28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
A1, A2 oraz A3
A1
A2
A3
(A) Pr(A1 )" A3 A2 )= Pr(A1 A2 )Å" Pr(A3 A2)
(B) Pr(A2 )" A3 A1)= Pr(A2 A1)Å" Pr(A3 A1)
2 -1 2 -1
10 20 10 20
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
(C) Pr(A2 )" A3)= ìÅ‚ ÷Å‚ Å" ìÅ‚ ÷Å‚ Å" ìÅ‚ ÷Å‚ Å" ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 6 2 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(D) Pr(A3 A1 )" A2 )= Pr(A3 A1)
(E) Pr(A3)= Pr(A2 )
1
 28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2. Niech X X1 X
, , , ,
0 n
(0, 1). Zmienna losowa N oznacza numer
pierwszej ze zmiennych , , , X :
X1 X
n 0
N = inf {k : k "{1, 2, 3, }oraz X > X }.
k 0
E(X - X ) wynosi:
N 0
1
(A)
N +1
1
(B)
2
1- X
0
(C)
2
1
(D)
4
1
(E)
3
2
 28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3. Zmienne losowe U oraz V
Å„Å‚
4 Ä„ dla u e" 0, v e" 0 i u2 + v2 d" 1
f (u, v)=
òÅ‚
0 w przeciwnym przypadku
ół
2
U
Niech X = . Zmienna losowa X
2 2
U + V
A) beta Be(0.5, 0.5)
(B) g(x)= 2x dla 0 d" x d" 1
(C) beta Be(2, 2)
-1
(D) g(x)= (2 Ä„ )Å"(1+ x2) dla x e" 0
(D) jednostajny na przedziale (0, 1)
Uwaga Be(Ä…, ² )
“(Ä… + ² )
² -1
-1
g(x)=
“(Ä…)Å" “(² )Å" xÄ… Å"(1- x) dla 0 d" x d" 1
3
 28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4. Wykonano n Bernoulli ego, z
p = 1 3 . Liczba n
Ć
n parametru n
(A) 12
(B) 8
(C) 7
(D) 6
(E) 4
4
 28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5. , , ,
X1 X X
2 n
normalnego N(µ -¸, 1), , ,
Y1 Y2 Yn
N(µ +¸ , 1). Liczby µ i ¸
testowania hipotezy:
H0 : ¸ = 0
przeciw alternatywie:
1
H1 : ¸ = .
2
Dla jakich n
0.95?
(A) Wtedy i tylko wtedy, gdy 11 d" n d" 22
(B) Wtedy i tylko wtedy, gdy n e" 11
(C) Wtedy i tylko wtedy, gdy n e" 22
(D) Wtedy i tylko wtedy, gdy n e" 6
(E) Wtedy i tylko wtedy, gdy n e" 100
5
 28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6. X1, X , X , X , X
2 3 4 5
Å„Å‚
¸ Å" x¸ -1 dla 0 d" x d" 1
f¸ (x)=
òÅ‚
0 w przeciwnym przypadku
ół
gdzie ¸ > 0 jest nieznanym parametrem.
[¸ , ¸ ] dla parametru ¸ (na poziomie
1-Ä… = 0.90
Pr¸ ( ) 0.05 = Pr¸ (¸ > ¸ ).
¸ < ¸ =
5
Uwaga: stosujemy oznaczenie S = - )
"ln(X i
i=1
3.94 18.31
îÅ‚ Å‚Å‚
(A) ,
ïÅ‚ śł
S S
ðÅ‚ ûÅ‚
1.15 11.07
îÅ‚ Å‚Å‚
(B)
ïÅ‚2 Å" S , 2 Å" S śł
ðÅ‚ ûÅ‚
3.94 18.31
îÅ‚ Å‚Å‚
(C) ,
ïÅ‚ śł
2 Å" S 2 Å" S
ðÅ‚ ûÅ‚
1.15 11.07
îÅ‚ Å‚Å‚
(D) ,
ïÅ‚ śł
S S
ðÅ‚ ûÅ‚
(E) [3.94 Å" S, 18.31Å" S]
6
 28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7. X1, X , , X
2 20
2
N(µ, Ã ). Niech:
Y = X1 + + X15 i Z = X + + X .
6 20
E(Z Y) wynosi:
(A) 15µ
(B) 5µ
2
(C) Å"Y
3
1
(D) 20µ - Å"Y
3
2
(E) Å"Y + 5µ
3
7
 28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
0 1
îÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 8. E1, E2
ïÅ‚0.5 0.5śł .
ðÅ‚ ûÅ‚
Niech n kroków
X
n
(n = 0, 1, )f
f (Ei )= i dla i = 1, 2.
Niech c = lim COV[f (X ), f (X )].
n n+1
n"
Granica c wynosi:
1
(A)
9
1
(B) -
9
(C) c
(D) 0
(E) 1
8
 28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9. Niech X1, X , , X
2 n
x-c
Å„Å‚ -
1
µ
ôÅ‚
Å" e dla x e" c
fc,µ (x)=
òÅ‚µ
ôÅ‚
0 w przeciwnym przypadku
ół
Gdzie c " R i µ > 0
n > 1) estymator parametru µ ?
n
1 n
Ć
(A) µ = Å" X - Å" min{X1, , X }
" i n
n -1 n -1
i=1
n
1
Ć
(B) µ = Å" - min{ , , }
X X1 X
" i n
n
i=1
n
1 n
Ć
(C) µ = Å" - Å" min{ , , }
X X1 X
" i n
n n -1
i=1
n
1
Ć
(D) µ = Å" - min{ , , }
X X1 X
" i n
n -1
i=1
(E) Nie is µ
9
 28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10. , , ,
X1 X X
2 n
2 2 2
normalnego N(µ, Å‚ µ ), gdzie µ " R Å‚ - znanym
µ postaci:
Ć
µ = + + ,
c1 X1 cn X
n
µ
2
Ć
Eµ (µ - µ)
(A) Nie ma takiego estymatora.
1
Ć
(B) µ = X , czyli estymator dla którego c1 = = cn =
n
1 1
(C) c1 = , c2 = ,
2 2
n + Å‚ n + 2Å‚
1 1
c3 = , ... , cn = .
2 2
n + 3ł n + nł
1
(D) c1 = = cn =
2
n + Å‚
1
(E) c1 = = cn =
2
n Å"(1+ Å‚ )
10
 28.02.1998 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 28 lutego 1998 r.
Arkusz odpowiedzi*
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Punktacjaf&
1A
2D
3D
4B
5C
6C
7E
8B
9A
10 D
*
Arkuszu odpowiedzi.
f&
11