Weryfikacja modelu - ciąg dalszy

Zarówno oszacowania parametrów jak i wnioski co do jakości modelu szacowanego MNK, oparte o wartości R2, F-statystyki t-statystyk mogą być fałszywe, jeśli niespełnione są założenia MNK:

1. o normalności rozkładu składnika losowego

2. o braku autokorelacji składnika losowego (korelacji pomiędzy składnikami losowymi, dotyczącymi różnych obserwacji)

3. o stałej wariancji składnika losowego.

Aby upewnić się, czy założenia MNK są spełnione po estymacji modelu trzeba przeprowadzić dodatkowo szereg testów statystycznych.

Normalność rozkładu składnika losowego - test Jarque-Bera

Jeśli rozkład składnika losowego nie jest normalny, to zastosowanie rozkładu t-Studenta do testowania hipotez o istotności parametrów za pomocą t-statystyk jest nieuprawnione. Dotyczy to również F-statystyki i rozkładu F.

Test skonstruowany jest tak, że weryfikacji podlega podobieństwo pewnych charakterystyk rozkładu składnika losowego modelu do znanych wartości tych charakterystyk w rozkładzie normalnym.

Przyjmujemy, że reszty modelu ekonometrycznego są empiryczną realizacją składnika losowego. Testujemy hipotezę

H0: składnik losowy modelu ma rozkład normalny

przy hipotezie alternatywnej

H1: składnik losowy modelu nie ma rozkładu normalnego

Postępowanie przebiega następująco:

Krok 1: Szacujemy model

Krok 2: Obliczamy reszty e _t, t = 1,2,...,n.

Krok 3: Szacujemy wartość obciążonego estymatora odchylenia standardowego składnika losowego modelu:

S = √ ((1/n) * ∑e_t²)

Krok 4: Szacujemy wartość miary asymetrii rozkładu reszt (miara ogólnie dla szeregów obserwacji mierzy asymetrię rozkładu wokół średniej. Miara ta dla rozkładów symetrycznych, a więc i dla rozkładu normalnego, przyjmuje wartość 0.

A = 1/n ∑ (e_t³/ S³) - skewness

Krok 5: Szacujemy wartość miary kurtozy rozkładu reszt (kurtoza mierzy płaskość rozkładu). Miara dla rozkładu normalnego przyjmuje wartość 3.

K = 1/n ∑ (e_t⁴/ s⁴)

Krok 6: Wyznaczamy wartość statystyki JB

JB = (n - k)/6 * ( A² + ¼ * (K-3)² )

Statystyka JB ma rozkład chi² z dwoma stopniami swobody.

Krok 7: Na poziomie istotności α weryfikujemy hipotezę zerową. Jeśli dla wartości krytycznej testu chi^* spełniona jest nierówność JB > chi^* , to hipotezę o normalności rozkładu składnika losowego modelu odrzucamy. W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia tej hipotezy.

Przykład. Model produkcji roślinnej:

PROD_t = c(0) + c(1)*SIP_t + c(2) *NAW_t + e_t

gdzie SIP = siła pociągowa

NAW = nawożenie

Method: Least Squares
Sample: 1950 1996
Included observations: 47
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
SIP	0.622653	0.067650	9.204048	0.0000
NAW	0.017319	0.000779	22.23473	0.0000
C	51.56247	1.923409	26.80785	0.0000
R-squared	0.958139	Mean dependent var		103.2149
Adjusted R-squared	0.956236	S.D. dependent var		27.72400
S.E. of regression	5.799833	Akaike info criterion		6.415237
Sum squared resid	1480.075	Schwarz criterion		6.533331
Log likelihood	-147.7581	F-statistic		503.5437
Durbin-Watson stat	1.738265	Prob(F-statistic)		0.000000

JB < chi^* na poziomie istotności 0.05, zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej Bez sięgania do tablic: "probability" - (w przybliżeniu) pokazuje prawdopodobieństwo tego, że wartość JB będzie mniejsza od wartości krytycznej chi^* . Zatem H0 można odrzucić, jesli to prawdopodobieństwo jest małe (np. 0.05).

Autokorelacja składnika losowego

Autokorelacja składnika losowego - składniki losowe różnych obserwacji są ze sobą skorelowane.

Szczególnie występuje w szeregach czasowych.

