Egzamin poprawkowy z przedmiotów
 Podstawy matematyki i  Matematyka elementarna
WETI, kierunki AiR, EiT i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [8p.] a) Obliczyć granice ciągów:


"
2n - 1 6n+3
g1 = lim 16n2 + 5n + 4 - 4n , g2 = lim
n" n"
2n + 5
Następnie wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji
1
f(x) = g1 · tg x - ln g2
3

Ä„ Ä„
w przedziale x " - , .
2 2
n!(2n)!
[2p.] b) Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym an = .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(3n)! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
2. [8p.] a) Wyznaczyć wartości parametrów a, b " R tak, aby funkcja h(x)
Å„Å‚
ôÅ‚
x2 + 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ arctg ln dla x < 2
ôÅ‚
ôÅ‚
(x - 2)4
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
Ä„
h(x) =
sin a + sin 2a + dla x = 2
ôÅ‚
ôÅ‚ 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
2x
ôÅ‚ - x2
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x > 2
ół
b · (x - 2)
była ciągła.
[2p.] b) W oparciu o warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy zbadać istnienie
x
granicy funkcji f(x) = w punkcie x0 = 1.
1
x-1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .+.e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
3. [8p.] a) Dana jest funkcja g(x) = (2 - 8x)4 + sin3 x + tg 2x. Obliczyć g (0) + g (Ą).
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = ctg x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
x
4. [8p.] a) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji y = (x - 2)e .
[2p.] b) Wykazać, że funkcja h(x) = -x3 - 3x + 9 jest ściśle malejąca w całej swojej dziedzinie.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [8p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne, o ile istnieją, funkcji

2 5
3
f(x) = x - x
2
.
"
5
[2p.] b) Pokazać, że funkcja y = x3 nie ma pochodnej właściwej w punkcie x0 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć pochodną funkcji
ln x
(cos x)x