1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest zaobserwowanie i wykazanie, że powierzchnia swobodna w naczyniu wirującym wokół osi pionowej, tworzy paraboloidę obrotową oraz wyznaczenie prędkości kątowej wirowania dwiema metodami i porównanie wyników.

2. Wiadomości podstawowe.

Powierzchnia swobodna cieczy w naczyniu wirującym wokół osi pionowej jest powierzchnią ekwipotencjalną (powierzchnią równego potencjału), tworzą paraboloidę obrotową. Do równania powierzchni swobodnej cieczy dochodzi się przeprowadzając następujące rozumowanie, polegające na wyznaczeniu rodziny powierzchni ekwipotencjalnych

U (x, y, z) = const

gdy zadane jest pole sił masowych F (x, y, z).

Składowe wektora pola wzdłuż osi przyjętego układu odniesienia, np. składowe prostokątne mają następującą postać:

X (x, y, z); Y (x, y, z); Z (x, y, z).

Jeżeli pole jest potencjalne to zachodzą związki:

X = Y = Z =

Różniczkując powyższe związki i porównując drugie pochodne sprawdza się, czy składowe sił masowych spełniają warunków całkowalności

; ;

bowiem tylko wtedy, podane pole jest istotnie potencjalne.

Jeżeli warunki całkowania są spełnione, istnieje różniczka zupełna potencjału

dU = X (x, y, z) dx + Y (x, y, z) dy + Z (x, y, z) dz

Na powierzchni ekwipotencjalnej jest na mocy definicji

dU = X dx + Y dy + Z dz = 0;

różniczki dx, dy, dz w powyższym równaniu oznaczają składowe elementarnego przesunięcia d stycznego do powierzchni ekwipotencjalnej, podczas, gdy w równaniu poprzednim oznaczają one dowolne skierowane przesunięcie.

Równanie ostatnie jest równaniem różniczkowym powierzchni ekwipotencjalnej; wyraża ono prostopadłość wektora pola do wektora d stycznego do tej powierzchni.

Rozpatrując przypadek wirującego naczynia, jak na rysunku, można określić składowe jednostkowej siły masowej w kierunkach x, y, z i wynoszą one :

X = Acosα Y = Asinα Z = - g

przy czym : A = gdzie : - prędkość kątowa obrotu naczynia,

g - przyspieszenie ziemskie

stąd X = r cosα = x

Y = r sinα = y

Podstawiając wyrażenie określające składowe jednostkowej siły masowej do równania różniczkowego powierzchni ekwipotencjalnej, otrzymujemy :

x dx + y dy + g dz = 0

Po scałkowaniu tego wzoru i przyrównaniu do stałej, otrzymujemy równanie rodziny powierzchni ekwipotencjalnych w postaci :

lub

Powierzchnia swobodna cieczy będzie także powierzchnią ekwipotencjalną, przechodzącą przez punkt (0, 0, Z). Stąd można wyznaczyć stałą C:

Ostatecznie otrzymujemy :

Przechodząc do współrzędnych walcowych wzorowi temu, po podstawieniu x = r cos α i y = r sinα, można nadać postać :

gdzie : z- odległość powierzchni swobodnej od początku układu współrzędnych.

Parametrem określającym powierzchnię swobodną (paraboloidę) jest prędkość kątowa ω. Parametr ten można wyznaczyć doświadczalnie dwoma sposobami :

1. przez bezpośredni pomiar liczby obrotów naczynia.

W osi obrotu wirującego naczynia, w specjalnie wybranym do tego celu zagłębieniu, przystawia się tachometr, odczytując ilość obrotów na minutę. Następnie oblicza się prędkość kątową naczynia ω_o z zależności :

gdzie : n₀ - pomierzona ilość obrotów

2. pośrednio przez pomiar współrzędnych (r, z) dowolnego punktu powierzchni swobodnej i wyznaczenie tego parametru z równania :

Ustala się kilka (określonych protokółem) różnych prędkości obrotowych naczynia. Przy każdej ustawionej prędkości obrotowej naczynia, należy odczekać kilka minut dla ustalenia się powierzchni swobodnej, a następnie dokonuje się pomiarów następujących wielkości :

wysokość z- wysokość swobodnej powierzchni cieczy w osi naczynia,

wysokość z- jednorazowo odległość swobodnej powierzchni ciecz, gdy naczynie nie wiruje,

wysokość z- wysokość swobodnej powierzchni cieczy przy ściance naczynia.