Przyczyny:

1. Natura procesu - wpływ zdarzeń losowych na przyszłość: np. seria nieurodzajnych lat, skutki trzęsienia ziemi

2. Natura procesu - psychologia podejmowania decyzji - wpływ zdarzeń z najbliższej przeszłości

3. Niepoprawna postać modelu: nie uwzględnienie cykli, pominięcie ważnej zmiennej objaśniającej, zła konstrukcja dynamicznej postaci modelu (nieuwzględnienie zmiennych opóźnionych).

Skutki: estymatory nie są efektywne, estymator wariancji jest obciążony co najczęściej prowadzi do niedoszacowania błędów i zawyżenia t-statystyk.

Co robić? Przy wystąpieniu autokorelacji składnika losowego należy albo zastosować inne metody szacunku (niż KMNK) - jeśli uznajemy, że autokorelacja składnika losowego wynika z natury rzeczywistego procesu , albo zmienić specyfikację modelu.

Schemat autoregresyjny rzędu pierwszego (AR(1)):

Składniki losowe dla różnych obserwacji są związane zależnością:

ε_t = ρε_t-1 + η_t

Uogólnienie: schemat autoregresyjny rzędu s (AR(s)):

ε_t = ρ₁ε_t-1 + ρ2ε_t-2 + ... + ρ_sε_t-s + η_t

Wykrywania autokorelacji

Test Durbina-Watsona na autokorelację rzędu 1

Zakładamy AR(1): ε_t = ρε_t-1 + η_t

Będziemy testować zestaw hipotez:

H0: ρ = 0

H1: ρ > 0 (jeśli ocena estymatora ρ > 0) lub ρ < 0 (jeśli ocena estymatora ρ < 0)

za pomocą statystyki D-W:

d = ∑(e_t - e_t-1)² / ∑ e_t²

Wartości krytyczne rozkładu tej statystyki podane są w tablicach. Dla każdej pary (n,k), gdzi n - liczba obserwacji, k - liczba zmiennych objaśniających, podane są dwie wartości (górna i dolna) d_L i d_U.

Decyzje podejmujemy w następujący sposób (dla danego n i k!).

jeśli d <= dL	hipotezę H0 odrzucamy i przyjmujemy, że występuje autokorelacja dodatnia
jeśli d > dU i d < 4- dU	nie ma podstaw do odrzucenia H0 (brak autokorelacji 1-go rzędu)
jeśli d >= 4 - dL	odrzucamy H0 i przyjmujemy, że występuje autokorelacja ujemna
jeśli dL < d < dU albo 4-dU < d < 4-dL	nie możemy podjąć żadnej decyzji

Test Durbina-Watsona ( prosty obliczeniowo, trudny w intrepretacji) ma ograniczenia, które podważają sensowność jego zastosowania:

• obszar niekonkluzywności

• nie nadaje się w tej postaci do testowania modeli, w których występuje opóźniona zmienna objaśniana,

• bada tylko autokorelację pierwszego rzędu (a np. w modelach o dużej częstotliwości czasowej obserwacji często występują autokorelacje wyższych rzędów).

Dlatego często praktycznie stosowane są inne testy: Q statystyki Ljunga-Boxa lub test mnożników Lagrange (LM test Breuscha-Godfreya).

Przykład:

Wartość statystyki D-W dla modelu produkcji roślinnej wynosi ok. 1.73.

Przy liczbie obserwacji n = 47 i zmiennych objaśniających k = 2) znajdujemy w tablicach wartości krytyczne d_L i d_U i stwierdzamy, że D-W > d_U oraz mniejsze od 4 - d_U.

Nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy H0 - przyjmujemy, że nie występuje autokorelacja rzędu 1.

Heteroskedastyczność składnika losowego

Zjawisko heteroskedastyczności polega na niejednorodności wariancji składników losowych w obrębie proby (obserwacji).

Przyczyny: często natura zjawiska (np. w modelu przekrojowym wariancja dochodów wśród rodzin o wyższych dochodach jest wyższa niż u rodzin o niższych dochodach, wariancja zysków rośnie wraz ze wzrostem rozmiarów firmy itp.). Modele finansowe.

Skutki: niespełnienie założeń KMNK, czego wynikiem jest to, że estymatory parametrów strukturalnych nie są efektywne, a estymatory ich wariancji są obciążone, co prowadzi do fałszywych informacji o poziomach istotności i wartości statystyk służących do testowania hipotez.

