Egzamin z przedmiotu  Podstawy matematyki
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [5p.] a) Obliczyć granice ciągów:
n3
-3
"
2n3 + 1
n
g1 = lim 2n + 2-n + cos2 n, g2 = lim
n" n"
2n3 - 5
Następnie wyznaczyć dziedzinę oraz przeciwdziedzinę funkcji
1
f(x) = arc sin(5x + g1) - ln g2
2
1 - 4n
[2p.] b) Korzystając z definicji pokazać, że liczba g = -2 jest granicą ciągu an = .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2n.+. . . . . . . .
. . .
2. [5p.] a) Wyznaczyć wartości parametrów a, b " R tak, aby funkcja h(x)
Å„Å‚
x
- ex dla x < 0
ôÅ‚ 1
ôÅ‚
ôÅ‚
x
ôÅ‚ 1 + e
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
ln3 a - 4 ln a - 1 dla x = 0
h(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ "
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x + 1 - 1
- |b| dla x > 0
2x
była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.
[2p.] b) W oparciu o warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy zbadać istnienie
tg 2|x|
granicy funkcji f(x) = w punkcie x0 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
3. [5p.] a) Obliczyć pochodną funkcji g(x) = cos2 2x i rozwiązać równanie g (x) + 4g(x) = 0.
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość (1, 03)1,03.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
4. [5p.] a) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji y = (x - 1)arcctg .
(1 - x)2
[2p.] b) Wykazać, że funkcja h(x) = 2x3 + 6x2 + 30x + 5 jest ściśle rosnąca w przedziale
(-", +").
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [5p.] a) Wyznaczyć punkt przegięcia, o ile istnieje, wykresu funkcji

x 2
f(x) = ln - 1
2 x
oraz stycznÄ… do wykresu funkcji w tym punkcie.
"
3
[2p.] b) Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji y = sin x w punkcie x0 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając ze wzoru Maclaurina uzasadnić, że dla każdego x > 0
zachodzi nierówność
"
x2
1 + 2x > 1 + x -
2