Z pośredniego pomiaru wielkości współrzędnych z oblicza się z zależności :

Następnie wyliczamy z zależności :

Tak obliczoną prędkość porównujemy z ω_o , a różnica nie powinna być większa niż 10%, gdyż wtedy mieści się w granicach błędu pomiarów.

1-naczynie wirujące wypełnione

płynem(przezroczyste)

2-łożyska

3-silnik

4-przekładnia pasowa

5-wałek

6-koło pośredniczące

7-tarcza cierna-napędzana

8-korbka do przesuwania kółka

pośredniczącego 6

9-śruba

10-uchwyt

11-wskaźnik

12-podziałka

13-miernik obrotów (tachometr)

z₁-wysokość swobodnej powierzchni cieczy w osi naczynia

z₂-jednorazowa odległość swobodnej powierzchni cieczy, gdy naczynie nie wiruje

z₃- wysokość swobodnej powierzchni cieczy przy ściance naczynia

4.Wnioski i spostrzeżenia

Z przeprowadzonych obserwacji wynika iż, wraz ze wzrostem prędkości obrotowej błąd pomiaru pomiędzy wskazaniem prędkości przez czujnik a prędkością obrotową wyliczoną na podstawie obserwacji powierzchni swobodnej ciecz , ma tendencję malejącą.

Tak więc aby pomiar był w miarę wiarygodny tzn. błąd pomiaru nie przekraczał 10% należy stosować prędkości kątowe powyżej 28 [ms^-1].

Przyczyną spadku wartości błędu wraz ze wzrostem prędkości obrotowej jest powstawanie w przekroju osiowym naczynia przez wirującą ciecz zarysu paraboli. Początkowo zarys tej paraboli w przekroju badanej cieczy wirującej przypomina tylko menisk wklęsły (wierzchołek paraboli o bardzo dużym rozstawieniu ramion) jednak wraz ze wzrostem prędkości obrotowej ramiona wspomnianej paraboli zaczynają zbliżać się do osi naczynia a jej wierzchołek zaczyna przesuwać się ku dnu naczynia (wartość wysokości z₁ maleje).

Z uwagi na fakt, iż równanie opisujące prędkość obrotową cieczy w wirującym osiowo naczyniu zawiera w sobie równanie parabolojdy , logicznym staje się fakt ,ze im kształt cieczy w naczyniu przypomina bardziej parabolojdę, a ona sama posiada dobrze zarysowane kształty, błędy pomiaru będą coraz mniejsze.

Na podstawie obserwacji i analizy otoczenia układu pomiarowego możemy sugerować ze błąd pomiaru można by jeszcze bardziej zmniejszyć gdyby zminimalizować wpływ następujących czynników:

-drgania układu powstałe w wyniku zużycia przekładni wariacyjnej

-brak dokładnego wyważenia układu pomiarowego

-utrudnieni i związane z tym błędy przy odczycie wartości wysokości z₁ i z₃

Jednak pomimo wpływu tych niekorzystnych czynników osiągnięte wyniki są logiczne i zgodne z teorią przyswojoną do powyższego ćwiczenia.

Dzięki temu ćwiczeniu mogliśmy zapoznać się ze sposobem wyznaczania prędkości obrotowej cieczy w naczyniu osiowo wirującym.

Znajomość zależności oraz przyczyny występujących przy pomiarze błędów pozwolą nam na zaprojektowanie bezstykowego analizatora prędkości obrotowej cieczy w wirującym osiowo naczyniu.

---