Wykrywanie heteroskedastycznośc: test Harrisona-McCabe'a (z obszarem nierozstrzygalności), test White'a (dla obserwacji >=30)

Test White'a

1. Szacujemy model (model podstawowy)

2. Obliczamy reszty e_t oraz ich kwadraty e_t² . Będą one reprezentować wartości wariancji składnika losowego (średnia równa jest 0!).

3. Szacujemy pomocniczy model, w którym zmienną objaśnianą sa wartości wariancji (obserwacje reprezentowane są przez kwadraty reszt), a zmiennymi objaśniającymi wszelki możliwe niepowatrzające się kombinacje iloczynów zmiennych objaśniających modelu podstawowego.

4. Obliczamy statystykę White, która ma postać n*R^2, gdzie n - liczba obserwacji. Statystyka ta mo rozkład chi² z liczbą stopni swobody, rowną liczbie zmiennych objaśniających w model pomocniczym.

5. Za pomocą tej statystyki na poziomie istotności α (zwykle 0.05) weryfikujemy hipotezę zerową H0: wszystkie parametry w modelu pomocniczym równe są 0 (tzn. wariancja jest stała, składnik losowy jest homoskedastyczny) przy hipotezie alternatywnej H1: co najmniej jeden parametr przy zmiennej objaśniającej w modelu pomocniczym nie jest równy 0.

6. Hipotezę zerową odrzucamy, gdy wartość statytyki White'a jest większa od wartości krytycznej rozkkładu chi² przy danej liczbie stopni swobody i wybranym poziomie istotności. W przeciwnym razie nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej (przyjmujemy, że składnik losowy jest homoskedastyczny).

Przykład:

Model produkcji roślinnej:

PROD_t = c(0) + c(1)*SIP_t + c(2) *NAW_t + e_t

Szacujemy model i obliczamy reszty oraz ich kwadraty.

Szacujemy model pomocniczy o postaci:

RESZTY² = C(1)*SIP + C(2)*(SIP^2) + C(3)*(SIP*NAW) + C(4)*NAW + C(5)*(NAW^2) + C(6)

R2 = 0.21489

Obliczamy: n*R2 = 10.09983 (prob. = 0.072456).

Na poziomie istotności 0.05 nie ma podstaw aby odrzucić hipotezę H0.

Przyjmujemy, że składnik losowy nie jest heteroskedatsyczny

Współiniowość zmiennych objasniających

Współliniowość wartości zmiennych objaśniających polega na tym, że szeregi obserwacji zmiennych objaśniających są nadmiernie skorelowane.

Jeśli występuje ścisła korelacja liniowa, to rząd macierzy X (obserwacji zmiennych objasniających) jest mniejszy od k+1 (k liczba zmiennych objasniających) , a w konsekwencji macierz X^TX jest osobliwa, co uniemożliwia wyznaczenie parametrów metodą MNK.

W praktyce dokładna zależność liniowa zmiennych objaśniających jest mało prawdopodobna. Często jednak występują bardzo zbliżone do ściśle liniowych zależności wartości zmiennych objaśniających (nadmierne skorelowanie).

Przyczyna: tendencja kształtowania się wartości wielu kategorii ekonomicznych według tych samych trendów rozwojowych lub szerzej - według podobnych cykli koniunkturalnych. W modelach, w których informacje o zmiennych mają charakter danych przekrojowych, występowanie zjawiska współliniowości jest tłumaczone tendencją do proporcjonalnych zmian wartości zmiennych objaśniających.

Skutki:

1. Niemożliwy jest poprawny pomiar siły oddziaływania poszczególnych zmiennych na zmienną objaśnianą (założenie ceteris paribus może być nieaktualne).

2. Oceny wariancji MNK-estymatorów, związanych zeskorelowanymi zmiennymi są bardzo duże

3. W związku z tym wartości t-statystyk dla skorelowanych zmiennych są małe, co (wcale niekoniecznie i nie do końca słusznie sugeruje usunięcie wszystkich tych zmiennych ze specyfikacji modelu). Możemy otrzymać paradoksalny rezultat: wszystkie zmiennye objaśniające są statystycznie nieistotne, a mimo to współczynnik determinacji R² osiąga dużą wartość (i statystyka F może. być istotna)

Przybliżona współliniowość nie powoduje utraty przez estymator wektora parametrów * modelu wyznaczony KMNK własności, o których mówi twierdzenie Gaussa-Markowa..

