogradskiego
.
Definicja
Niech
,
.
Pole wektorowe
nazywamy polem potencjalnym, gdy
,
.
Funkcję U nazywamy potencjałem skalarnym pola wektorowego
.
Jeśli V - jednospójny powierzchniowo, to
- potencjalne
Ponadto potencjał U wyznaczamy ze wzoru
,
gdzie
jest ustalonym punktem,
Przykład
Obliczyć pracę wykonaną przez siłę
działającą wzdłuż obwodu trójkąta ABC o wierzchołkach A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).
Praca
Aby skorzystać z twierdzenia Stokesa wyznaczmy wersor normalny do trójkąta ABC. Płaszczyzna zawierająca ten trójkąt ma równanie
,
a więc wektor normalny oraz wersor normalny mają współrzędne:
,
.
Ponadto
.
Zatem
,
gdzie
przy czym D jest rzutem ABC na płaszczyznę OXY.
Stąd zamieniając całkę powierzchniową niezorientowaną na całkę podwójną otrzymujemy
3