Mierzenie współliniowości

Miarą dokładności oszacowania parametru α_j, dla j=1,2, ..., k modelu jest średni błąd szacunku
. Jest on pierwiastkiem kwadratowym z j-tego elementu diagonalnego d_jj macierzy wariancji-kowariancji S²(X^TX)^-1. Można pokazać, że:

(4.15)

gdzie
jest współczynnikiem determinacji dla modelu pomocniczego, w którym zmienną objaśnianą jest X_j czyli j-ta zmienna objaśniająca modelu, a zmiennymi objaśniającymi - pozostałe k-1 zmiennych objaśniających modelu. Wśród szacowanych parametrów tego modelu znajduje się również wyraz wolny.

Zgodnie z interpretacją współczynnika determinacji
, jego duża wartość oznacza wysoki topień skorelowania zmiennej X_j z pozostałymi k-1 zmiennymi objaśniającymi.

Ze wzoru wynika, że im większa wartość współczynnika
, tym większa wartość wariancji, a w konsekwencji większa wartość średniego błędu szacunku parametru α*_j. Występujący w tym wzorze czynnik 1 / (1 -
) nazywa się czynnikiem inflacji wariancji (CIW_j) estymatora parametru α*_j

Gdy brak współliniowości zmiennych, wtedy
= 0 oraz CIW_j = 1. Jeśli występuje przybliżona współliniowość zmiennych objaśniających, wtedy
> 0 oraz CIW_j > 1. Mówimy, że wartość CIW_j pokazuje stopień podwyższenia (inflacji) wartości wariancji estymatora parametru α*_j wywołany współliniowością zmiennych. Uważa się, że wartość CIW_j > 10 jest oznaką współliniowości, która trwale zakłóca jakość skonstruowanego modelu ekonometrycznego.

Przykład

W modelu konsumpcji lodów:

KONS = f (CENA, DOCH, TEMP)

są trzy zmienne objaśniające: CENA, DOCH i TEMP. Dla zbadania zjawiska współliniowości oszacowano modele ekonometryczne (t = 1,2, ..., 32):

CENA_t = 8,65 +5,67 DOCH_t + 0,58 TEMP_t
= 0,88 CIW_CENA = 8,33,

DOCH_t = - 0,03 - 0,04 TEMP_t + 0,11 CENA_t
= 0,72 CIW_DOCH = 3,57,

TEMP_t = - 10,69 +1,10 CENA_t - 4,32 DOCH_t
= 0,74 CIW_TEMP = 3,85.

W żadnym przypadku nie występuje zjawisko zakłócającej współliniowości między wyróżnioną zmienną objaśniającą a pozostałymi zmiennymi objaśniającymi, chociaż wartość czynnika inflacji wariancji parametru stojącego przy zmiennej CENA jest bliska 10. *

UPROSZCZONA PROCEDURA BUDOWY i WERYFIKACJI

LINIOWEGO JEDNORÓWNANIOWEGO MODELU EKONOMETRYCZNEGO

Krok 1: Określić zmienną objaśnianą i zbiór kandydatek na zmienne objaśniające.

Zgromadzić niezbędne dane statystyczne.

Krok 2: Przeprowadzić procedurę doboru zmiennych objaśniających.

Krok 3: Zdefiniować jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny.

Krok 4: Oszacować parametry modelu metodą najmniejszych kwadratów.

Krok 5: Wyznaczyć reszty modelu.

Krok 6: Czy reszty mają rozkład normalny?

TAK * krok 7 NIE * STOP (użyć innych metod)

Krok 7: Czy występuje zjawisko autokorelacji składnika losowego modelu?

TAK * STOP (użyć innych metod) NIE * krok 8

Krok 8: Czy występuje zjawisko heteroskedastyczności składnika losowego modelu?

TAK * STOP (użyć innych metod) NIE * krok 9

Krok 9: Czy występuje zjawisko współliniowości zmiennych objaśniających?

TAK krok11 lub* STOP (użyć innych metod) NIE * krok 10

Krok 10: Czy wszystkie zmienne objaśniające są istotne statystycznie?

TAK * krok 12 NIE * krok 11

Krok 11: Zmienić zestaw zmiennych objaśniających i przejść do kroku 4.

Krok 12: Czy można zaakceptować wartość współczynnika determinacji?

TAK * krok 13 NIE * krok 11

Krok 13: Czy można zaakceptować interpretację wartości oszacowań parametrów modelu?

TAK * krok 14 NIE * krok 11

Krok 14: Wykorzystać oszacowany model ekonometryczny * STOP.

---